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Egon Friedell

Kulturgeschichte des Altertums

Mathematik

Blicken wir noch einmal zurück, so sehen wir, daß von den Vorsokratikern fast alle philosophischen Gedanken des Abendlandes schon vorgedacht worden sind, nachdem es bis dahin fast gar keine Philosophie gegeben hatte: eine erstaunliche Tatsache. Alle Monisten stammen von Thales ab, alle Bekenner des deus sive natura von Xenophanes, alle Phänomenalisten von Parmenides, alle Lehrer der coincidentia oppositorum von Heraklit; in embryonaler Form findet sich das Gesetz von der Erhaltung der Energie und die Gravitationstheorie schon bei Anaximander, die Relativitätstheorie bei Zenon. Überhaupt hat diese Zeit auch auf dem Gebiet der exakten Wissenschaften den Grund gelegt. Thales stellte eine Reihe wichtiger geometrischer Elementarsätze auf, unter anderm: daß der Durchmesser den Kreis halbiert, daß im gleichschenkligen Dreieck die Basiswinkel gleich sind, daß zwei Dreiecke kongruent sind, wenn eine Seite und zwei korrespondierende Winkel gleich sind; auf Grund astronomischer Beobachtungen berechnete er die Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585. Anaximenes wußte schon, daß der Mond sein Licht von der Sonne empfängt, und erkannte in der Verdeckung des Vollmonds durch den Erdschatten die Ursache der Mondfinsternisse. Die Erde, bei Anaximander ein freischwebender Zylinder, ist bei Pythagoras bereits eine Kugel, auch nicht mehr im Mittelpunkt des Weltalls, vielmehr befindet sich dort das Zentralfeuer, um das sich Sonne, Mond, Erde, eine von ihm angenommene Gegenerde und der Fixsternhimmel drehen; daß wir diese Bewegung nicht wahrnehmen, hat seinen Grund darin, daß wir auf der nach außen gekehrten Seite der Kugel leben (eine Drehung der Erde 741 um ihre Achse nahm er also noch nicht an), wohl aber ist sie von der Sonne aus sichtbar, die das Licht des Zentralfeuers reflektiert. Den berühmten »Pythagoras«, den Satz von der Flächengleichheit des Hypotenusenquadrats und der beiden Kathetenquadrate bewies er auf anschaulichem Wege, durch einfache Konstruktion, ebenso die Quadratur der Summe zweier Größen: (a+b)²=a²+2ab+b². In der Tat braucht man sich nur die entsprechenden Zeichnungen zu vergegenwärtigen, um sogleich der Richtigkeit der beiden Sätze innezuwerden.

Noch viele andere Aufgaben, auch Gleichungen zweiten Grades, lösten die Pythagoreer durch Operationen mit Linien und Flächen; diese »geometrische Algebra« ist eine echt griechische Wissenschaft und das vollkommenste Widerspiel der »analytischen Geometrie«, die wiederum ein echtes Kind der Barocke ist. Die größte mathematische Leistung der Pythagoreer aber ist die Entdeckung des »Irrationalen«, wie wir es auf ziemlich schiefe Weise mit den Römern nennen, während jene es viel zutreffender als τὸ ἄρρητον, das Unbeschreibliche, Unaussprechliche bezeichneten. Irrational ist eine Zahl oder Proportion, deren Wert man nur annähernd, nicht ohne einen, wenn auch noch so kleinen Fehler, nämlich nur durch einen unendlichen Dezimalbruch ausdrücken kann. Ihr Typus ist √2. Auch dies läßt sich wiederum anschaulich darstellen. Die Wurzel aus 2 ist das Verhältnis der Diagonale des Quadrats zu dessen Seiten: Sie existiert, läßt sich aber in Zahlen »nicht aussprechen«.

Diagonale und Seite des Quadrats sind inkommensurabel, Größen, die sich nicht mit einem gemeinsamen Maß messen lassen, im Gegensatz zum Beispiel zu Umfang und Seite des Quadrats, die sich wie 4:1 verhalten. Diese Entdeckung wurde aber von den Pythagoreern geheimgehalten, und einer, der sie ausplauderte, soll zur Strafe ertrunken sein; mit Recht, denn sie wirft das Fundament der pythagoreischen Weltanschauung um: daß die Zahl Maß und Ordnerin aller Dinge sei. 742