Autoren

∞

Werke

∞

Neu

∞

Information

∞

Shop

∞

Lesetips

∞

Textquelle

∞

2. Probleme des Falles

Ein Apfel fiel vom Baum – Das Gesetz der Gravitation – Fall und Fallstrecke – Rohrpost durch die Erde – 42 Zentner Körpergewicht – Der Springer auf dem Monde

Es wird berichtet, daß der große englische Physiker Isaak Newton im Garten seines Wohnhauses in seinem Geburtsort Woolsthorpe saß, als dicht vor ihm ein Apfel vom Baume fiel. Der unscheinbare Vorgang – er trug sich im Jahre 1666 zu – regte ihn zum Nachdenken an, zu der Frage: Warum fällt der Apfel vom Baum und welche Ursache oder Kraft ist es, die ihm jene Bewegung nach der Erde hin erteilt? Ungezählte Millionen von Menschen hatten schon das Fallen von Äpfeln beobachtet, ohne sich Gedanken darüber zu machen, gewohnt, solche Vorgänge als alltägliche Erscheinungen hinzunehmen, die ihren Grund in sich selber tragen und keiner weiteren Erklärung bedürfen; viele Male hatte sicher auch Newton einen solchen Vorgang verfolgt, bis er in der genialen Eingebung des Augenblicks das Rätselhafte und Geheimnisvolle in dem Fall des Apfels plötzlich herausfühlte, ein Problem erkannte und zum Nachforschen über dessen Lösung angespornt wurde.

Das ungeahnt inhaltsschwere Ergebnis dieses Forschens, das freilich Jahrzehnte bedurfte, ehe es fertig vorlag und der aufhorchenden Welt unterbreitet werden konnte, war die Entdeckung des Gesetzes der Gravitation. Es besagt, daß sich alle Körper im Weltenraume untereinander mit bestimmter Gesetzmäßigkeit anziehen. Die größten wie die kleinsten Körper im Weltraume unterliegen dieser geheimnisvollen Kraft; sie ist es, die sowohl den Apfel zur Erde fallen läßt wie auch den Lauf des Mondes um die Erde regelt; sie gibt dem Pfeil, der von der Sehne schwirrt, seinen Weg und bestimmt ebenso der Erde und allen übrigen Planeten ihre Bahnen um die Sonne. Sie wirkt auch noch über unser Sonnensystem hinaus in den unendlichen Tiefen des Weltraumes, so weit der forschende Menschengeist sich diese anschaulich oder begrifflich überhaupt vorzustellen vermag, alle Weltkörper auch in jenen unendlichen Weiten erfassend und ihre Bewegungen und Konstellationen in berechenbarer Weise regelnd.

Mit einem Schlage war so durch die Entdeckung jenes Gesetzes dem Menschengeiste die Fähigkeit verliehen, seine Forschung und Rechnung bis in die fernsten Weiten des Universums zu erstrecken, ein Fortschritt, der nächst der unsterblichen Tat des Kopernikus, der die Erde entthront und die Sonne als Mittelpunkt und Herrscherin des Planetensystems erkannt hatte, als die folgenreichste Tat der Naturerkenntnis bezeichnet werden muß. Und diese weltbewegende Entdeckung ging aus von dem Fall eines Apfels. Im Gegensatz zu vielen anderen Erzählungen, die sich anekdotisch an die Schöpfungsstunde großer Entdeckungen und Erfindungen knüpfen, darf der Bericht von jenem fallenden Apfel mit hoher Wahrscheinlichkeit als geschichtlich wahr bezeichnet werden. Schon in den Augen der Zeitgenossen Newtons erlangte der Baum, von dem einst dieser Apfel gefallen war, eine besondere Weihe als Baum der Erkenntnis, und als der Stamm im Jahre 1726, ein Jahr vor dem Tode Newtons, vom Sturm gefällt worden war, wurde aus seinem Holz ein Stuhl verfertigt, der noch heute im Museum zu Woolsthorpe als einzigartiges Erinnerungszeichen an das Zustandekommen eines der wichtigsten Ergebnisse der Naturerkenntnis aufbewahrt wird.

Nach dem von Newton entdeckten Gravitationsgesetz ist die Anziehung, die die Körper im Weltenraume aufeinander ausüben, um so größer, je größer ihre Massen sind. Angenommen zwei Körper A und B, die sich in einer bestimmten Entfernung voneinander im Weltenraume befinden, üben eine bestimmte Anziehungskraft aufeinander aus, so würde diese verdoppelt, wenn die Masse des einen der Körper plötzlich verdoppelt würde, und entsprechend verzehnfacht bei zehnfacher Massenvergrößerung jenes. Ferner ist die Anziehung der Körper aber auch noch abhängig von ihrer Entfernung; sie ist um so kleiner, je größer die Entfernung der sich anziehenden Körper ist, aber diese Beziehung ist nicht so einfacher Art wie die nach der Masse. Wenn unsere beiden Körper A und B bei gleichbleibender Masse in einer bestimmten Entfernung eine bestimmte Anziehung aufeinander ausüben, so würde diese, wenn die Entfernung plötzlich verdoppelt würde, nicht nur auf die Hälfte, sondern auf den vierten Teil der ursprünglichen Anziehung vermindert werden, bei dreifacher Entfernung auf den neunten, bei zehnfacher auf den hundertsten Teil usw. Die Körper im Weltraum ziehen sich also an mit einer Kraft, die im geraden Verhältnis ihrer Massen, aber im umgekehrt quadratischen Verhältnis ihrer Entfernungen steht. Das ist die genauere Formulierung des Gravitationsgesetzes, das sowohl den Fall eines Apfels wie den Lauf der Gestirne regelt und uns gestattet, die gesamte Mechanik des Universums der Rechnung zu unterwerfen.

Auf unserem Erdballe äußert sich die Gravitation als die Schwere der Körper, die also nur gleichsam ein Spezialfall jener allgemeinen Weltkraft ist. Die Erde zieht wie mit unsichtbaren langen Armen alle Körper in ihrem Bereich zu sich heran. Dieser Zug bekundet sich für unsere Wahrnehmung als der Druck, den jeder Körper auf seine Unterlage ausübt und den wir eben als Schwere oder auch als Gewicht des Körpers bezeichnen. Als Maß oder Einheit dient uns hierbei das Gewicht, das 1 Liter Wasser besitzt und das wir bekanntlich als Kilogramm bezeichnen. Wird ein Körper seiner Unterlage oder seines Haltes beraubt, wie etwa der Apfel, der sich vom Zweige loslöst, so strebt er, der Anziehung der Erde folgend, nach dieser hin, das heißt der Körper fällt. Die Fallbewegung und ihre Gesetze sind innerhalb unserer Erdenwelt die für uns wichtigsten Erscheinungen der Gravitation.

Die Erde wirkt nicht nur mit einem Teil ihrer Oberfläche, sondern mit allen und auch den entferntesten Teilen ihres Riesenleibes anziehend auf jeden einzelnen Körper ein. Diese Gesamtanziehung aller Teile der Erdkugel aber stellt sich so dar, als ob die gesamte Anziehungskraft der Erde in ihrem Mittelpunkte konzentriert wäre und die Erde nur von diesem Punkte aus ihre Anziehung ausübte. Von diesem Sitz des Anziehungszentrums sind also die Körper an der Oberfläche der Erde gerade um einen Halbmesser der Erdkugel, der rund 6380 Kilometer beträgt, entfernt. Bei einer solchen Entfernung des Anziehungszentrums übt also ein Körper von der Masse unserer Erde eine Anziehungskraft aus, durch die ein seiner Unterstützung beraubter Körper eine ganz bestimmte Beschleunigung in der Richtung nach dem Anziehungszentrum hin erfährt. Diese Beschleunigung beträgt pro Sekunde rund 10 Meter (genauer 9,802 Meter), das heißt, der seines Haltes beraubte Körper fällt mit zunehmender Geschwindigkeit und hat nach Verlauf der ersten Sekunde eine Geschwindigkeit von 10 Metern erlangt; während der zweiten Sekunde erhält er infolge der Anziehung der Erde einen ebensolchen Beschleunigungszuwachs, so daß seine Geschwindigkeit um abermals 10 Meter gesteigert wird und nach Ablauf der zweiten Sekunde 20 Meter beträgt; nach Ablauf der dritten Sekunde ist sie auf 30, nach der vierten Sekunde auf 40 Meter gesteigert usw., so daß sich also die Geschwindigkeit des fallenden Körpers nach jeder Sekunde leicht berechnen läßt.

Von der Beschleunigung und der durch diese erlangte Geschwindigkeit ist die Fallstrecke, die der Körper innerhalb eines gewissen Zeitraumes zurücklegt, abhängig. Sie ist aus jenen Faktoren leicht zu berechnen. In dem Moment, wo der Körper seines Haltes beraubt wurde, hatte er noch keine Geschwindigkeit; er fällt dann mit wachsender Geschwindigkeit, die nach Ablauf der ersten Sekunde auf 10 Meter gestiegen ist. Mithin können wir sagen, daß der Körper während der ersten Sekunde eine gleichmäßige mittlere Geschwindigkeit von 5 Metern (nämlich der Hälfte von 0 + 10) hatte, und da er mit dieser mittleren Geschwindigkeit gerade eine Sekunde lang gefallen ist, so muß er in dieser Zeit eine Fallstrecke von 1 × 5 = 5 Metern zurückgelegt haben. Die Fallstrecke eines Körpers muß also nach unserer Berechnung während jener ersten Sekunde 5 Meter (genauer 4,901 Meter) betragen, ein Ergebnis, das durch das praktische Experiment aufs genaueste bestätigt wird. Wie groß ist nun die Fallstrecke innerhalb der ersten zwei Sekunden? Der Körper hat am Beginn dieser Fallzeit wieder die Geschwindigkeit von 0 Metern, am Ende derselben aber wie berechnet eine solche von 20 Metern; wir können daher für diesen Fall unserer Rechnung eine gleichförmige mittlere Geschwindigkeit von 10 Metern (der Hälfte von 0 + 20) zugrunde legen, mit der sich der Körper während jener 2 Sekunden zur Erde bewegt hat, so daß also die Fallstrecke während dieser Zeit 2 × 10 = 20 Meter betragen muß. Der Körper, der in der ersten Sekunde seines Falles nur 5 Meter zurücklegte, legt also in 2 Sekunden nicht das Doppelte, sondern das Vierfache dieser Strecke zurück. Wir wollen auch noch die Fallstrecke während eines Zeitraumes von 3 Sekunden berechnen. Hier kommen wir auf eine mittlere Geschwindigkeit von 15 Metern (die Hälfte aus 0 + 30), und mithin auf eine Fallstrecke von 3 × 15 = 45 Metern, also das Neunfache der Fallstrecke in der ersten Sekunde. Rechnen wir in dieser Weise weiter, so finden wir, daß der Körper in 4 Sekunden eine Fallstrecke von 80 Metern, in 5 Sekunden eine solche von 125 Metern, in 10 Sekunden eine solche von 500 Metern zurücklegt. Die Fallstrecken wachsen also sehr schnell an.

Wir könnten die Fallstrecken in dieser Weise fortlaufend berechnen, können sie jedoch einfacher durch eine sehr einfache Formel angeben, die besagt, daß für jede Fallzeit die Fallstrecke = 5 × t ² Meter beträgt. In dieser Formel bedeutet t die Anzahl der Sekunden, während der der Fall stattfindet, t ² also das Quadrat dieser Größe (die Anzahl der Sekunden mit sich selbst multipliziert). Wie groß ist nun nach dieser Formel die Fallstrecke, die ein Körper in 20 Sekunden erreicht? Unsere Formel ergibt dafür 5 × 20 × 20 = 2000 Meter, und für die Fallzeit von 100 Sekunden finden wir 5 × 100 × 100 = 50 000 Meter oder 50 Kilometer. In der verhältnismäßig kurzen Zeit von 100 Sekunden würde also ein fallender Körper eine Strecke zurücklegen, für die ein Schnellzug etwa eine halbe Stunde Zeit benötigt.

Diese Rechnung stimmt allerdings nur unter der Voraussetzung, daß die Beschleunigung von rund 10 Metern pro Sekunde immer dieselbe bleibt. Das trifft jedoch nur bedingterweise zu, nur innerhalb des Bereiches der Erdoberfläche. Über und unterhalb der Erdoberfläche nimmt die Beschleunigung ab, entsprechend dem Newtonschen Anziehungsgesetz, in praktisch merkbarer Weise jedoch erst in erheblicher Entfernung von der Erdoberfläche. Für unsere abgerundete Rechnung können wir im Bereich von etwa 50 Kilometern über und unter der Erdoberfläche die Anziehungskraft bzw. die Beschleunigung als ungefähr gleichbleibend annehmen, so daß an der eben angestellten Rechnung über die Fallstrecken nicht viel zu ändern ist. Bei größeren Entfernungen von der Erdoberfläche müßten wir die Abnahme der Anziehung jedoch in Rechnung stellen. Im Mittelpunkt der Erde sind die anziehenden Kräfte ausgeglichen; ein hier befindlicher Körper wäre also gewichtslos, und ebenso ist die Beschleunigung hier mit Null anzunehmen.

An dieser Stelle wollen wir ein interessantes Gedankenexperiment machen. Wir wollen annehmen, es würde von einem Punkte der Erdoberfläche aus ein Schacht gegraben und in gerader Linie durch den Erdmittelpunkt hindurch bis zum anderen Ende der Erdkugel geführt werden. Wie würde sich dann ein Körper verhalten, den man an dem einen Ende des Schachtes in diesen hineinwirft? Das ist ein interessantes Problem, das auch von Laien gern und oft erörtert wird. Die Meinungen über das Verhalten des hineingeworfenen Körpers gehen dabei allerdings zumeist sehr weit auseinander. Die einen behaupten, daß der Körper mit abnehmender Geschwindigkeit bis zum Mittelpunkte der Erde falle und in diesem unweigerlich zur Ruhe komme, weil ja dort Anziehung und Beschleunigung gleich Null sei; andere hingegen sind der Meinung, daß der Körper nicht nur die ganze Strecke des Schachtes hindurchfallen, sondern, an dem anderen Ende angekommen, über dieses hinaus noch einmal eine ebenso lange Strecke, wie der Schacht selbst ist, in die Lüfte steigen müsse. Diese wie jene Ansicht ist aber falsch. Die Bewegung des hineingeworfenen Körpers stellt vielmehr einen Spezialfall der allgemeinen Fallbewegung dar und läßt sich aus den Fallgesetzen sehr genau berechnen, allerdings wegen der abnehmenden Wirkung der Kräfte nur vermittels Differentialrechnung. Wir wollen diese Rechnung nicht durchführen, was doch zu kompliziert sein würde, sondern uns auf die Angabe des interessanten Ergebnisses beschränken.

Ein solcher wie der erwähnte Schacht hätte, entsprechend dem Durchmesser unseres Globus, eine Länge von 12 760 Kilometern. Angenommen, der Schacht würde von Berlin aus beginnen, so würde er auf demselben Meridian wie unsere Reichshauptstadt im Stillen Ozean, auf einer der kleinen Inseln westlich von Neuseeland wieder zum Vorschein kommen. Wie würde sich also der Fall unseres Körpers in dieser hübschen Rohrpostanlage gestalten? Nun, innerhalb des Bereiches der Erdoberfläche und bei einer Beschleunigung von 10 Metern in der Sekunde würde der Körper zunächst mit der oben berechneten mittleren Geschwindigkeit für jede Sekunde fallen. Mit der wachsenden Annäherung an den Erdmittelpunkt ändern sich diese Verhältnisse allerdings in gewisser Weise. Die Beschleunigung, die der Körper in der Sekunde erhält, nimmt ab und wird im Mittelpunkt der Erde zu Null; die mittlere Sekundengeschwindigkeit wächst jedoch auch weiterhin, wenn auch in anderer Weise wie an der Erdoberfläche. Beschleunigung und Geschwindigkeit sind also sehr verschiedene Begriffe und dürfen nicht miteinander verwechselt werden, was bei der Erörterung unseres Problems oftmals der Fall ist. Alle die angeführten Faktoren würden nun bewirken, daß der – sagen wir in Berlin – in den Schacht hineingeworfene Körper mit gewaltig anwachsender Geschwindigkeit zunächst bis zum Mittelpunkt der Erde fallen und diesen mit einer Sekundengeschwindigkeit von rund 7900 Metern erreichen würde. Mit dieser ungeheuren Geschwindigkeit würde er über den Mittelpunkt der Erde hinaussausen und dann mit abnehmender Geschwindigkeit bis zum anderen Ende des Schachtes gelangen. Hier bis an die Oberfläche gekommen, wäre seine Geschwindigkeit zu Null geworden, der Körper würde wieder zurückfallen und die zurückgelegte Strecke jetzt in umgekehrter Richtung passieren, würde wieder mit wachsender Geschwindigkeit erst bis zum Mittelpunkt der Erde, in welchem er die bereits angegebene Höchstgeschwindigkeit erreicht, dann mit abnehmender Geschwindigkeit weiterfallen, bis er wieder in Berlin an der Oberfläche der Erde erscheint. Hier beginnt das Spiel von neuem, und so geht die Bewegung weiter.

Die ganze Bewegung ist zu vergleichen der Bewegung eines Pendels und ist, mathematisch betrachtet, sogar mit einer solchen identisch. Wie das Pendel zwischen zwei Höchstgeschwindigkeitspunkten hin und her schwingt, am Anfang und Ende der Schwingungsphase die Geschwindigkeit Null hat und im tiefsten Punkte eine Höchstgeschwindigkeit erreicht, so pendelt auch unser Körper erst mit wachsender, dann mit abnehmender Geschwindigkeit von einem Ende des Schachtes zum anderen und dann wieder dieselbe Strecke in derselben Weise zurück. Allerdings ist der Weg des schwingenden Pendels eine Bogenlinie, der unseres Körpers eine schnurgerade Strecke von einem bis zum anderen Ende des Schachtes, was jedoch für die Betrachtung des Bewegungsvorganges als solchen nicht in Betracht kommt. Unser Körper pendelt also in gerader Linie.

Noch in einem anderen Umstande verhält sich unser Körper wie ein physisches Pendel. Das Spiel der Hin- und Herschwingungen würde nicht ewig so wie beschrieben weitergehen. Wie beim Pendel die Ausschläge immer kürzer werden, weil Reibung und Luftwiderstand seine Bewegung verzögern und schließlich ganz aufheben, so daß es im tiefsten Punkte seiner Schwingungsphase zur Ruhe kommt, so ähnlich auch bei unserem Körper. Auch dieser hätte beim Durchfallen des Schachtes den Reibungswiderstand der Luft zu überwinden, der bei solchen wie den berechneten gewaltigen Geschwindigkeiten sehr bedeutend wäre; dadurch würden auch hier die Schwingungsphasen allmählich immer kürzer; der Körper bliebe bei seinen Pendelbewegungen immer mehr von den beiden Enden des Schachtes zurück und müßte schließlich im Mittelpunkte der Erde zur Ruhe kommen. Um den Körper in den Stand zu setzen, immer vollständig und ununterbrochen von einem Ende des Schachtes bis zum anderen zu gelangen, müßte er nach jeder Phase einen neuen Kraftimpuls erhalten, durch den der Kraftverlust auf der zurückgelegten Strecke infolge des Luftwiderstandes ausgeglichen würde, vergleichbar einem Uhrpendel, das ja ebenfalls nach jeder Schwingung durch die Kraft der Feder einen neuen Impuls erhält und dadurch seine Schwingungsbewegung unverändert und ununterbrochen auszuführen vermag. Bemerkt sei noch, daß der Körper für den vollständigen Fall von einem Ende des Schachtes bis zum anderen die Zeit von 42 Minuten und 12 Sekunden benötigte, während ein Schnellzug von 100 Kilometer Stundengeschwindigkeit für eine Strecke von solcher Länge etwa 4½ Tage brauchte. Unser Schacht würde also eine Art idealen Rohrpostbetriebes von aller nur wünschenswerten Einfachheit und Leistungsfähigkeit darstellen und die Beförderung unserer Postsendungen von einem Ende der Erde bis zum anderen in knapp drei Viertelstunden möglich machen.

Anders als auf der Erde sind die Schwereverhältnisse auf anderen Weltkörpern, weil ja dort Masse und Durchmesser, also jene Faktoren, von denen die Größe der Anziehung bzw. der Schwere abhängt, andere sind. Die Masse der Sonne ist beispielsweise an 320 000mal größer als die Erdmasse; dafür ist aber auch ihr Halbmesser 100mal größer als der der Erde, und diese Umstände bewirken, daß die Schwerkraft auf der Sonne etwa 28mal größer ist als auf der Erde. Das bedeutet, daß ein Körper, der auf der Erde 1 Kilogramm wiegt, auf der Sonne ein Gewicht von 28 Kilogramm hätte, oder daß ein Mann, der auf Erden mit dem Normalgewicht von 1½ Zentnern herumläuft, nach der Sonne versetzt sich mit dem stattlichen Körpergewicht von 42 Zentnern zu plagen hätte. Ebenso sind auch die Faktoren der Fallbewegung auf der Sonne 28mal größer als bei uns. Während auf Erden ein Körper in 1 Sekunde nur um 5 Meter fällt, würde er auf der Sonne in dieser Zeit schon volle 140 Meter, in 10 Sekunden schon die gewaltige Fallstrecke von 14 000 Metern zurücklegen. Gerade umgekehrt liegen die Verhältnisse beim Mond. Dessen Masse beträgt nur etwa den achtzigsten Teil der Masse unserer Erde, sein Halbmesser nur 1750 Kilometer, also etwas mehr als den vierten Teil des Erdhalbmessers. Hieraus läßt sich berechnen, daß die Schwerkraft auf dem Monde knapp den fünften Teil derjenigen der Erde beträgt, daß also ein Körper von 1 Kilogramm Erdgewicht dort knapp 200 Gramm wiegen und der bereits erwähnte irdische Normalmann auf dem Monde zu dem Kindergewicht von 30 Pfund zusammenschrumpfen würde. Auf dem Monde fällt ein Körper in einer Sekunde nur etwa 95 Zentimeter, die Körper schweben dort also mehr als sie fallen. Und weil die Schwere dort 5mal geringer ist als bei uns, kann ein Mondbewohner auch 5mal höher, als es bei uns möglich ist, springen; ein Turner auf dem Monde würde mit Leichtigkeit 5 bis 10 Meter hoch springen können.

Aber nicht nur auf der Oberfläche der Weltkörper wirkt die Gravitation als Fallbewegung, sondern auch von einem Weltkörper zum anderen, und sie hält dadurch die Körper in ihren vorgeschriebenen Bahnen fest. Der Mond beispielsweise hat das Bestreben, sich dauernd von der Erde zu entfernen; die Anziehungskraft, die die Erde auf ihn ausübt, bewirkt jedoch, daß er in jeder Sekunde um 1,36 Millimeter zur Erde fällt, und diese geringe Fallbewegung genügt, um unseren Erdtrabanten trotz seiner Neigung zur Fahnenflucht dauernd an die Erde zu fesseln und ihn zu seiner annähernd kreisförmigen Bahn um diese zu zwingen. Ebenso findet ständig eine gewisse Fallbewegung der Erde wie auch aller Planeten zur Sonne statt, und ebenso verhält es sich mit allen Weltkörpern überhaupt, die um einen Zentralkörper kreisen. Ohne diese regelnde Fallbewegung durch die Gravitation würden alle Weltkörper ziellos im Weltenraum herumvagabundieren, und statt der erhabenen Regelmäßigkeit und Harmonie des Kosmos würde ein ungeheures Chaos herrschen, das gleichbedeutend mit dem Untergang der Welt wäre.