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3. Rothschild und der Bettler

Ein vorsichtiger Wohltäter – Etwas von den geometrischen Reihen – Die harmonische Reihe – Ein unvorsichtiger König

Es wird berichtet: Zu Rothschild kam eines Tages ein Bettler und bat um eine milde Gabe. Rothschild war gut aufgelegt und schenkte ihm 20 Mark. Das war für den Petenten ein lohnendes Geschäft, das ihn veranlaßte, am nächsten Tage seinen Besuch und seine Bitte zu wiederholen. Diesmal beschränkte sich Rothschild auf eine Spende von 10 Mark, und als der verschämte Arme sich auch am nächsten Tage wieder einstellte, auf 5 Mark. Und so ging die Sache weiter. Der Bettler kam jeden Tag wieder, und Rothschild gab ihm jedesmal die Hälfte des Betrages vom vorhergehenden Tage. Nun fragen wir: Wieviel hat Rothschild, nachdem sich die beschriebene finanzielle Aktion ein volles Jahr hingezogen hatte, dem Bettler in dieser Zeit im ganzen geschenkt? Der in dieser Art von Rechnungen unbewanderte Leser wird vielleicht den Eindruck erhalten, daß hierbei doch wohl ein ganz ansehnlicher Betrag von wenigstens 100 Mark oder auch noch mehr herauskommen müsse; denn er rechnet, daß die Spenden in den ersten drei Tagen bereits den Betrag von 35 Mark ergeben, dann müßten doch also wohl die Gaben nach einigen Wochen oder gar Monaten, wenn sie auch immer kleiner werden, insgesamt die ersten 100 Mark erreichen. Aber das ist ein Irrtum. Die Gesamtheit aller in dieser Welt halbierten Beträge wird nach Verlauf eines Jahres noch nicht einmal ganz das Doppelte der Gabe vom ersten Tage, also noch nicht ganz 40 Mark, betragen, und selbst wenn die Schenkungen in dieser Weise zehn oder hundert oder selbst Millionen von Jahren fortgesetzt würden, so würde doch niemals ein voller Gesamtbetrag von 40 Mark erreicht werden können. Die Summe aller Einzelbeträge würde sich zwar 40 Mark immer mehr nähern, sie aber niemals vollkommen erreichen, kleine Bruchteile eines Pfennigs würden immer daran fehlen. Also die Großmut Rothschilds hätte sich trotz der imponierenden Spende vom ersten Tage bei diesem Werke der Nächstenliebe doch nur in sehr mäßigen Grenzen gehalten und mag nach Ablauf des ersten Jahres in dem Bettler sehr gemischte Gefühle erweckt haben.

Man bezeichnet eine solche oder ähnliche wie die beschriebene Summe von Größen, bei der jeder Summand aus dem vorhergehenden durch dieselbe Multiplikation oder Division hervorgeht (in unserem Falle durch die Division durch 2 oder, was dasselbe ist, durch die Multiplikation mit ½) in der Mathematik als eine geometrische Reihe. Betrachten wir in dem Falle unserer Erzählung die am ersten Tage, sozusagen als Anfangsglied in der Reihe der Spenden geschenkten 20 Mark als Einheit, so entwickelt sich die Gesamtheit aller Gaben rechnerisch zu der Reihe 1 + ¹/ ₂ + ¹/ ₄ + ¹/ ₈ + ¹/ ₁₆ + ¹/ ₃₂ + … usw., und diese Reihe kann, soweit und solange man sie auch fortsetzt, niemals das Doppelte des Anfangsgliedes, also niemals den vollen Wert 2 erreichen, was in unserem Falle bedeutet, daß die Gesamtheit aller Beträge, die Rothschild dem Bettler schenkte, niemals volle zwei Zwanzigmarkstücke betragen kann. Der Leser, der diese Behauptung vielleicht anzweifelt, wird den überzeugenden Beweis dafür finden, wenn er sich der Mühe unterzieht, eine beliebige große Anzahl von Summanden der angeführten Reihe nach den gewohnten Regeln der Bruchrechnung zu addieren; er wird niemals auf den vollen Wert 2 kommen. Der Mathematiker bezeichnet 2 als den Grenzwert dieser Reihe, der, mathematisch gesprochen, erst im Unendlichen, das heißt auf gut deutsch niemals, erreicht wird.

Die Reihen spielen in der Mathematik eine große Rolle, und viele von ihnen sind auch für den Laien von Interesse, weil sie zu sehr interessanten rechnerischen Überlegungen und Folgerungen führen. Wir wollen eine andere, ähnliche Reihe betrachten, die das Gesagte bestätigen wird. Unsere Erzählung von Rothschild und dem Bettler hat nämlich noch eine Fortsetzung. Als der Bettler nach Abschluß des ersten Jahres Bilanz gemacht und dabei festgestellt hatte, daß bei dem geschilderten Verfahren nach Maßgabe der geometrischen Reihe für ihn doch recht herzlich wenig herausgekommen sei, bat er Rothschild um eine kleine Änderung des Verfahrens. Er bat, das Gabenspiel nochmals von vorn zu beginnen, ihm also zunächst wieder 20 Mark, am nächsten Tage die Hälfte, am dritten Tage den dritten, am vierten Tage den vierten, am fünften Tage den fünften Teil dieses Anfangsbetrages zu schenken und das Verfahren in dieser leicht erkennbaren Weise fortzusetzen. Rothschild überschlug im Kopfe ungefähr die Rechnung, kam zu der Überzeugung, daß auch bei diesem Verfahren die Mildtätigkeit in erträglichen Grenzen bleiben werde, und ging gutgelaunt auf den Vorschlag ein. Wie stellte sich nun bei diesem Verfahren die Sache nach Verlauf eines Jahres dar? Wenn wir wieder den Anfangsbetrag von 20 Mark als Einheit setzen, so ergibt sich, wie ohne weiteres ersichtlich ist, die Reihe 1 + ¹/ ₂ + ¹/ ₃ + ¹/ ₄ + ¹/ ₅ + ¹/ ₆ + ¹/ ₇ … usw. In dieser Reihe ist also der Nenner eines jeden Bruches immer um 1 größer als der vorhergehende Nenner. In der Mathematik wird diese Reihe ihrer numerisch gleichmäßigen Entwicklung wegen als harmonische Reihe bezeichnet.

Wir fragen nun, zu welchem Werte diese Reihe, beliebig lange fortgesetzt, führen wird. Es mag dem Laien wiederum scheinen, daß auch diese Reihe nicht zu wesentlich höheren Werten führen könnte als die zuerst betrachtete geometrische Reihe. Aber das ist wiederum falsch. Die harmonische Reihe kann vielmehr, sofern sie nur lange genug fortgesetzt wird, zu allen und selbst den größten Werten führen. Der Beweis für diese Behauptung ist ebenso einfach wie interessant, und da er auch keinerlei eigentliche mathematische Kenntnisse voraussetzt, wollen wir ihn unseren Lesern nicht vorenthalten. Wir wollen zu diesem Zweck die harmonische Reihe in einer gewissen Weise in Gruppen einteilen. Das erste und zweite Glied der Reihe lassen wir ungeändert stehen, dann aber fassen wir die nächsten zwei Glieder zu einer Gruppe zusammen, indem wir diese Glieder in Klammern setzen; dann werden die nächsten vier Glieder, dann die nächsten acht, dann die folgenden sechzehn Glieder zu je einer Gruppe zusammengefaßt und in Klammern gesetzt, und dieses Verfahren fortgesetzt. Immer enthält eine jede Gruppe doppelt soviel Glieder wie die vorhergehende Gruppe, so daß sich also unsere harmonische Reihe in folgender Form darstellt:

1 + ¹/ ₂ + ( ¹/ ₃ + ¹/ ₄) + ( ¹/ ₅ + ¹/ ₆ + ¹/ ₇ + ¹/ ₈) + ( ¹/ ₉ + ¹/ ₁₀ + … ¹/ ₁₆) … Um nun den Wert dieser Reihe besser berechnen zu können, wollen wir sie ein wenig verändern, wodurch ihr Wert etwas verkleinert wird. Wir bringen die Brüche in den einzelnen Gruppen sämtlich auf den Wert des größten Nenners in der Gruppe, ersetzen also in der ersten Gruppe den Wert ¹/ ₃ durch ¹/ ₄, ebenso in der nächsten Gruppe alle Werte durch ¹/ ₈ und setzen dieses Verfahren in allen Gruppen fort. Dann präsentiert sich diese so veränderte Reihe in der Form 1 + ¹/ ₂ + ( ¹/ ₄ + ¹/ ₄) + ( ¹/ ₈ + ¹/ ₈ + ¹/ ₈ + ¹/ ₈) + ( ¹/ ₁₆ + ¹/ ₁₆ + … ¹/ ₁₆) usw. Durch dieses Verfahren ist der Wert jedes der veränderten Brüche etwas verringert, denn der Wert eines Bruches wird bekanntlich um so kleiner, je größer sein Nenner wird; also ist hierdurch auch der Wert der einzelnen Gruppen und damit der ganzen Reihe etwas verkleinert. Der Wert jeder einzelnen Gruppe aber ist jetzt, wie ohne weiteres ersichtlich ist, = ¹/ ₂, und wenn wir diesen Wert für die einzelnen Gruppen einsetzen, so wird der Wert der ganzen Reihe 1 + ¹/ ₂ + ¹/ ₂ + ¹/ ₂ + ¹/ ₂  + … Diese Reihe aber muß, genügend lange fortgesetzt, zu jedem beliebigen und selbst dem größten Werte führen, wie wohl ebenfalls ohne weiteres klar ist. Wenn also schon die verkleinerte Reihe zu jedem beliebigen Wert führt, dann natürlich erst recht die ursprüngliche harmonische Reihe, aus der jene hervorgegangen ist und die ja noch einen etwas größeren Wert darstellt. Damit ist also bewiesen, daß die harmonische Reihe, genügend lange fortgesetzt, zu jedem beliebigen und selbst den größten Werten führen kann, ein Beweis, der durch seine Einfachheit und Schlüssigkeit das Herz des Mathematikers ebenso wie des interessierten Laien erfreut.

Wenden wir das gewonnene Ergebnis nun auf das Beispiel in unserer Erzählung an. Der Bettler hätte bei dem von ihm vorgeschlagenen Verfahren, das eine harmonische Reihe darstellt, bereits am vierten Tage den Betrag von vollen zwei Zwanzigmarkstücken, also 40 Mark, erhalten (sogar noch etwas mehr), am achten Tage wäre bereits der Betrag von 50 Mark überschritten, am sechzehnten Tage der von 60 Mark usw. Am Ende des ersten Jahres würde sich der Gesamtbetrag der innerhalb dieser Zeit dem Bettler geschenkten Einzelbeträge auf etwa 105 Mark belaufen, also doch immerhin wesentlich mehr als bei dem zuerst betrachteten Falle der geometrischen Reihe. Dann allerdings würde das weitere Anwachsen des jeweiligen Wertes der Reihe nur sehr langsam weitergehen; erst nach etwa sechs Jahren wäre ein Gesamtbetrag von 130 Mark, nach vollen fünfundzwanzig Jahren erst ein solcher von 150 Mark erreicht. Denn die harmonische Reihe wächst, wenn sie auch theoretisch zu jedem und selbst dem größten Werte führen kann, praktisch doch nur ganz langsam und nur nach einer unverhältnismäßig großen Anzahl von Gliedern an. Beispielsweise würde es in dem Falle unserer Erzählung ganz unberechenbar langer Zeiträume bedürfen, ehe bei dem betrachteten Verfahren zwischen Rothschild und dem Bettler die Reihe der einzelnen Zahlungen auf den Gesamtbetrag von 1000 Mark angewachsen wäre, selbst in Millionen von Jahren würde das noch nicht der Fall sein. Also auch bei der harmonischen Reihe brauchte Rothschild nicht sehr tief in seinen Tresor zu greifen, und der Bettler hatte abermals mit der Mathematik ein schlechtes Geschäft gemacht.

Wiederum eine geometrische Reihe erhalten wir in der Form 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … usw., bei der also jedes Glied doppelt so groß ist wie das vorhergehende. Diese Reihe hat, sehr im Gegensatz zu der harmonischen Reihe, die Eigenschaft, daß sie schon binnen kurzem zu ganz ungeheuren Werten führt. Auch darüber gibt es eine hübsche Erzählung. Der König Scheheran von Indien wollte dem weisen Sissa, der das Schachspiel erfunden hatte, eine Belohnung für diese geistvolle Erfindung gewähren und verhieß ihm die Erfüllung eines Wunsches. Der bescheidene Sissa erbat sich für das erste Feld des Schachbrettes ein Weizenkorn, für das zweite Feld zwei, für das dritte Feld vier, für das vierte Feld acht Körner und dieses Verfahren fortgesetzt bis zum vierundsechzigsten Felde des Schachbrettes, für jedes Feld also immer die doppelte Anzahl von Weizenkörnern wie für das vorhergehende. Die Höflinge lachten über diesen armseligen Wunsch, aber als man daranging, diesen zu erfüllen, da stellte sich heraus, daß – etwa vom vierzigsten Felde des Schachbrettes an – ganz ungeheure Mengen von Getreide nötig wurden, um die Ansprüche Sissas zu erfüllen, ja daß schließlich das ganze ungeheure Reich Indien nicht genug Getreide für diesen Zweck aufzutreiben imstande war. Zu spät rechneten die Hofgelehrten nach, daß die Summe der Getreidekörner, die bei der Fortsetzung des Verfahrens bis zum letzten Felde des Schachbrettes herauskommt, über 18 Trillionen beträgt, und daß das mehr Getreide ist, als die gesamte Erde, selbst wenn alles feste Land angebaut würde, in hundert Jahren produzieren könnte. Da mag König Scheheran wegen der Erfüllung seines Versprechens zunächst einmal ziemlich konsterniert gewesen sein, wenn er nicht auf einen sehr naheliegenden Ausweg verfallen ist. Er hätte dem listigen Schachspielerfinder ruhig die Erfüllung seines Wunsches gewähren können, hätte aber gleichzeitig, wozu er nach der getroffenen Vereinbarung durchaus berechtigt war, zur Bedingung machen können, daß Sissa sich die berechnete Menge Weizenkörner selbst abzählen solle, kein Korn zuviel und keins zuwenig. Bis jener damit zu Ende gekommen wäre, wären einige Billionen Jahre ins Land gegangen, und bis dahin hätte König Scheheran den Ausgang der Angelegenheit wohl unbesorgt abwarten können. Woraus erfolgt, daß manchmal der gesunde Menschenverstand selbst über die verwegensten Rechenkünste hinausgeht.