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3. Die Lösung des Problems

Neue Gründe – Die vierte Dimension in der Mathematik – Die Relativitätstheorie und die vierte Dimension – Ein »mystischer Schauer« – Nochmals: Anschauung und Denken – Ein unheilbarer Widerspruch? – Eine neue Betrachtung – Das dreidimensionale Kontinuum von Raum, Zeit und Stoff – Die Beseitigung einer Antinomie

Die bisher angeführten Argumente hatten eine ausreichende oder überzeugende Beweiskraft für Möglichkeit oder Vorhandensein einer vierten Dimension – das darf wohl gesagt werden – nicht zu entfalten vermocht. Die Tatsachenbeweise hatten sich nur als scheinbare Beweise oder als ein Operieren mit nur scheinbaren Tatsachen herausgestellt, den Analogiebeweisen aber fehlte die Eindeutigkeit und Zuverlässigkeit des überzeugenden Argumentes vollständig.

Eine neue Stütze schien die Hypothese der vierten Dimension aber durch die Denkrichtung in gewissen Zweigen der heutigen Wissenschaft, vor allem in der Mathematik und der theoretischen Physik, zu erhalten. Mit den hieraus hergeleiteten Argumenten wollen wir uns noch auseinandersetzen. Wir werden sehen, daß gerade die Argumentation gegen die theoretischen Deduktionen dieser Disziplinen den Weg deutet, auf dem die Lösung des vielumstrittenen Problems gesucht und gefunden werden kann.

In der modernen Mathematik spielt der Begriff der vierten Dimension eine sehr bedeutsame Rolle. Die Mathematik rechnet ohne Bedenken mit dem Begriff der vierten Dimension, operiert mit vierdimensionalen Räumen und Gebilden und bestimmt die mathematischen Beziehungen und Verhältnisse in solchen. Und nicht nur die vierte, sondern auch die fünfte, sechste, siebente usw. Dimension ist Gegenstand der mathematischen Betrachtung und Untersuchung. Der Mathematiker ist also in der Annahme dimensionaler Möglichkeiten äußerst großzügig, für ihn sind in dimensionaler Hinsicht sozusagen der Wohltätigkeit überhaupt keine Grenzen gesteckt. Aber zwischen dem Begriff der Dimension im mathematischen Sinne und dem, was in der Welt der Wirklichkeit als Dimension gilt, ist ein erheblicher Unterschied. Für den Mathematiker hat der Begriff der Dimension nur eine rein abstrakt-zahlenmäßige Bedeutung. Er sieht von einer solchen wie oben angeführten Definition, die auf die konkreten Möglichkeiten der Dinge und Beziehungen gerichtet ist und die »Dimension« durch die Zahl der Geraden bestimmt, die in einem Punkte senkrecht aufeinander stehen können, ab. Vielmehr heißt eine Linie für ihn eindimensional, weil es zur Bestimmung einer solchen in einem Koordinatensystem nur einer Zahl bedarf; eine Ebene benötigt zu ihrer Bestimmung zweier Zahlen, weswegen sie als zweidimensional gilt, und ein Körper endlich gilt dem Mathematiker deswegen und nur deswegen als dreidimensional, weil es dreier Zahlen zur Bestimmung eines solchen Gebildes bedarf. Nichts hindert den Mathematiker, in dieser Weise fortzufahren, also rein begrifflich auch geometrische Gebilde von vier, fünf, sechs und sogar beliebig vielen Bestimmungszahlen anzunehmen und dementsprechend mit geometrischen Gebilden und Räumen von vier, fünf, sechs und beliebig vielen Dimensionen zu operieren. Diese n-dimensionalen Räume und Gebilde sind also nur Fiktionen, und der Mathematiker fragt nicht und braucht nicht danach zu fragen, ob diesen rein begrifflich definierten Räumen von mehr als drei Dimensionen irgendeine Wirklichkeitsbedeutung zukommt. Ihm genügt die formale Widerspruchslosigkeit seiner Annahmen, um mit solchen Räumen zu rechnen, als ob es solche Räume gäbe, und keinesfalls fällt ihm ein, auf Grund seiner arithmetischen Fiktionen zu folgern, daß es nun auch in Wirklichkeit eine vierte, fünfte usw. Dimension gäbe oder auch nur geben könne. Die Mathematik rechnet ja vielfach mit wirklichkeitsfremden Größen, den sogenannten imaginären Größen, wie etwa den Wurzeln aus negativen Zahlen usw., also Größen, die nur rechnerische Bedeutung haben, denen aber keinerlei Wirklichkeitsbedeutung zukommt, was dem Mathematiker auch höchst gleichgültig ist und sein kann, denn die Welt der Mathematik ist nicht die Welt der Wirklichkeit. Eine ebensolche nur imaginäre Bedeutung hat im Sinne des Mathematikers auch der Begriff von Räumen von mehr als drei Dimensionen; auch diese vieldimensionalen Räume sind nur imaginäre Rechengrößen, von denen wir irgendwelche Schlüsse auf die dimensionale Beschaffenheit der Wirklichkeitswelt keinesfalls ziehen dürfen, ebensowenig wie das der Mathematiker selbst tut. Bemerkt sei noch, daß wir jene neuartigen »überdimensionalen« Geometrien, die also mit mehr als drei Dimensionen rechnen, als »Nicht-Euklidische Geometrien« bezeichnen zum Unterschied von der Geometrie des alten Euklid, die wir in der Schule gelernt haben und die nur mit dem dreidimensionalen Raume rechnet.

Neuerdings endlich hat das Problem der vierten Dimension erneute Bedeutung erlangt, und zwar durch die Relativitätstheorie, die das wissenschaftliche Denken der Gegenwart ja in weitem Umfange in ihren Bann gezogen hat. Die Relativitätstheorie geht in ihren Deduktionen über die drei Dimensionen unserer Wahrnehmung entschlossen hinaus. Die Relativierung des Zeitbegriffes, dieser Kerngedanke der Relativitätstheorie, nötigte, auch der Zeit die Bedeutung und Wirksamkeit einer Dimension für die gegenständliche Erscheinung und Gestaltung der Welt zuzuschreiben. Die Zeit ist für sich allein etwas Eindimensionales; sie hat nur die einzige Art der Erstreckung, die wir eben als Zeitverlauf wahrnehmen. Diese eindimensionale Zeit ist aber nicht nur Zeitverlauf, sondern verknüpft sich nach der Relativitätstheorie mit den drei Dimensionen des Raumes zu einer vierdimensionalen Einheit, die das eigentliche Weltkontinuum darstellt. Freilich können wir diese vierte Dimension innerhalb des Weltkontinuums nicht unmittelbar wahrnehmen, sondern wir erschließen sie aus der Rechnung auf Grund gewisser Erscheinungen. Andere Relativitätstheoretiker sind dann in der dimensionalen Umgestaltung der Welt noch weiter gegangen, indem sie auch die Materie als dimensionalen Faktor werteten und so zur Auffassung einer fünfdimensionalen Beschaffenheit des Weltganzen gelangten. Das ist gegenwärtig sogar die herrschende Auffassung der Relativitätstheoretiker. Nach dieser haben wir also die uns umgebende Welt, das »Weltkontinuum«, als fünfdimensional zu denken, als eine Union des dreidimensionalen Raumes mit Zeit und Stoff, welch letzteren der Geltungswert je einer Dimension zukommt. Während also die Mathematik mit den von ihr definierten vieldimensionalen Räumen eine Wirklichkeitsvorstellung nicht verknüpft, ist im Gegensatz hierzu im Sinne der Relativitätstheorie das von dieser postulierte vier- oder fünfdimensionale Kontinuum die eigentliche Wirklichkeitswelt, wenn wir uns auch von einer solchen Beschaffenheit der Welt keinerlei sinnfällige Vorstellung machen können. Diese Auffassung ist den Relativitätstheoretikern selbst bereits so in Fleisch und Blut übergegangen, das Einstein, der Vater der heutigen Relativitätstheorie, den »mystischen Schauer«, der sich manchen Zeitgenossen in Erinnerung an die vierdimensionale Spuk- und Geisterwelt der Spiritisten aufdrängt, mit den Worten verspottet, es sei »keine Aussage banaler als die, daß unsere gewohnte Welt ein vierdimensionales Kontinuum ist«.

Aber auch gegen diese theoretisch erschlossene Auffassung einer vier- oder fünfdimensionalen Beschaffenheit der Welt erhebt sich das bereits betonte Argument der völligen Unvorstellbarkeit solcher begrifflichen Gebilde. Dieses Argument halten wir auch gegenüber der Relativitätstheorie aufrecht. Die Tatsache besteht, daß keinem menschlichen Geiste eine solche vier- oder fünfdimensionale Welt auch nur andeutungsweise vorstellbar ist, daß unser Sinnes- und Anschauungsvermögen und unser ganzes erkennendes Seelenvermögen überhaupt jede Möglichkeit einer solchen Vorstellung abweist. Dürfen wir die Daten, die Aussagen und Möglichkeiten unserer naturgegebenen Anschauung der theoretischen Spekulation zuliebe einfach in den Wind schlagen? Unmöglich! Alles Denken und Forschen geht von den Tatsachen und Gegebenheiten der sinnfälligen Erfahrung aus, die auch dann nicht erschüttert werden, wenn das theoretische Denken zu Ergebnissen kommt, die mit jenen Tatsachen in Widerspruch stehen. Die drei und nur drei Dimensionen, die mir die Anschauung zeigt, und die für jeden menschlichen Geist bestehende absolute Unmöglichkeit, sich Gebilde von mehr als drei Dimensionen vorzustellen, müssen für unsere Auffassung von der dimensionalen Beschaffenheit der Welt als ein rocher de bronze gelten.

Gewiß, die Sinne können trügen, und wir sind Irrtümern der Wahrnehmung, Sinnestäuschungen, Halluzinationen usw. vielfach ausgesetzt; andererseits aber ist die sinnfällige Wahrnehmung auch die Quelle absoluter Gewißheiten, über die kein Streit bestehen kann. Wenn ich drei Menschen vor mir sehe, so ist die mir damit vermittelte Dreizahl in jener Vorstellung eine absolute Gewißheit, und es hat überhaupt keinen Sinn, an dieser Gewißheit zu zweifeln. Und wenn ich an den Körpern nur drei Dimensionen wahrnehme und jede Vorstellung eines mehr als dreidimensionalen Ausgedehntseins für jedes menschliche Gehirn eine absolute Unmöglichkeit ist, so ist damit auch das Vorhandensein von drei und nur drei Dimensionen und die Unmöglichkeit des Vorhandenseins einer vierten Dimension in der Welt eine ebenso absolute Gewißheit. Sowenig mir überzeugend nachgewiesen werden kann, daß jene drei Menschen, die ich leibhaftig vor mir sehe, eigentlich vier oder fünf Menschen seien, sowenig kann irgendeine Theorie den Geltungswert der naturgegebenen Anschauung, die mir nur drei Dimensionen zeigt, erschüttern und aus diesen drei Dimensionen vier oder fünf machen. Der »mystische Schauer« vor der vierten Dimension, über den Einstein spottet, ist auch gegenüber den exakten mathematischen Deduktionen der Relativitätstheorie berechtigt und ist die verständliche Abneigung des normal denkenden Menschen, ohne weiteres eine Theorie zu akzeptieren oder theoretische Spekulationen als Wirklichkeit hinzunehmen, die an jedes menschliche Vorstellungsvermögen absolut unerfüllbare Anforderungen stellen. Die Vorstellbarkeit oder Unvorstellbarkeit aber einfach als quantité négligeable zu behandeln, die für Wert und Kritik einer Theorie völlig bedeutungslos sei (wie es die Auffassung der Relativitätstheoretiker ist), ist ein erkenntnistheoretisch absolut unzulässiges Verfahren und nur ein Beweis dafür, daß die Theorie hier über ein ihr widersprechendes Faktum nicht hinwegzukommen vermag. Die vier- oder fünfdimensionale Welt der Relativitätstheorie muß als genau so imaginär, als ebenso wirklichkeitsfremd wie die vieldimensionalen Räume der Mathematik bezeichnet werden. Tatsache ist, daß die Forscher, die die Relativitätstheorie ablehnen, ihre Gegnerschaft in erster Linie mit der völligen Unmöglichkeit begründen, die Forderungen und Annahmen dieser Theorie, vor allem die Annahme von mehr als dreidimensionalen Raumgebilden, mit unserer naturgegebenen Vorstellungs- und Anschauungsweise in Einklang zu bringen.

Es ist also folgendes festzustellen: Denken und Anschauen, diese beiden einzigen Quellen aller menschlichen Erkenntnis, sind innerhalb der Relativitätstheorie, wenigstens in der Fassung, in der sie uns gegenwärtig vorliegt, in einen, wie es zunächst scheint, unheilbaren Widerspruch geraten. Auf der einen Seite führen die Deduktionen der theoretischen Physik mit unabweisbarer Folgerichtigkeit dazu, auch Zeit und Stoff als Dimensionen zu werten, wodurch die Theorie, indem sie diese beiden als dimensionale Faktoren mit den drei Dimensionen des Raumes verknüpft, zur Forderung und Auffassung eines fünfdimensionalen Weltkontinuums gelangt. Auf der anderen Seite aber läßt uns das naturgegebene Anschauen der Welt nur drei Dimensionen erkennen und weist jede Möglichkeit der Vorstellung von Gebilden von mehr als drei Dimensionen absolut zurück, ein Faktum von nicht geringerem Geltungswert als die Forderungen und Folgerungen des reinen Denkens. Damit tut sich eine Antinomie, ein Widerspruch zwischen Denken und Anschauung auf, der überhaupt keiner Lösung fähig scheint.

Und dennoch gibt es – vielleicht – eine Lösung. Der Verfasser hat gerade das Problem der Dimensionen, insbesondere auch die Auffassung der Relativitätstheorie über die dimensionale Beschaffenheit der Welt, zum Gegenstand eigener Untersuchung gemacht, und es sei ihm gestattet, die Lösung jenes Widerspruches, die er gefunden zu haben glaubt, auch an dieser Stelle wenigstens in ihren Grundzügen zu skizzieren.

Es ist eine Lösung von größter Einfachheit und Natürlichkeit, die sich ganz ungezwungen darbietet. Gewiß sind auch Zeit und Stoff als dimensionale Faktoren zu werten, die ebenso wie der Raum zu der dimensionalen Wirklichkeitsgestaltung der Welt beitragen. Deswegen sind wir aber doch nicht genötigt, das jeder Anschaulichkeit und Vorstellung spottende Unding eines vier- oder fünfdimensionalen Kontinuums gelten zu lassen. Denn wie Zeit und Stoff den Geltungswert nur je einer Dimension haben, so hat auch der Raum, den wir bisher als das Kontinuum von drei Dimensionen aufzufassen gewohnt sind, in Wirklichkeit nur Funktion und Bedeutung einer Dimension. Das Kontinuum um uns herum ist dreidimensional, wie es uns die naturgegebene Anschauung lehrt; aber es ist nicht ein lediglich räumliches Kontinuum, sondern ein räumlich-zeitlich-stoffliches Kontinuum, in welchem dem Raum, der Zeit und dem Stoff die Bedeutung und Wirksamkeit je einer Dimension zukommt. In dem dreidimensionalen Kontinuum der Um- und Körperwelt, das wir als »Raum« bezeichnen, ist das Räumliche in Wirklichkeit nur eine Komponente von der Bedeutung einer einzigen Dimension, die sich mit den anderen beiden Komponenten, Zeit und Stoff, zu der dreidimensionalen Union der Wirklichkeitswelt zusammenfindet.

Das ist die Lösung, die uns selbst bei vollkommener Anerkennung der dimensionalen Wirksamkeit von Zeit und Stoff jeder Notwendigkeit enthebt, das Weltkontinuum als vier- oder fünfdimensional aufzufassen. Die theoretische Deduktion, die verlangt, auch Zeit und Stoff als Dimensionen in der Welt- und Wirklichkeitsgestaltung gelten zu lassen, ist mit der naturgegebenen Anschauung, die uns drei und nur drei Dimensionen zeigt und die Vorstellung von mehr als dreidimensionalen Gebilden zu einer absoluten Unmöglichkeit für jeden menschlichen Geist macht, in vollkommene Übereinstimmung gebracht. Die Antinomie zwischen Anschauung und Denken ist vollkommen und in natürlichster und ungezwungenster Weise beseitigt.

Diese Lösung bedeutet keinen Widerspruch gegen die Relativitätstheorie. Ganz im Gegenteil! Sie läßt insbesondere den genialen Grund- und Hauptgedanken Einsteins, die Relativität der Zeit, vollkommen unangefochten; aber sie stellt die Theorie in jenen Teilen, wo sie zu Konsequenzen führt, die jeder menschlichen Vorstellungsfähigkeit widersprechen, auf eine natürliche Basis, auf der die Forderungen der theoretischen Deduktion mit den Tatsachen und Forderungen der naturgegebenen Anschauungsweise in vollkommene Übereinstimmung gebracht werden. Sie befreit die Theorie von einem Widerspruch, der ihr in ihrer heutigen Fassung unzweifelhaft anhaftet und ihr, solange dieser Widerspruch besteht, den Stempel des Imaginären und Wirklichkeitsfremden aufdrückt.

Das Problem der Dimensionen ist nicht identisch mit den Problemen der Relativitätstheorie. Es hat lange bestanden, bevor die Relativitätstheorie aufgestellt wurde, und umfaßt wesentliche Gesichtspunkte, die von neuem aufgerollt und durch den Streit, der sich an jene Theorie heftet, von neuem Gegenstand der Betrachtung von den verschiedensten Gesichtspunkten aus geworden sind. Daß auch die Spiritisten bereits versucht haben, die Relativitätstheorie für ihre vagen Spekulationen über die vierte Dimension in Anspruch zu nehmen, soll der Komik wegen nicht unerwähnt bleiben. So nimmt das Problem nach wie vor im Denken unserer Zeit, in dem Ringen nach Wahrheit und nach Gewinnung eines Wirklichkeitsbildes, eine hervorragende Stelle ein als eine der eigentümlichsten Fragen, die den menschlichen Geist beschäftigen, umbraust vom Streit der Meinungen, Gegenstand der verschiedensten Spekulationen und nach wie vor seiner endgültigen Lösung und Entscheidung harrend.

Postskriptum

Der Grundgedanke, der in der Frage nach der dimensionalen Beschaffenheit der Welt die Forderungen der Relativitätstheorie mit den Forderungen unserer naturgegebenen Anschauung in Einklang bringen zu können glaubt, konnte hier nur angedeutet werden. Wer seine ausführlichere Darstellung und genauere Begründung kennen lernen will, wird diese in des Verfassers Schrift »Das Problem der Dimensionen« Berlin 1926, Verlag Arthur Collignon. finden, in der das Gesamtproblem, nicht nur die relativitätstheoretische Seite desselben, zum Gegenstand der Untersuchung gemacht worden ist und noch von anderen Gesichtspunkten aus die Dreiheit der Dimensionen als Naturkonstante der Weltwirklichkeit nachzuweisen gesucht wird. Der Verfasser glaubt, mit jenem neuartigen Gedanken, der auch dem Raum nur Wert und Wirkungsweise einer Dimension zuerkennt, das vielumstrittene Problem der dimensionalen Beschaffenheit der Welt zum wenigsten auf eine neue Grundlage gestellt zu haben, die eine Lösung des Problems bringen kann.