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4. Das Fermatsche Problem

Der Vater des Problems – Potenzen und Potenzsummen – Das Problem – Weil der Rand zu knapp war – Der Kampf um den Beweis – Teilerfolge – Der Wolfskehlpreis und seine Folgen – Ein Irrtum Fermats?

Die Geschichte des menschlichen Forschens ist reich an Problemen, die jahrhunderte-, ja sogar jahrtausendelang die Köpfe der Gelehrten beschäftigt und gewaltige Summen von Geistesarbeit gekostet haben, ehe die Wissenschaft zu einer befriedigenden und abschließenden Auffassung kam. Die Quadratur des Kreises, das Perpetuum mobile, die Dreiteilung des Winkels und viele andere noch, das waren solche Aufgaben, deren jede ein eigenes Kapitel in dem Geisteskampfe um wissenschaftliche Erkenntnis füllt. Die eben genannten Probleme können heute als gelöst und erledigt betrachtet werden, zu denjenigen Problemen aber, die bisher allem Scharfsinn getrotzt und sich trotz der Arbeit und Versuche von Jahrhunderten bisher ihrer Lösung standhaft entzogen haben, gehört das sogenannte Fermatsche Problem, das in gleicher Weise wegen der unergründlichen Schwierigkeit wie auch wegen der eigenartigen Geschichte, die sich daran knüpft, berühmt ist.

Das Fermatsche Problem entstammt dem Boden der wissenschaftlichen Zahlenkunde. Der Franzose Pierre Fermat (1601 bis 1665), der von Beruf zwar Jurist und Parlamentsrat, außerberuflich aber einer der hervorragendsten Mathematiker seiner Zeit war, hat seiner Wissenschaft das genannte Problem als berühmte Erbschaft hinterlassen. Bevor wir auf den Kernpunkt des Problems selbst eingehen, wollen wir zuvor kurz einen sehr einfachen mathematischen Begriff erläutern, an den es anknüpft, nämlich den Begriff der Potenz, deren sich viele unserer Leser aus der Schulzeit noch erinnern werden. Als Potenz bezeichnet der Mathematiker die Multiplikation einer Zahl mit sich selbst, wie etwa 5 × 5 oder 7 × 7 usw. Solche wie diese beiden Multiplikationsprodukte, bei denen also der gegebene Faktor zweimal auftritt, bezeichnet man dieserhalb als zweite Potenzen oder Potenzen zweiten Grades und schreibt statt 5 × 5 lieber 5 ² bzw. 7 ²; man liest diesen Ausdruck: »fünf hoch zwei«. Die untenstehende Grundzahl, also in unserem Falle 5 bzw. 7, heißt die Basis, die rechts oben angeführte Ziffer, also hier 2, der Exponent der Potenz. Ebenso kann man Potenzen mit höheren Exponenten bilden, wie etwa 3 × 3 × 3 × 3 = 3 ⁴ (gelesen: »drei hoch vier«), ein Ausdruck, dessen Zahlenwerte natürlich 81 ist, oder 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 ⁶, was, wie sich leicht ausrechnen läßt, 15 625 ist. Auf diese Weise kann man natürlich Potenzen mit beliebig hohem Exponenten oder, wie man zu sagen pflegt, Potenzen vom nten Grade bilden, wo also n irgendeine beliebige Zahl bedeutet. Die Werte der Potenzen werden mit steigendem Exponenten bald sehr hohe, wie der Leser sehr leicht feststellen kann, wenn er vielleicht einige solcher Potenzen mit hohen Exponenten, etwa 2 ⁶⁴ oder 12 ³⁰ usw. auszurechnen versucht.

Unter den Potenzen nehmen nun diejenigen des zweiten Grades, also wie 5 ² oder 13 ², in vielfacher Hinsicht eine besondere Stellung in der Zahlentheorie ein, unter anderem auch dadurch, daß die Summe zweier solcher Potenzen zweiten Grades wieder die zweite Potenz einer ganzen Zahl sein kann. So ist beispielsweise 3 ² + 4 ² = 5 ², was, wenn wir die Potenzen durch ihre Zahlenwerte ersetzen, auf die Gleichung 9 + 16 = 25 herauskommt; ebenso ist 5 ² + 12 ² = 13 ² oder 20 ² + 48 ² = 52 ² usw. Wohlgemerkt ist nicht immer die Summe zweier Potenzen zweiten Grades wieder eine solche Potenz; beispielsweise ist 5 ² + 6 ² = 61, die Zahl 61 aber kann nicht als zweite Potenz einer ganzen Zahl dargestellt werden. Wohl aber gibt es sehr viele, ja sogar unzählig viele Zahlenpaare, die die besondere Eigenschaft zeigen, daß die Summe ihrer zweiten Potenzen wieder die zweite Potenz einer ganzen Zahl ist. Diese Eigenschaft der zweiten Potenzen spielt in der Zahlentheorie wie auch noch in anderen Gebieten der Mathematik eine hervorragende Rolle; beispielsweise führt auch der bekannte pythagoreische Lehrsatz über das Verhältnis der Seiten im rechtwinkligen Dreieck auf eine solche wie die obenerwähnte Beziehung der Potenzen zweiten Grades.

Es liegt nun die Frage sehr nahe, ob etwa Ähnliches wie bei den zweiten Potenzen auch bei Potenzen höheren Grades möglich ist, also etwa auch die Summe zweier Potenzen dritten Grades wieder dritte Potenz einer ganzen Zahl sein kann. Diese Frage hat Fermat in den letzten Jahren seines Lebens zum Gegenstand seiner zahlentheoretischen Untersuchungen gemacht und ist dabei zu dem Resultat gekommen, daß immer nur die Summe zweier Potenzen zweiten Grades wieder eine Potenz gleichen Grades sein, Entsprechendes bei Potenzen höheren Grades aber niemals der Fall sein kann. Diese Behauptung wird für gewöhnlich in der Weise ausgedrückt, daß in der Gleichung a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ , wenn a, b und c ganze Zahlen sind, der Exponent n niemals größer als 2 sein kann. Fermat hat diese Behauptung auf den Rand eines Blattes in einem mathematischen Lehrbuch niedergeschrieben und hinzugefügt, daß er für seine Behauptung einen bewunderungswürdigen Beweis habe, daß aber der Rand des Blattes zu knapp sei, um ihn an dieser Stelle niederzuschreiben. Auch sonst hat er den Beweis nicht veröffentlicht und ist gestorben und hat sein Geheimnis mit ins Grab genommen. Den Beweis für die von Fermat aufgestellte Behauptung zu finden, das ist das Fermatsche Problem.

Als nach Fermats Tode dessen Sohn den Nachlaß des großen Mathematikers herausgab, wurde auch der von ihm aufgestellte Satz den Mathematikern bekannt. Leider aber fehlte der Beweis. Man suchte den Beweis von neuem zu finden, von der Meinung ausgehend, daß das, was Fermat gelungen sei, auch anderen Mathematikern gelingen müsse, mußte aber bald feststellen, daß der Beweis trotz aller darangesetzten scharfsinnigen Untersuchungen nicht zu erbringen war. Damit war ein ganz einzigartiger Fall in der Geschichte der Mathematik gegeben: ein Mathematiker hatte einen Satz aufgestellt und nach seiner Behauptung den Beweis dafür gefunden, der sich hinterher von keinem anderen von neuem entdecken ließ. Das reizte natürlich die Nachfolger Fermats ganz gewaltig und veranlaßte fast alle Mathematiker zu dem Versuch, den verlorenen Beweis von neuem zu entdecken, ohne daß aber die diesbezüglichen Bemühungen zum Erfolge geführt hätten. So war die Sachlage und so ist sie seit bald dreihundert Jahren im wesentlichen bis auf den heutigen Tag geblieben. Die meisten und hervorragendsten Mathematiker nach Fermat haben sich an der Lösung des Problems versucht; Euler, Legendre, der große Gauß, Abel, Cauchy, Kummer, Kronecker, Dirichlet usw., alle widmeten sie dem hartnäckigen Problem umfangreiche und tiefgründige Untersuchungen, ohne die Lösung finden zu können, und es blieb die Tatsache bestehen, daß ein von einem Mathematiker einmal entdeckter Beweis von den hervorragendsten Köpfen der mathematischen Wissenschaft, die zum Teil sogar viel bedeutendere Leistungen als Fermat aufzuweisen hatten, nicht nochmals entdeckt werden konnte. Niemals hatten die Mathematiker eine härtere Nuß zu knacken gehabt.

Allerdings wurden gewisse Teilerfolge erzielt. So hatte Leonhard Euler, einer der Größten in der Geschichte der Mathematik (1707-1783), die Nichtigkeit des Fermatschen Satzes für die 3. und 4. Potenz bewiesen, also den exakten Beweis geliefert, daß die Summe zweier Potenzen dritten Grades niemals wieder eine dritte Potenz sein kann und Entsprechendes für die vierten Potenzen, und der Mathematiker Dirichlet hat den Satz für die 5. Potenz bewiesen. Das meiste aber hat auf diesem Gebiete der hervorragende Mathematiker Eduard Kummer (1810-1893), eine Zierde der Berliner Universität, geleistet. Er hat die Nichtigkeit des Satzes von Fermat für alle Fälle bis zur 100. Potenz bewiesen. Aber alle diese Teilerfolge bedeuten keine vollständige Lösung des Problems, bedeuten noch nicht den notwendigen allgemeinen Beweis, daß der Satz von Fermat für alle überhaupt möglichen Potenzen, die ja ins Unendliche gehen, richtig ist. Dieser allgemeine Beweis steht immer noch aus. Solange das aber der Fall ist, muß immer noch mit der Möglichkeit gerechnet werden, daß sich vielleicht in sehr hohen Zahlenregionen Zahlen finden, die sich anders verhalten, als es der Fermatsche Satz wahr haben will. Kummer glaubte übrigens einmal, den vollständigen und allgemeinen Beweis gefunden zu haben, mußte sich jedoch von seinem Fachkollegen Dirichlet einen Fehler nachweisen lassen, durch den die Allgemeingültigkeit seines Beweises illusorisch wurde. An vierzig Jahre seines Lebens hat Kummer auf die Lösung des Problems verwandt, und die Tatsache, daß er bei allen glänzenden Einzelleistungen doch nicht bis zur vollständigen Lösung des Problems durchdringen konnte, ist bis an sein Lebensende eine Quelle gramvoller Resignation des großen Mathematikers gewesen. Auch nach Kummer haben sich die Mathematiker weiter um die Lösung des Problems bemüht, ohne jedoch weiterzukommen. Zahllose Male ist das Problem von den Universitäten als Preis- und Stipendienaufgabe ausgeschrieben worden, ungezählte Dissertationen und sonstige gelehrte Schriften sind darüber geschrieben worden, das Problem blieb, was es war, ungelöst und geheimnisvoll in seiner doppelten Rätselhaftigkeit.

Eine höchst merkwürdige Wendung in der weiteren Geschichte des Problems trat durch den folgenden Umstand ein: Im Jahre 1906 setzte der Mathematiker Wolfskehl in Darmstadt, der sich ebenfalls lange und vergeblich um den Beweis des Fermatschen Satzes bemüht hatte, einen Preis von hunderttausend Mark für die Lösung des Problems aus. Damit war – ein gänzliches Novum in der Geschichte der Mathematik – mit dieser Wissenschaft auf einmal Geld, sogar viel Geld, zu verdienen, und das bewirkte, daß das Fermatsche Problem mit einem Schlage und in völlig ungeahnter Weise auch das Interesse der Laienkreise auf sich lenkte und damit eine Popularität erlangte, wie sie kaum jemals ein mathematisches Problem zuvor aufzuweisen hatte. Ungeahnt viele, die bis dahin die Mathematik nur aus spärlichen Schulerinnerungen kannten, entdeckten plötzlich den Beruf zur Lösung schwierigster mathematischer Probleme in sich und machten sich wagemutig und hoffnungsvoll daran, den verlangten Beweis zu finden. Die Folge war, daß bei der Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften, die Wolfskehl mit der Ausführung seines Willens betraut hatte, bald eine ungeheure Flut vermeintlicher Lösungen des Problems einging, zumeist mit dem ebenso höflichen wie dringenden Ersuchen um baldige Auszahlung des ausgesetzten Hunderttausendmarkpreises verbunden. Leute aus allen Gesellschafts-, Berufs- und Bildungskreisen hatten im Handumdrehen das schwierige Problem, an dem sich seit zweieinhalb Jahrhunderten die besten Mathematiker vergeblich die Köpfe zerbrochen hatten, restlos gelöst. Aber keiner schoß den goldenen Vogel ab, den Wolfskehl hatte auffliegen lassen, keiner der Fachleute und keiner der anderen; nur für einzelne Arbeiten, die die Lösung des Problems zwar auch nicht erbracht, wohl aber zu wertvollen Resultaten in anderer Richtung geführt hatten, wurden aus den Zinsen des Legates Teilpreise vergeben. Die Geister, die Wolfskehl gerufen hatte, wurde die Göttinger Gesellschaft erst wieder los, als der Hunderttausendmarkpreis durch die Inflation vollkommen entwertet worden war. Seitdem ist es bedeutend stiller um das Fermatsche Problem geworden.

Aber auch die unverdrossene Arbeit der Fachleute hat das Problem bis heute nicht der Lösung zugeführt, und der Beweis, von dem Fermat sprach, konnte trotz aller ungeheuren darauf verwandten Mühen und Untersuchungen nicht entdeckt werden. Und weil dem so ist, neigen heute manche Mathematiker zu der Vermutung, daß Fermat sich geirrt habe und der Satz überhaupt nicht allgemein richtig und daher auch nicht allgemein zu beweisen sei. Tatsache ist, daß Fermat bei allem Bedeutenden, das er für die Zahlentheorie geleistet hat, sich doch auch wiederholt geirrt und Sätze aufgestellt hat, die hinterher von anderen Mathematikern als falsch nachgewiesen wurden. Möglich also, daß auch der »bewunderungswürdige Beweis«, den er für den nach ihm benannten Satz gefunden haben wollte, doch nicht ganz hieb- und stichfest gewesen ist, und wäre dem so gewesen, dann müßten allerdings alle Bemühungen um den Beweis für immer vergeblich sein. Aber dann müßte es gelingen, den Beweis für die Unrichtigkeit des Satzes zu erbringen. Auch das wäre eine Lösung des Problems, eine negative zwar, aber doch eine vollkommene Lösung, durch die der Kampf um das hartnäckige Problem genau so wie im entgegengesetzten Falle zum Abschluß gebracht werden würde. Aber dieser Unrichtigkeitsbeweis konnte bisher ebenfalls nicht erbracht werden, obwohl manche Mathematiker schon seit langem Untersuchungen nach dieser Richtung hin angestellt haben.

So ist das Problem wie seit zweieinhalb Jahrhunderten auch heute noch ungelöst, ist es nach wie vor die harte Nuß, an der sich allem Anschein nach noch weitere Generationen von Mathematikern und Nichtmathematikern die Zähne ausbeißen werden. Denn auch letztere lassen nicht locker, und von Zeit zu Zeit gehen immer wieder Mitteilungen durch die Presse über die endliche und wirkliche Lösung des Problems, Mitteilungen, die zumeist schon durch die Art der Abfassung erkennen lassen, daß sie von Unberufenen ausgehen, bei denen der Wunsch der Vater des Gedankens war.

Der Kampf um das Fermatsche Problem geht weiter. Gold ist zwar, nachdem der Wolfskehl-Preis durch die Inflation zu Wasser geworden ist, mit der Lösung heute nicht mehr zu verdienen. Aber wem die Lösung des Problems glückt, gleichviel ob im Sinne der Richtigkeit oder der Unrichtigkeit des Fermatschen Satzes, der wird sich einen dauernden Ehrenplatz in der Geschichte der Mathematik erworben haben, und sollte der Glückliche wirklich aus den Reihen der Nichtzünftigen stammen, dann würden ihn zehn Universitäten gern und freudig als Dr. honoris causa in ihre Reihen aufnehmen zum Dank dafür, daß er die Wissenschaft von einem der seltsamsten Rätsel befreit hat, das wie eine unergründliche Sphinx bisher aller gespottet hat, die es bezwingen wollten.