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IV.
Vom Humor der Zahl

3 + 3 = 11

Ein Druckfehler? – Die Sprache der Arithmetik – Vom Stellenwert der Ziffer – Ein genialer Einfall – Verschiedene Zahlensysteme – Ein Ehemann, der seit 11 001 Jahren verheiratet ist

»Eine etwas kühne Behauptung!« wird mancher Leser, der die anscheinend höchst unarithmetische Überschrift dieses Essais zur Kenntnis genommen hat, denken; und dann wird er vielleicht die Frage wälzen, ob hier wieder einmal der Druckfehlerteufel seine Hand im Spiel hatte, und wie es kam, daß ein solches haarsträubendes typographisches Versehen unbemerkt bleiben konnte. Daß der Verfasser die sonderbare Gleichung etwa für richtig halten sollte, wird der Leser nicht annehmen; denn wenn er auch allem Gedruckten, kritisch, wie er veranlagt ist, nur ein sehr bedingtes Zutrauen entgegenbringt, wird er im allgemeinen doch nicht abgeneigt sein, den Leuten, die Bücher schreiben, wenigstens eine annähernd zutreffende Kenntnis des kleinen Einmaleins immerhin zuzugestehen.

Allen solchen und ähnlichen Meditationen gegenüber sei aber festgestellt, daß weder Setzer noch Druckfehlerteufel für die Überschrift verantwortlich zu machen sind, und daß die befremdliche Gleichung 3 + 3 = 11 tatsächlich und alles Ernstes für richtig gelten soll.

Nachdem das homerische Gelächter, das diese Behauptung an manchen Stellen vielleicht erweckt hat, verklungen ist, sei es gestattet, den korrekten, mathematisch exakten Beweis dafür zu erbringen. Zu diesem Zweck wird zunächst um die Beantwortung einer Vorfrage gebeten: Wie heißt das Säugetier, dessen Füße man mit Hufeisen beschlägt und das man zum Reiten sowie zum Ziehen von Wagen verwendet? Der durch Kreuzworträtselentzifferung intellektuell trainierte Leser wird auf »Pferd« raten. Stimmt, aber wie kommt es dann, daß der Franzose dasselbe Tier mit » cheval«, der Engländer mit » horse« bezeichnet? Sehr einfach, weil der Franzose oder Engländer eine andere Sprache spricht; nur im Deutschen ist die Bezeichnung »Pferd« für den besagten Quadrupeden richtig, in anderen Sprachen wäre das falsch. Sehr richtig, und ebenso ist die Gleichung 3 + 3 = 11, die in der uns allein geläufigen mathematischen Sprache, nämlich dem Dezimalsystem, so absonderlich aussieht, in einer anderen Sprache dieser Art, das heißt in einem anderen Zahlensystem, vollkommen richtig. »Aha,« denkt jetzt der scharfsinnige Leser, »Einstein, alles relativ, also auch die mathematischen Lehrsätze und Behauptungen!« Worauf aber zu erwidern ist, daß das, was hier soeben über die Richtigkeit oder Unrichtigkeit der Gleichung 3 + 3 = 11 gesagt wurde, mit der Theorie Einsteins nichts zu tun hat, sondern in der Natur der Zahlen und Zahlensysteme begründet ist. Steigen wir also einmal ein wenig hinab in die Tiefen des Zahlenreiches, wo man ja immer viel des Überraschenden und Merkwürdigen erleben kann.

Unser herrschendes Zahlensystem, in welchem 3 + 3 nicht 11, sondern korrekterweise 6 ist, ist nur eins unter zahllosen möglichen Systemen dieser Art. Es wird als Dezimalsystem oder Zehnersystem bezeichnet, und zwar deshalb, weil es auf der Zahl Zehn als Grundzahl zum Aufbau des Zählens und aller rechnerischen Ausdrücke beruht. Wir kennen und verwenden in unserm Rechenverfahren lediglich zehn Zahlenzeichen, nämlich die Ziffern 1 bis 9 und außerdem die 0. Aus diesen zehn Ziffern bilden wir durch geeignete Kombination alle und selbst die größten Zahlenausdrücke. Die Zahlenwerte von 1 bis 9 werden durch einmaliges Setzen der entsprechenden Ziffern selbst dargestellt, alle höheren Zahlenwerte hingegen drücken wir durch mehrere solche nebeneinandergestellte Ziffern aus, wobei wir jeder Ziffer außer ihrem Grundwert noch einen besonderen Stellenwert beilegen, der immer eine Potenz von 10 ist. In dem Ausdruck 34 hat die 4 ihren Grundwert, die 3 dagegen das Zehnfache ihres Grundwertes, und der ganze Ausdruck stellt sich mithin dar als die Summe 3 × 10 + 4, den unser Rechensystem in der ungleich einfacheren und übersichtlicheren Form 34 auszudrücken gestattet. In derselben Weise drücken wir auch die größten Zahlenwerte durch die Stellenwerte der Grundziffern aus. In der Zahl 98 734 beispielsweise ist die 9, die an fünfter Stelle von hinten steht, durch diese Stellung gleichzeitig mit 10 000 = 10 ⁴, die 8 mit 1000 = 10 ³, die 7 mit 100 = 10 ², die 3 mit 10 multipliziert zu denken, und nur die 4, die erste Ziffer von hinten, repräsentiert durch diese Stellung lediglich ihren Grundwert. Die ganze Zahl stellt sich also dar als die Summe 9 × 10 ⁴ + 8 × 10 ³ + 7 × 10 ² + 3 × 10 + 4. Auf diese Weise können wir unendlich weit zählen, ohne jemals anderer als der zehn Grundziffern zu bedürfen, können wir die ganze unendliche Menge der Zahlen und selbst die denkbar größten Zahlenwerte vermittels jener arithmetischen Grundzeichen leicht und übersichtlich ausdrücken. Festhalten wollen wir für das Weitere hierbei, daß unser Zahlensystem, eben weil es ein Zehnersystem ist, auch nur zehn Grundziffern bedarf, nämlich der eigentlichen Zahlenzeichen 1 bis 9, die also alle kleiner sind als die Grundzahl selbst, und des Zeichens 0, das kein eigentliches Zahlzeichen ist, sondern nur den Stellenwert nach jedem Intervall von zehn Zahlen ausdrückt.

Machen wir uns klar, was es bedeuten würde, wenn uns nicht ein so einfaches Zahlensystem, das den Wert der Zahlen durch den Stellenwert der Ziffern ausdrückt, zur Verfügung stände. Dann müßten wir nicht nur für die Grundzahlen 1 bis 9, sondern für jede Zahl überhaupt ein eigenes Ziffernzeichen und ein eigenes Wort haben. Dann aber würde bald jedes Rechnen mit höheren Zahlen zur Unmöglichkeit werden, weil angesichts der Unendlichkeit der Zahlen sowohl der Wortschatz wie auch die Möglichkeit des ziffernmäßigen Ausdruckes binnen kurzem erschöpft sein müßte. Das Rechnen würde in Wort und Ziffer eine ganz ungeheuerliche Vielgestaltigkeit der Ausdrucksweise annehmen, der kein menschliches Gehirn gewachsen wäre. Nur für Rechnungen, die etwa bis zu 1000 oder allerhöchstens einigen Tausenden gehen, würde die Leistungsfähigkeit unseres Gedächtnisses ausreichen, darüber hinaus aber total versagen. Unser ganzes Geistesleben wäre dann in seinen Anfängen steckengeblieben. Es war einer der allergenialsten und fruchtbarsten Einfälle des menschlichen Geistes, die unendliche Menge der Zahlen in ein System von wenigen Grundziffern zu bringen, ein Einfall, auf dem ein gut Teil unserer gesamten Kultur beruht, von dem wir noch heute zehren und so lange zehren werden, als es überhaupt rechnende Menschen geben wird.

Wie sind wir nun aber gerade auf die Zehn als Grundzahl unseres Zahlensystems gekommen? Ganz zweifellos durch die zehn Finger, die im Beginn der arithmetischen Entwicklung des Menschen diesem als naturgegebene Rechenmaschine dienten. An der Reihe seiner Finger zählte er zunächst bis zehn, und hatte er höhere Zahlen zu bilden, so mußte er an derselben Fingerreihe eben von vorn beginnen. Durch diese naturgemäße Wiederholung und Vervielfachung der Zahl seiner Finger wurde er ganz von selbst auf das Zahlensystem geführt, dessen vollkommene Ausbildung allerdings erst auf sehr fortgeschrittener Stufe der geistigen und rechnerischen Entwicklung erfolgte. Diese Vorstellung von der Entstehung unseres Dezimalsystems führt zugleich aber auch zu der Folgerung, daß auch ein Zahlensystem mit der Fünf als Grundzahl sehr wohl möglich gewesen wäre. Der Mensch hätte, statt die Finger beider Hände zu verwenden, auch an den Fingern einer Hand zählen können. Dann hätte er immer von 1 bis 5 gezählt und dann wieder von vorn begonnen, und durch die immer erneute Wiederholung und Vervielfachung der Fünf als Grundzahl wäre es so zu einem regelrechten Fünfersystem gekommen, das ebenfalls, wenn auch in etwas anderer Form, den einfachen und übersichtlichen Ausdruck aller Zahlenwerte möglich gemacht hätte. Wir dürfen auch annehmen, daß ein solches Fünfersystem wirklich einmal bestanden hat, wenn allerdings auch nur in beschränktem Umfange. Reste eines solchen Zahlensystems sind noch heute erkennbar. Die Zahl Sechs, die wir heute mit einer einzigen Ziffer schreiben, wird mit römischen Ziffern zweizifferig, in der Form VI, geschrieben, also mit den nebeneinandergestellten Zahlenzeichen V und I, und entsprechend werden die folgenden Zahlen VII und VIII geschrieben. Also schon nach den ersten fünf Zahlen beginnt hier in der schriftlichen Darstellung die Wiederholung der Grundzahl, was als Überbleibsel eines früher einmal vorhanden gewesenen Fünfersystems sehr wohl gedeutet werden kann. Bei den Griechen im Homerischen Zeitalter bedeutete ferner das Wort für rechnen ( pempazein) seiner Ableitung und seinem ursprünglichen Sinne nach soviel wie »fünfern«, was ebenfalls darauf schließen läßt, daß die Fingerzahl nur einer Hand den ursprünglichen arithmetischen Bedürfnissen genügt haben mag. Die Ziffernsysteme der Griechen und Römer entbehrten übrigens noch der Null als Stellenzeichen, weswegen auch die Schreibweise in römischen Ziffern noch nicht vollkommen derjenigen unseres Dezimalsystems entspricht, das noch wesentlich einfacher und jenem daher technisch noch bedeutend überlegen ist.

Untersuchen wir nun einmal, wie die Zahlenwerte in einem Fünfersystem, das nach Art unseres Dezimalsystems gestaltet ist, auszudrücken wären. Ein solches bedürfte nur der vier Zahlenzeichen 1, 2, 3 und 4 und ferner der 0 als Stellenzeichen. Mit der Zahl Fünf begänne bereits die zweizifferige Schreibweise, diese Zahl müßte dann also 10, die Zahl Sechs entsprechend 11 geschrieben werden. Die Stellenwerte dieser und aller weiteren Zahlen wären nach Potenzen von 5 geordnet. In dem Zahlenausdruck 11 hätte die voranstehende 1 den Stellenwert 1 × 5, die dahinterstehende dagegen nur ihren Grundwert; der Ausdruck würde also die Summe 1·× 5 + 1 darstellen. Die Zahlenwerte unterhalb fünf würden einzifferig durch die entsprechenden Ziffern, der Zahlenwert drei also durch 3 ausgedrückt. Dann müßte also die Gleichung, die in unserem Dezimalsystem 3 + 3 = 6 geschrieben wird, im Fünfersystem 3 + 3 = 11 geschrieben werden. Quod erat demonstrandum!

Wohlgemerkt, der Zahlenwert der Summe 3 + 3 ist natürlich auch im Fünfersystem derselbe wie in unserem Dezimalsystem, also 6. Die Zahlenwerte der Rechenoperationen sind in allen Systemen dieselben, aber sie werden in den verschiedenen Systemen ziffernmäßig sehr verschieden ausgedrückt. Zwischen Zahlenwert und Zahlenausdruck ist also sehr genau zu unterscheiden. In diesem Sinne, also als ziffernmäßiger Ausdruck in einem von dem unsrigen abweichenden Zahlensystem, hat die Gleichung 3 + 3 = 11 ihre volle Richtigkeit.

Aber noch andere Zahlensysteme wären möglich. Wenn der Mensch zu den zehn Fingern auch noch die zehn Zehen hinzunahm, so kam er zu einem Zahlensystem mit der Grundzahl Zwanzig. Ein solches Zahlensystem, in welchem also auch die Stellenwerte nach Potenzen von 20 geordnet wären, hat, wie wir wissen, bei einer ganzen Anzahl früherer Völkerschaften bestanden und findet sich vollkommen ausgebildet beispielsweise bei den Azteken, den Ureinwohnern Mexikos, und noch anderen Stämmen. In den Sprachen dieser Völker finden sich eigene Worte für 20, 400, 8000 und die weiteren Potenzen der Grundzahl Zwanzig. Aber auch bei europäischen Völkerschaften ist, wie die Sprachforschung ergeben hat, das Zwanzigersystem einmal vorhanden gewesen, so bei den Kelten, und aus der Sprache dieser sind Reste des alten Zwanzigersystems auch auf einzelne der heutigen Kulturvölker übergegangen. Beispielsweise wird noch heute im Französischen die Zahl Achtzig durch quatre-vingt, also viermal zwanzig, ausgedrückt, und das ältere Französisch kennt noch mehr solcher vigesimaler Überbleibsel, wie six-vingt, quinze-vingt usw. Auch im Dänischen finden sich noch Reste eines Zwanzigersystems. Die Sprachforschung hat hier ein reichhaltiges Material zusammengetragen, das uns zugleich einen interessanten Blick auf die Vorstufen unseres heutigen Zahlensystems tun läßt. In dem Zwanzigersystem wäre die Gleichung 3 × 8 = 14 ziffernmäßig richtig. Es ist sehr einfach, die Zahlenwerte aus unserem Zehnersystem in das Fünfer- oder Zwanzigersystem, wie überhaupt in jedes andere Zahlensystem, zu übersetzen; der Leser, der das nach den gegebenen Andeutungen unternimmt, wird sehr bald auf den richtigen Weg kommen und damit zugleich zu einer überaus interessanten und geistreichen arithmetischen Beschäftigung gelangen, die ihm manche Eigenart der Zahlenwelt erschließt.

Fünfer-, Zehner- und Zwanzigersystem können auf Grund ihrer Herleitung von den natürlichen Organen des Menschen selbst als natürliche Zahlensysteme bezeichnet werden. Aber auch gänzlich andere Faktoren können zur Bildung von Zahlensystemen geführt haben. Bei den Neuseeländern war ein Elfersystem vorhanden, und Reste eines Zwölfersystems finden sich noch in vielen Sprachen, auch im Deutschen, wo das Dutzend, ferner auch die Rute, die zwölf Fuß zu je zwölf Zoll mißt, als Überbleibsel eines solchen Systems zu gelten haben. Ein Zwölfersystem hätte sogar große Vorteile gegenüber unserem Zehnersystem, denn die Zwölf ist durch mehr Zahlen als die Zehn, durch 2, 3, 4 und 6, teilbar, die Zehn nur durch 2 und 5, ein Umstand, der für unser ganzes Rechenwesen von großem Vorteil gewesen wäre. Vom arithmetischen Standpunkte aus also wäre es entschieden besser gewesen, wenn der Mensch zwölf Finger gehabt und dadurch das Zwölfersystem herrschend gemacht hätte. Ein Zwölfersystem ist neben dem herrschenden Zehnersystem auch bei den alten Babyloniern seitens der Priester und Gelehrten in Anwendung gewesen. Diese bauten dieses Zahlensystem noch aus und erweiterten es zu einem System mit der Zahl 60 als Grundzahl. Dieses Sechzigersystem ist für die gesamte Kulturentwicklung von größter Wichtigkeit geworden, denn die babylonischen Astronomen machten es zur Grundlage ihrer mathematischen Berechnungen und astronomischen Bestimmungen. Von ihnen stammt die Einteilung des Kreises in 6 × 60 = 360 Grade, die bis auf den heutigen Tag in der Mathematik herrschend geblieben ist, ebenso auch die Einteilung des Tages in 24 Stunden und des Jahres in 12 Monate, alles Bestimmungen, die auf das ehemalige Zwölfersystem zurückgehen.

Sogar ein Zahlensystem mit der Zwei als Grundzahl wäre möglich, und der Philosoph und Mathematiker Leibniz glaubte sogar die Spuren eines solchen bei den Chinesen entdeckt zu haben. Ein solches binäres Zahlensystem würde sogar sehr große Vorteile für uns haben, denn es würde nur die beiden Zahlzeichen 0 und 1 aufweisen, und alle Rechenoperationen wären nur mit den entsprechenden beiden Zahlenwerten auszuführen. Das Rechnen nach diesem System wäre also sehr leicht. Doch hätte es auch den großen Nachteil, daß alle Zahlenwerte, selbst die kleinen, verhältnismäßig große Ziffernausdrücke und sehr viele Stellen verlangen würden, was durch die Kleinheit der Grundziffer bewirkt würde. Die Stellenwerte der Ziffern wären nach Potenzen von 2 geordnet, und demgemäß würden die ersten zehn Zahlen unseres Zehnersystems in dem Zweiersystem geschrieben werden: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010. Ein Herr Lehmann, der in der Xstraße 75, vorn 4 Treppen wohnt, im Jahre 1879 geboren, jetzt also 50 Jahre alt, und seit 25 Jahren verheiratet ist, 6 Kinder und ein Einkommen von 10 000 Mark hat, würde, wenn wir seine Personalien im Zweiersystem ausdrücken, in der Xstraße Nr. 1 001 011, vorn 100 Treppen wohnen; er ist im Jahre 11 101 010 111 geboren; der Ärmste ist seit 11 001 Jahren verheiratet und hat 110 Kinder zu ernähren, wofür ihm allerdings das stattliche Jahreseinkommen von 10 011 100 010 000 Reichsmark zur Verfügung steht.