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Reine Mathematik
Reine Mathematik hat nichts mit Größe zu tun. Sie ist bloße Bezeichnungslehre – mechanisch gewordener, in Verhältnissen geordneter Gedankenoperationen. Sie muß lediglich willkürlich, dogmatisch instrumental sein. – So auf ähnliche Weise ist es auch mit der abstrakten Sprache.
Gibt es eine schöne Mathematik? Mystische Mathematik, musikalische Mathematik. Hat die Mathematik bloß einen endlichen Zweck? Ist sie nicht rein theoretisch? Wahrhafte reine Mathematik! Größen werden durch Größen konstruiert.
Die Mathematik ist Wissenschaft und Kunst
(Der Kalkul von den veränderlichen Größen ist eine Art von Mechanik, Konfigurations- oder Kommotionslehre.)
Die Mathematik ist echte Wissenschaft, weil sie gemachte Kenntnisse enthält, Produkte geistiger Selbsttätigkeit, weil sie methodisch genialisiert.
Sie ist Kunst, weil sie genialisches Verfahren in Regeln gebracht hat, weil sie lehrt Genie zu sein, weil sie die Natur durch Vernunft ersetzt.
Die höhere Mathematik beschäftigt sich mit dem Geiste der Größen, mit ihrem politischen Prinzip, mit der Größenwelt.
Der Vortrag der Mathematik
Der Vortrag der Mathematik muß selbst mathematisch sein. (Mathematik der Mathematik.)
Höhere Mathematik und Philosophie
Höhere Mathematik und Philosophie (oder Theorie der Ideen, des Unendlichen usw.) haben sehr viel Analogie. (Kurven – Reihen) Elemente. 3 Achsen.
Alles Sein soll in ein Haben verwandelt werden. Sein ist einseitig, Haben synthetisch, liberal.
Die Erscheinungen sind die Differentialen der Ideen. Ideen differentiieren und Erscheinungen integrieren ist sehr schwer.
Kommt das Potenzieren nicht vom Multiplizieren? Idealiter, nicht historisch. – Grundsatz der Rechenkunst a ± a. Hierin sind alle Rechnungsarten enthalten und alle Kategorien. Sollte die Philosophie überhaupt aus der Reflexion über die Mathematik entstehn?
Philosophie ist die Universal- oder höhere Mathematik, das belebende Prinzip der Mathematik, die poetische Mathematik. Oder der Stoff, wenn die Mathematik die Form ist.
Gewöhnlicher Philosophism = Chymism.
Wunder gehören in die Kategorie der Substanz.
(Mathematik.) Allgemeiner Begriff der Multiplikation, nicht bloß der mathematischen; so der Division, Addition usw.
Vorzüglich interessant ist diese philosophische Betrachtung der bisher bloß mathematischen Begriffe und Operationen bei den Potenzen, Wurzeln, Differentialen, Integralen, Reihen, Kurven und direkten Funktionen. Der Binomialsatz dürfte noch eine weit höhere Bedeutung, eine viel interessantere Anwendung in der Physik in betreff der Polaritäten usw. erhalten.
Dreifache Polaritäten, infinitinomische Polaritäten; nicht bloß Binomism, sondern auch Infinitinomism.
Ich verstehe eine Größe, wenn ich in ihrer Äquation auf der andern Seite eine Funktion der Gegengröße habe.
Eine Hauptantithese der Mathematik ist, bekannte und unbekannte Größen. ( und -, groß – klein, Teil – Ganzes.) Entweder such' ich nun die unbekannten Größen mit Funktionen der Bekannten zu gleichen oder umgekehrt. Zur letztern Rechnungsart gehört der Infinitesimalkalkül.
Axiomen
Axiomen beruhn auf sinnlicher Überzeugung. Die künstliche, gemachte Überzeugung geht vom Axiom aus. Die letztere hat die erstere verdrängt. Sie ist so scharf umrissen, jene hingegen so einfach als möglich; daher aber so unscheinbar. Sie ist auch mitteilbar, welches jene nicht ist.
Zahlen
Zahlen und Worte
Zahlen und Worte sind Zeitdimensionsfiguren und Zeichen. Wort und Zahlfigurationen.
Zahlensystem
Jedes wahre System muß dem Zahlensystem ähnlich geformt sein – auch das qualitative System oder das Nennersystem.
Wird etwa das qualitative System durch das Zahlensystem unendlich erweitert und umgekehrt das Zahlensystem borniert durch das qualitative System? oder beides indirekt?
Zählen
Über das homogene und heterogene Zählen, Zählen des Gleichartigen, Zählen des Ungleichartigen; eins durchs andre.
Das Maß
Das Maß ist, was an der Skale der Nullpunkt oder der Mittelgrad ist. Das echte Maß ist allemal das Mittel: auf der einen Seite Bruch, auf der andern Zusammensetzung.
Verschiedne Arten des Maßes.
Produkte
Produkte sind unvollkommne Potenzen usw. (Der Geist ist das potenzierende Prinzip; daher ist die Schriftwelt die potenzierte Natur oder technische Welt.)
Potenzen
Die Verhältnisse entstehen erst aus den Potenzen. Summe ist auch eine Art von Potenz. Potenz und Einheit ist eins. Unvollkommne Einheiten – irrationale Größen; vollkommne Einheiten – rationale Größen.
Die Reihe
Wenige bekannte Glieder, durch die man instand gesetzt wird, eine unendliche Menge unbekannter Glieder zu finden, machen die Konstruktionsformel der Reihe aus.
Zahlen Reihen – Flächen – Körper – Körperreihen.
Körperflächen – Körper Körper usf.
Addition – Subtraktion – Multiplikation – Division.
Potenzierung – Ausziehn – Logarithmisieren.
Ponieren – negieren usw. von Reihen – des Infinitums der Idealreihe.
Reihenformel einer Reihenformelreihe.
0, 1, ∞
(Gott ist bald 1 x ∞, bald 1/∞, bald 0)
Die Beweise von Gott gelten vielleicht in Masse etwas als Methode. Gott ist hier etwas, wie ∞ in der Mathematik – oder 0°. (Nullgrade.) (Philosophie der 0.)
(Gott ist bald 1 x ∞, bald 1/∞, bald 0)
Null
0 ist die positive Nichtbestimmung. Unendlichkeit – die negative Bestimmung überhaupt, x oder der Name – ebenfalls negative Bestimmung überhaupt.
(Wissenschaftslehre.) Bloßes Experimentieren mit a und b und O usw. gibt uns die allgemeinsten Formeln. Die allgemeinen Naturgesetze sind aus dem Experimentieren mit nichts entstanden.
Verbindung der Schöpfung ex nihilo et ex aliquo.
Das Allgemeine wird am besten durch nichts, 0, ausgedrückt. Die Atome sind gleichsam die Schriftzeichen der Natur und ihnen entsprechen die Schwingungen des Äthers – der Feste. Beide Systeme erklären sich gegenseitig: Aus einem allgemeinen Atom und einer allgemeinen Schwingung ist die Welt entstanden. Große und kleine Atome – große und kleine Vibrationen usw.
Die Plastiker oder Atomisten haben einen Stoff (bewegende Kraft), die Musiker einen modifizierenden Körper, einen Anstoß nötig. Fichte gehört zu den Musikern. (Konkavisten – Konvexisten; Eindruck –Ausdruck.) Beide haben einen Anstoß, eine Berührung nötig. Die einen zum Gestalten, die andern zum Bewegen. Theorie der Berührung. (Wozu überhaupt ein Anfang? Dieser unphilosophische oder halbphilosophische Zweck führt zu allen Irrtümern.) Das Übergangsgeheimnis der Transsubstantiation.
Eins
1 ist der Neutralpunkt, der Bestimmungspunkt, es ist eine graduale Größe. Je mehr es gebrochen wird, desto höhere Integrität erlangt (es), es wird ein höheres Ganze, eine höhere Einheit.
Dies ist der Mittelpunkt. Von beiden Seiten geht die Reihe nun
∞
Mathematische Prozesse – Rechnung des Unendlichen.
Alle Vereinigung des Heterogenen führt auf ∞. Theorie der Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsbeweise und Kalkül, Quadr(atur) d(es) Unendl(ichen) usw.
Unendliche Größen
Das Unendliche ist in der Mathematik das Ideale.
Eine unendliche Größe in der Mathematik eine solche Größe, die weder vermehrt noch vermindert werden kann: eine absolute, unveränderliche, mithin imaginäre Größe. Auch hier gibt's also ein Ideal, das aushelfen muß, ein Soll.
Theorie der absoluten Größen, sie begründet die Theorie der endlichen Größen, der gradualen Größen, die vermehrt und vermindert werden können. Die Integration hebt durch ein entgegengesetztes Verfahren den angeblichen Fehler (die Beziehung auf endliche Größen) auf. Sie annihiliert die Differentialen und vergrößert ihre scheinbaren Differenzen bis zur endlichen Größe. Es ist ein positives und negatives Verfahren.
Die Grundformel des Infinitesimal-Kalküls
.
Es ist eine scheinbare Behandlung, Bestimmung des Idealen, ein indirekter polarischer Kalkül. Gebrauch des Irrtums.
Infinitesimalkalkül
Bei Leibniz und Newton
Die Verschiedenheit der Leibnizschen und Newtonschen Vorstellungsart von der Rechnung des Unendlichen beruht auf demselben Grunde als die Verschiedenheit der atomistischen und Vibrations- oder ätherischen Theorie. Die Fluxion und das Differential sind die entgegengesetzten Anschauungen des mathematischen Elements; beide zusammen machen die mathematische Substanz aus. Es beruht auf dem Satze
. Dieses Plus ist das Differential oder die Fluxion der Funktionen von x und y. Die proportionelle Einteilung dieses Plus ist die Hauptschwierigkeit dieses Kalküls.
Leibniz nennt den Infinitesimalkalkül auch die Analysis Indivisibilium.
Infinitesimalkalkül heißt eigentlich Rechnung, Einteilung oder Messung des Nicht-Eingeteilten, Nicht-Vergleichbaren, Unermeßlichen. Analysis Indivisibilium = Analysis eines Individuums, Individualkalkül, echt physikalischer Kalkül.
Nach Condorcet
Nach Condorcet lehrt der Infinitesimalkalkül die Verhältnisse der sukzessiven Zu- oder Abnahmen einer veränderlichen Größe finden oder aus der Kenntnis dieses Verhältnisses die Größe selbst wieder auffinden – man mag nun diesen Zunahmen eine endliche Größe zuschreiben, oder deren Verhältnis nur für den Augenblick suchen, da sie verschwinden; eine Methode, die, da sie sich auf alle Kombinationen veränderlicher Größen und auf alle Hypothesen ihrer Veränderungen erstreckt, auf gleiche Weise für alle Dinge, deren Veränderungen eines bestimmten Maßes fähig sind, entweder die Verhältnisse ihrer Elemente, aus der Kenntnis der Verhältnisse, welche die Sachen gegeneinander haben oder die Verhältnisse der Sachen, wenn nur die ihrer Elemente bekannt sind, bestimmen lehrt.
Transzendentale Zeichenkunst
Geometrie ist transzendentale Zeichenkunst, Plastik. (Mechanik transzendentale Akustik usw.)
Sollte die Geometrie zum Teil nach der Lehre von den äußern Kennzeichen überhaupt behandelt werden können?
Die drei Dimensionen
Die drei Dimensionen sind Resultat der Reduktion unendlicher Dimensionen. Sie beziehn sich auf einen dreifachen Durchgang der Blätter.
Krumme Linie
Krumme Linie – Sieg der freien Natur über die Regel.
Alle krummen Linien entstehn nur durch sich selbst, wie Leben nur durch Leben entsteht.
Fläche
Der Begriff der Fläche ist nach dem Begriff des Körpers und fast aus demselben oder wenigstens mittels desselben entstanden.
Ein Triangel
Ein Triangel schließt eine Fläche ein. Eine dreiseitige Pyramide einen Körper. So wird Form konstruiert – wie Stoff? Nicht auch eine Trias? Gegenstück zur Trigonometrie.
Der Figuren Kanon
Auch instinktartig ist der Zirkel der Figuren Kanon.
Die Perspektiv
(Mathematik.) Die Perspektiv ist gleichsam die Lehre von der Übersetzung – oder Flächenkomposition – der Körper.
Elemente und Komposito
Die Elemente haben nicht das mindeste Verhältnis zum Komposito. (vid. Linien zu Flächen, Flächen zu Körpern.)
Geometrie und Mechanik
Geometrie und Mechanik verhalten sich wie Plastik und Musik. (Chymische Bewegungen, chymische Hemmungen.)
Algeber oder die Naturgeschichte der Größen
Die Lehre von den Verhältnissen gehört in die Algeber, oder die Naturgeschichte der Größen.
Algebraische Bearbeitung der bis jetzt bekannten Naturgesetze. Jedes Gesetz ist Funktion eines Naturgesetzes.
Über das Identifizieren und Substituieren des Algebraisten.
Algeber und Analysis
Algeber und kombinatorische Analysis sind durchaus kritisch. Die unbekannten, fehlenden Glieder findet man durch Syllogistik – kombinatorische Operationen der gegebenen Glieder.
Sonderbar ist es, daß man die Analysis meistens nur zu höherer Geometrie oder Mechanik gerechnet hat. Sie, mit Inbegriff der kombinatorischen Analysis, sind recht eigentlich transzendente Geometrie und Mechanik. Sie beschäftigen sich mit den tabellarischen Formen (Figuren) und Bewegungen der Zahlen oder Größenzeichen.
Die Verwandtschaft der Geometrie und Mechanik mit den höchsten Problemen des menschlichen Geistes überhaupt leuchtet aus dem atomistischen und dynamischen Sektenstreit hervor. Wort- und Zeichenmalerei gewährt unendliche Aussichten. Es lassen sich auch eine Perspektive und mannigfache tabellarische Projektionen der Ideen in ihr denken, die ungeheuren Gewinn versprechen.
Eine sichtbare Architektonik und Experimentalphysik des Geistes, eine Erfindungskunst der wichtigsten Wort- und Zeicheninstrumente läßt sich hier vermuten. (Instrumente sind gleichsam reale Formeln.)
Meine Sätze:
Alle Bewegung und Erregung entsteht nur durch Bewegung und Erregung.
Reiz und Beweglichkeit sind nur Verhältnisse von Bewegungen.
Alles, was erscheint, z. B. Bewegung und Erregung, war schon vorher da.
Aller sogenannte Reiz stört die Bewegung und Erregung vielmehr, polarisiert sie, und nun wird sie als gestörte Bewegung und Erregung sichtbar.
So unordentlich und konfus diese Sätze auch sind, so reichen sie doch zu, die Substantialität und Ursprünglichkeit der Bewegung und Erregung und die Verkehrtheit der bisherigen Sätze, die nur relative Gültigkeit behalten, darzutun. (Vid. Ritters galvanische Versuche.)
Gleichung
Auflösung eines Gleichnisses (Gleichung – absoluter Wert einer Gleichung).
Abszissen und Ordinaten
Jede Definition enthält ein (analoges) Verhältnis von (analogen) Abszissen und Ordinaten. Außer der Gleichung, dem Generalverhältnis, ist nun auch noch die Reihe der Veränderung in der Gleichung für diese Figur zu bestimmen. Das Exhaustionsgesetz der möglichen Wechselveränderungen dieser Funktionalgleichung von x und y, das Folgegesetz der individuellen Subsumtionen unter diese Generalgleichungsausdrücke.
Symmetrik –Symmetrie in Kompositionen. Abszisse und Ordinaten wachsen symmetrisch.
D'Aubusson
D'Aubussons chemische Erläuterung der Buchstabenrechnung. Diese Zeichen schließen nicht wie Zahlen ineinander, sondern man sieht noch in jeder Komposition die Elemente, ihre Verhältnisse und die Methode der Komposition. Ils s'associent, mais ils ne se confondent pas.
Der Differentialkalkül
Die Differentialrechnung ist die Kritik, die Integralrechnung die Auflösung, jene lehrt die Daten ordnen zu Gleichungen, diese die Gleichungen auflösen. Jene ist die Algeber, diese die Analysis; denn Algeber und Analysis verhalten sich auch so zueinander.
Der Differentialkalkül scheint mir die allgemeine Methode, das Unregelmäßige auf das Regelmäßige zu reduzieren; es durch eine Funktion des Regelmäßigen auszudrücken; es mit dem Regelmäßigen zu verbinden; das Regelmäßige zu dessen Meter zu machen; es mit demselben zu logarithmisieren.
Die Gegenwart ist das Differential der Funktion der Zukunft und Vergangenheit.
Echte Mathematik ist das eigentliche Element des Magiers
Die ganze Mathematik ist eigentlich eine Gleichung im großen für die andern Wissenschaften. Was ihr die Logarithmen sind, das ist sie den andern Wissenschaften.
Der Begriff der Mathematik ist der Begriff der Wissenschaft überhaupt.
Alle Wissenschaften sollen daher Mathematik werden.
Die jetzige Mathematik ist wenig mehr als ein speziell empirisches Organon.
Sie ist eine Substitution zur bequemeren Reduktion, ein Hilfsmittel des Denkens.
Ihre vollständige Anwendbarkeit ist ein notwendiges Postulat ihres Begriffs.
Sie ist der vollgültige Zeuge des Naturidealism. Der innige Zusammenhang, die Sympathie des Weltalls, ist ihre Basis.
Zahlen sind wie Zeichen und Worte, Erscheinungen, Repräsentationen kat'exochen.
Ihre Verhältnisse sind Weltverhältnisse. Die reine Mathematik ist die Anschauung des Verstandes, als Universum.
Wunder, als widernatürliche Fakta, sind amathematisch, aber es gibt kein Wunder in diesem Sinn, und was man so nennt, ist gerade durch Mathematik begreiflich, denn der Mathematik ist nichts wunderbar.
Echte Mathematik ist das eigentliche Element des Magiers.
In der Musik erscheint sie förmlich als Offenbarung, als schaffender Idealism.
Hier legitimiert sie sich als himmlische Gesandtin, kat'anthropon.
Aller Genuß ist musikalisch, mithin mathematisch. Das höchste Leben ist Mathematik.
Es kann Mathematiker der ersten Größe geben, die nicht rechnen können.
Man kann ein großer Rechner sein, ohne die Mathematik zu ahnden.
Der echte Mathematiker ist Enthusiast per se. Ohne Enthusiasmus keine Mathematik.
Das Leben der Götter ist Mathematik.
Alle göttliche Gesandten müssen Mathematiker sein.
Reine Mathematik ist Religion.
Zur Mathematik gelangt man nur durch eine Theophanie.
Die Mathematiker sind die einzig Glücklichen. Der Mathematiker weiß alles. Er könnte es, wenn er es nicht wüßte.
Alle Tätigkeit hört auf, wenn das Wissen eintritt. Der Zustand des Wissens ist Eudämonie, selige Ruhe der Beschauung, himmlischer Quietism.
Im Morgenlande ist die echte Mathematik zu Hause. In Europa ist sie zur bloßen Technik ausgeartet.
Wer ein mathematisches Buch nicht mit Andacht ergreift und es wie Gottes Buch liest, der versteht es nicht.
Jede Linie ist eine Weltachse.
Eine Formel ist ein mathematisches Rezept.
Die Zahlen sind die Drogen.
Die Arithmetik ihre Pharmazie.
Die höhere Mathematik enthält am Ende nur Abkürzungsmethoden.
Wunderbarkeit der Mathematik
Wunderbarkeit der Mathematik. Sie ist ein schriftliches Instrument, was noch unendlicher Perfektion fähig ist, ein Hauptbeweis der Sympathie und Identität der Natur und des Gemüts.
Magie der Zahlen
Lebendigkeit der Mathematik. Magie der Zahlen. Mystische Lehre des Pythagoras. Personifikation der 3, der 4 usw.
Zahlenmystik
Es ist sehr wahrscheinlich, daß in der Natur auch eine wunderbare Zahlenmystik stattfinde. Auch in der Geschichte. Ist nicht alles voll Bedeutung, Symmetrie, Anspielung und seltsamem Zusammenhang? Kann sich Gott nicht auch in der Mathematik offenbaren wie in jeder andern Wissenschaft?
Merkwürdige, geheimnisvolle Zahlen. Wie das Zählen noch neu war, so mußten oft vorkommende Zahlen beim Zählen wirklicher Dinge, charakteristische, bleibende Zahlen wie z.B. die zehn Finger und andre frappante Zahlenphänomene die Einbildungskraft der Menschen aufs lebhafteste beschäftigen und sie in der Wissenschaft der Zahlen einen tiefverborgnen Schatz von Weisheit, einen Schlüssel zu allen verschloßnen Türen der Natur ahnden lassen.
X
Gott ist wie Philosophie jedem alles und jedes; das personifizierte x, Fichtes Nicht-Ich.