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Zweiundzwanzigstes Kapitel

Leuchtfeuer in mathematischem Dunkel

Die offenen Fenster ließen durchsonnte laue Luft und Blütendüfte hereinströmen. Es war Juni geworden. Leibniz saß an diesem Vormittag in seinem Zimmer nahe dem Fenster in seinem Lehnstuhl und sann vor sich hin. Ab und zu trug er einige Ergebnisse seiner Überlegungen in ein kleines Notizheft ein, das er in der linken Hand hielt.

Woher diese Ruhe nach den umwälzenden Ereignissen der letzten Monate? Mit keinem Gedanken irrte er zu den düsteren Schatten, die um ihn lagen und die alle Grundlagen seiner Existenz bedrohten, lebte nur in einem aufsteigenden Rausch unerhörter Entdeckungen.

Vielleicht war diese entrückte Stimmung, dieses fiebernde geistige Vorwärtsstürmen nichts als die in Taten umgesetzte Erkenntnis, daß es um Deutschland und um ihn selbst schlechter stand als je. Denn der Verlust des Ministers Boineburg war nur ein tückisches Vorspiel einer viel größeren politischen Katastrophe gewesen. Wenige Monate später war eine zweite Todesnachricht nach Paris gelangt, die das Frohlocken der französischen Patrioten beinahe zu offener Freude steigerte. Der große Kurfürst von Mainz, Johann Philipp von Schönborn, war seinem Minister in sinnloser Plötzlichkeit in den Tod gefolgt. Und der Erzbischof von Speyer, Graf Beilstein-Metternich, nahm jetzt den Platz Schönborns ein: Für Leibniz der Verlust seiner Gönner und Auftraggeber, für das Reich der Verlust der Vorkämpfer des deutschen Gedankens.

Was blieb da übrig, als aus dem lauen Juniwind die Überzeugung von der Unzerstörbarkeit des Lebens als solchen zu trinken, und auf der Stelle, an die man von Gott gesetzt war, das höchste zu leisten, auf daß der Verlust, den das Universum und das eigene Volk erlitten hatten, wieder aufgehoben würde.

Eben hatte Leibniz eine neue Formel notiert, als ihm der Diener den Besuch des Grafen Ehrenfried Walter von Tschirnhaus anmeldete.

Tschirnhaus? Der junge Haudegen mit mathematischen Leidenschaften? Was führte den so unvermittelt daher? Leibniz hatte seit jenem unseligen Abend im Tanzhaus nichts mehr von ihm gehört. Nichts von ihm, nichts von Diane oder den anderen, da auch Philipp Wilhelm sich nach dem Tode des Vaters in wissenschaftliche Bemühungen vergraben hatte.

»Ich lasse den Herrn Grafen bitten«, sagte Leibniz, legte das Notizheft abseits und stand auf.

Wenige Augenblicke später klirrte Tschirnhaus in Reitertracht, offen lächelnd, ins Zimmer. Sein Arm schien ausgeheilt, denn er streckte Leibniz beide Hände entgegen.

»Ich wollte schon lange bei Ihnen vorsprechen, großer Landsmann!« sagte er mit überlauter Stimme und kniff dabei eines seiner blauen blitzenden Augen zu. »Aber«, dabei zuckte das blonde Bärtchen, »ich habe es einfach nicht gewagt. Ja, ich war zu feig zu einem solchen Schritt.«

Leibniz lächelte über das Gepolter des Edelmanns.

»Was hätte Ihnen geschehen sollen, Graf Tschirnhaus? Was denken Sie eigentlich von mir?«

»Nur Gutes. Wirklich nur Gutes. Das ist es ja eben. Gewiß, ich ärgerte mich damals furchtbar über Sie. Ich war so stolz auf meine Entdeckung. Und Sie zerschlugen mir alles mit einem Fingerschnippen. Allerdings habe ich das erst einige Wochen später eingesehen ...«

»Wollen Sie nicht Platz nehmen, Graf Tschirnhaus? Vielleicht beim Fenster. Die Luft draußen ist heute herrlich ...«

»Das will ich meinen. Ich bin heute morgens schon viele Meilen durch die Wälder geritten, um mir Mut zu machen.«

»In den Wäldern dürfte es gefährlicher gewesen sein als hier bei mir.«

Tschirnhaus lachte schmetternd auf. Dann sagte er überzeugt während er sich in den Lehnstuhl fallen ließ:

»Bei Gott, Herr Leibniz, Sie irren? Drei Duelle und eine Räuberbande wären mir gemütlicher gewesen als dieser Besuch bei Ihnen.«

Leibniz schüttelte den Kopf. Dann rückte er sich einen Stuhl in die Nähe des Edelmannes und erwiderte:

»Ich verstehe alles, verstehe, daß solch ein junger Kriegsmann wie Sie weder Duelle noch Räuber fürchtet. Daß er aber mich fürchtet, ist mir unverständlich. Ich gebe zu, daß wir nach unsrer ersten Bekanntschaft nicht eben als Freunde schieden. Aber doch auch durchaus nicht als Feinde. Ich war nicht einmal verstimmt. Im Gegenteil, ich bereute es, Ihnen die Freude an Ihrer Arbeit verdorben zu haben.«

Tschirnhaus hieb sich auf die Stirne. Dann sagte er komisch verzweifelt:

»Sehen Sie, das ist ja noch ärger. Und jetzt werden Sie mich verstehen. Sie sind sehr gütig, sehr milde, verzeihen mir mein unhöfliches Betragen von damals. Aber Ihre Güte hat einen Pferdefuß, wenn dieses schöne Bild erlaubt ist. Und dieser Pferdefuß ist Ihr Gefühl der Stärke und Überlegenheit. Einem Menschen, der einen Grenzfall für eine Entdeckung hält, kann ein Leibniz eben nicht zürnen. Er kann ihn höchstens bemitleiden. Wenn es sich schickte, möchte ich jetzt vor Schmerz heulen. Denn ich habe mich, bevor ich Sie kennenlernte, für den ersten und größten Mathematiker Deutschlands gehalten. Geradezu für einen Bahnbrecher. Jetzt begreifen Sie, daß es schwer war, alles einzusehen und dazu noch herzukommen und es zu beichten.«

»Was soll man darauf antworten ?« Leibniz senkte den Blick. »Jedes Wort, das ich sagen könnte, würde von Ihnen falsch gedeutet werden, da Sie einmal die Hypothese meiner Überlegenheit und meines Zartgefühls aufstellten. Es gibt da, glaube ich, nur einen ehrlichen Ausweg. Wir sind Landsleute, sind begeisterte Mathematiker. Wir werden uns also öfters treffen und gemeinsam am Aufstieg der Mathematik arbeiten. Für die Wissenschaft und für Deutschland.«

Tschirnhaus sprang so dröhnend auf, daß Leibniz erschrak.

»Jetzt habe ich gesiegt. Heil diesem Tage! Das wollte ich erreichen. Ich sehe endgültig ein, daß nicht nur Kanonen ungefährlich sind, sondern auch erleuchtete Geister. Gefährlich sind einzig die Lüge und die falsche Scham. Und gleichwohl ist nichts schwerer, nichts verwickelter als die Wahrheit. Und nichts furchterregender für den, der sie sagen soll.« Er ging mit blitzenden Augen auf und nieder.

Leibniz schwieg kurze Zeit. Ein leiser Schmerz überkam ihn. Und zwar ein Schmerz doppelter Art. Er verglich Tschirnhaus mit Philipp Wilhelm. Große Anlagen und Talente der beiden. Beide aus altem Adel. Und trotzdem wie viel mehr an Frische und Natürlichkeit, an kindlicher Hingabe bei Tschirnhaus. Wer von beiden würde durch seinen brennenden Ehrgeiz höher geführt werden? Wahrscheinlich Boineburg. Und das, weil er sich nicht so an das Ganze hingab wie Tschirnhaus, weil sein Ehrgeiz ein begrenzterer, persönlicherer war. Hier setzte der zweite Schmerz Leibnizens ein. Tschirnhaus war durch und durch ein Deutscher. Erfüllt vom Mut und von der tiefen Gläubigkeit des Deutschen. Von einem Glauben, dem oft der notwendige Zweifel fehlt und der dadurch in Zonen vorstößt, die erst nach Jahrhunderten erreichbar sein werden...

Er mußte dem Jüngling etwas Aufmunterndes, Anerkennendes sagen. Etwas, das zugleich wahr und erfreulich war. So begann er:

»Gleiches für Gleiches, Graf Tschirnhaus. Es ist nichts ohne Sinn im Weltgeschehen. Auch ich habe Ihnen ein Geständnis zu machen. Ihre Tangentenlösung, so unvollkommen sie noch war, hat der Wissenschaft schon mächtig genützt. Sie zeigte mir nämlich einen Weg ungeheurer Zukunftsmöglichkeiten. Und diesen Weg wollen wir nun gemeinsam ausbauen.«

Tschirnhaus war stehengeblieben. Wieder lachte er. Diesmal aber schmerzlich.

»Quod erat demonstrandum!« rezitierte er im Ton eines Kirchengebetes. »Was eben zu beweisen war. Nämlich, wer ist Tschirnhaus und wer ist Leibniz. Der eine rechnet schlecht, der andre macht daraus einen neuen Weg für die Zukunft. Trotz der tragischen Rolle, die mir in dieser Sache zugeteilt ist, werde ich versuchen, in der Zukunft richtig zu rechnen. Vielleicht kommen dadurch Sie auf Irrwege. Oder noch besser. Rechnen Sie einmal falsch. Vielleicht entdecke ich dann etwas Nützliches.«

»Ich nehme an, daß Sie sich der tiefen Bedeutung Ihrer bitteren Scherze bewußt sind. Schließlich hat Columbus Amerika auch nur entdeckt, weil er nach Ostindien fahren wollte. Jedenfalls ist ein schlechter Ostindienfahrer stets besser als der beste Überquerer des Adriatischen Meeres.« Leibniz machte eine Pause. Dann sagte er schnell: »Setzen Sie sich jetzt wieder zu mir, Graf Tschirnhaus. Wenn es Ihnen bequem ist. Ich denke daß Sie einiges von dem interessieren könnte, was ich Ihnen jetzt als dem ersten Menschen auf der Welt eröffnen möchte.«

»Das war einmal ein Wort, das mir restlos gefallen hat. Nun weiß ich, daß alles zwischen uns in Ordnung ist.« Tschirnhaus ließ sich nieder. Plötzlich aber zuckte es wieder über sein Gesicht und er verkniff ein Auge. »Also los. Der ›erste Mensch‹ ist so gespannt, daß er es kaum erträgt. Wenn man schon selbst umwirft, will man wenigstens dabei sein, wie andere galoppieren.«

Leibniz hatte wieder sein Notizheft in die Hand genommen und klopfte leise mit dem Stift auf den Deckel des Heftes. Er sah einen Augenblick zum offenen Fenster hinaus und beruhigte sein Auge an den strotzenden, wie Lack glänzenden Blättern der Bäume, die regungslos im allzuleichten Lufthauch verharrten. Dann begann er leise:

»Graf Tschirnhaus, ich weiß, daß ich Ihnen nur Dinge erzähle, die Sie ebensogut wissen wie ich. Vorläufig erzähle ich solche Dinge. Aber ich muß darüber sprechen, da es die Voraussetzung der folgenden, eher abwegigen Betrachtungen ist. Ich meine nämlich jetzt die Mathematik als solche. Sie ist für den, der von ihr erfaßt wurde, nicht bloß eine Wissenschaft, sondern beinahe eine Krankheit.«

Tschirnhaus lachte belustigt auf.

»Bei Gott, Sie haben recht!« stimmte er zu. »Und zwar eine chronische, unheilbare Krankheit.«

Leibniz sprach schon weiter:

»Man könnte mir einwerfen, jedes Wissen werde für den, der ihm verfallen ist, zu solch einer Krankheit entarten. Es ist aber doch nicht so klar bei den anderen Wissenschaften. Ich kann es beurteilen, da ich mich ja in vielen Gebieten versuche. Ich fragte mich also, warum gerade die Mathematik vom Menschen so unbarmherzig Besitz ergreift. Und ich fand eine Erklärung. Unser Geist nämlich scheint ein geheimes Räderwerk zu besitzen wie meine Rechenmaschine. Ich werde sie Ihnen später zeigen. Man stellt die Aufgabe ein, dreht an der Kurbel und jetzt beginnen Zahnräder und Walzen, Sperren und Gestänge zu arbeiten, und plötzlich steht das Ergebnis da. Es arbeitet da alles nach notwendigen Gesetzen im Dunklen. Und nun übertragen Sie dieses grobe Bild auf den ganzen Kosmos der Zahlen, Linien und Figuren. Man hat an der Kurbel gedreht, vielleicht unabsichtlich. Ist hineingeraten in die Problemstellungen. Und nun beginnt das Räderwerk im Inneren weiterzuarbeiten, ob man es will oder nicht. Man bleibt verfallen, wird gleichsam mathematisiert, bis unser Geist die Resultate herausstellt oder bis das Räderwerk in Unordnung gerät und der Geist verstört wird. Stets aber vollziehen sich große mathematische Dinge unter der Oberfläche, verschwinden in Tiefen, die kein Mensch mehr ergründen kann, um plötzlich an unerwarteter Stelle wieder, neugeboren und verwandelt, ans Licht zutreten.«

Leibniz machte eine Pause. Als Tschirnhaus nicht antwortete, setzte er fort:

»Sehen Sie, Graf Tschirnhaus, ich legte einmal dem großen Huygens eine Rechenaufgabe vor. Und machte ihn auf das sonderbare Ergebnis aufmerksam. Hier ist die Gleichung.« Leibniz warf die folgenden Ziffern auf ein Blatt des Notizheftes hin: , und reichte das Geschriebene Tschirnhaus, der sie kopfschüttelnd betrachtete. »Wissen Sie, was mir Huygens erwiderte?« fragte er dann. »Er erklärte, das Resultat sei durchaus unbegreiflich.«

»Es stimmt aber«, murmelte Tschirnhaus. »Wenn ich auf beiden Seiten quadriere, heben sich die imaginären Zahlen in den Quadraten fort und im doppelten Produkt steht zweimal Wurzel aus plus vier. Es bleibt also tatsächlich sechs ist gleich sechs.«

»Natürlich gibt es unendlich viele derartige Beispiele, in denen aus ganz unvorstellbaren Größenverbindungen plötzlich etwas höchst Greifbares wird. Huygens hat recht gehabt und Sie, Graf Tschirnhaus, haben nicht grundlos den Kopf geschüttelt. Machen wir uns die Sache unerbittlich klar: Ich soll in unsrem Beispiel nichts weniger, als zwei Wurzeln summieren, bei denen unter dem Wurzelzeichen die Unvorstellbarkeit einer Summe oder Differenz von eins und einer imaginären Zahl steht. Die Kurbel wird gedreht, irgendwo bewegt sich ein Räderwerk und schließlich fällt ein Ding heraus, die Wurzel aus sechs, die ich ruhig als 2.4494897428... anschreiben kann, wenn ich übertrieben genau sein will. Also etwas ganz und gar Gewöhnliches, Unmystisches. Jetzt aber will ich einen Schritt weiter machen...«

Tschirnhaus war aufgestanden und ging mit geröteten Wangen und blitzenden Augen im Zimmer auf und nieder.

»In solchen Zusammenhängen habe ich Mathematik noch nie erläutern gehört«, sagte er, wieder überlaut. »Sie haben eine merkwürdige Art, Herr Leibniz, einem kalte Schauer über den Rücken zu jagen, wenn es sich auch bloß um Dezimalbrüche handelt. Jetzt aber schnell die angekündigten weiteren Schritte! Vorläufig bin ich ebenso ahnungslos wie geängstigt.« Und er lachte schmetternd.

»Der nächste Schritt führt uns zurück in das kühle Reich der Logik«, erwiderte Leibniz lächelnd. »Wir müssen noch einige Wellentäler durchqueren, bis wir dorthin gelangen, wo selbst mir die kalten Schauer über den Rücken laufen. Ich stelle jetzt eine Frage, eine rhetorische natürlich: Was hat uns in den Stand gesetzt, aus der Unbegreiflichkeit der imaginären Doppelwurzeln das banale Ergebnis zu erhalten? Was hat uns weiter in den Stand gesetzt, das Ergebnis zu prüfen? Ich denke, es war nichts als der Algorithmus, die Notation, die Schreibweise. Oder nennen Sie es, wie Sie wollen. Aus der Anschauung des Sache selbst wäre man nie zu etwas gelangt, weil ja schon die Voraussetzung vorlag, etwas vollkommen jeder Begreiflichkeit Entrücktes zu bearbeiten. Uud nun muß ich wieder abschweifen, Graf Tschirnhaus. Setzen Sie sich wieder zu mir. Wir sind noch im tiefsten Wellental.«

Tschirnhaus gehorchte mechanisch. Als er sich niedergelassen hatte, sprach Leibniz schon weiter:

»Seit Archimedes, oder wenn Sie wollen, seit noch älteren Zeiten, gibt es ein ungeheures Problem in der Mathematik. Ein Problem, dem sich die Größten unter den Mathematikern stets wieder näherten, dessen Zipfel sie faßten, ohne das Tuch, das über dem Geheimnis liegt, je lüften zu können. Es ist bis heute gleichsam ein namenloses Problem, obgleich man es klar und genau und allgemein bezeichnen kann. In der Arithmetik heißt es das Irrationale, die Größe, der durch keine Messung restlos beizukommen ist. In der Geometrie aber heißt es die Behandlung und Durchdringung der Größe und der Eigenschaften von Kurven. Alle sogenannten Quadraturen, Kubaturen und Rektifikationen gehören dazu. Ich brauche dem Mathematiker Tschirnhaus wohl nicht zu erläutern, daß Kepler, Fermat, Pascal, Cavalieri, Vieta, Wallis, Gregorius a Sto. Vinzencio, Huygens, Descartes, um nur einige Namen zu nennen, Meister dieser anonymen Wissenschaft waren. Ja, daß sogar selbst die Alten, Achimedes allen voran, mit ihrer sogenannten Exhaustionsmethode zu sehr genauen Annäherungen gelangten. Man weiß auch schon viel über diese Dinge. Aber – es sind entweder zusammenhanglose Genie-Blitze Einzelner oder aber, wie ich schon sagte, Annäherungen. So habe ich selbst eine Reihe gefunden, deren Summe uns die berühmte Verhältniszahl zwischen Kreisumfang und Durchmesser fast genau wiedergibt. Sie lautet: I – 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 – ... und so fort ins Unendliche. Diese Entdeckung hat mir meine Berufung in die französische königliche Akademie eingetragen. Und gleichwohl, all das befriedigt mich nicht. Es beängstigt mich nur.«

»Und warum nannten Sie das Problem ein anonymes?« Tschirnhaus, in dessen Kopf die Worte Leibnizens arbeiteten, blickte ihn aus großen blauen Augen an.

»Ich gebe zu, den Ausdruck unglücklich gewählt zu haben«, erwiderte Leibniz. »Nämlich nicht das Problem selbst ist anonym. Ich habe es ja selbst deutlich benannt. Anonym ist etwas ganz anderes an dem Problem. Um aber das zu erklären, muß ich etwas behaupten, was ich heute noch nicht beweisen kann.«

»Behaupten Sie es getrost.« Tschirnhaus, dessen Ungeduld und Spannnung mit jeder Minute wuchs, schlug Leibniz auf die Schulter.

»Ich werde es auch behaupten«, erwiderte Leibniz mit merkwürdiger Festigkeit. »Kurz gesagt, ich bin überzeugt, daß wir bis heute noch nicht im Besitz aller Rechnungsoperationen sind. Das Irrationale und die Berechnung der Kurven erfordern zwei weitere Operationen, die man heute noch nicht kennt.«

»Und die Sie schon besitzen!« Wieder war Tschirnhaus in höchster Erregung aufgesprungen.

»Die ich noch nicht besitze. Leider noch nicht besitze«, sagte Leibniz betont. »Aber ich sehe den Anfang des Weges, den bisher noch keiner der erlauchten Geister gesehen zu haben scheint. Ich vertraue dabei auf meine Unbefangenheit als Autodidakt. Bisher fiel mir alles schwer, was anderen leicht schien, und ich bewältigte spielend Dinge, die andren unlösbar vorkamen. Der Autodidakt ist nämlich nicht durch die Schule in eine bestimmte Richtung gedrängt, geht daher auch nicht achtlos an Seitenpfaden vorbei, die nur scheinbar Seitenpfade, in Wahrheit aber Hauptstraßen sind. Und der Autodidakt bringt oft die abgelegensten Dinge zueinander, die dann eine völlig neue Kombination ergeben. So habe ich die Lehren des Zauberers Raimundus Lullus mit Cavalieri und Fermat, Pascal und Descartes verbunden.«

Tschirnhaus drehte sich auf seiner Wanderung durch das Zimmer brüsk herum.

»Jetztwerden Sie kraus, Verehrter!« schrie er erbost. »Auch ein Gutwilliger kann Ihnen nicht mehr folgen.«

»Sie wissen nicht, Graf Tschirnhaus, wie sehr mich Ihre leidenschaftliche Art anregt.« Leibniz lächelte fein. »Sie erinnern mich an den prächtigen Erhart Weigel in Jena.«

»Und was ist es nun mit dem Zauberer Lullus ? Ihre Freundlichkeit in Ehren! Aber weichen Sie nicht aus.«

»Ich weiche doch nicht aus. Wir werden sogleich das Labyrinth verlassen. Vor allem: Raimundus Lullus hat mich gelehrt, daß im Algorithmus, in der Schreibweise, ein Teil des Zaubers liegt, von dem wir schon früher sprachen: Jenes rätselhafte Verschwinden mathematischer Verbindungen ins Unbekannte. Die dann plötzlich, wie ich sagte, gleichsam neugeboren und verändert, an andrer Stelle auftauchen. Haben Sie sich noch nie gewundert, was bei der Analysis des Descartes vorgeht? Machen wir es uns wieder einmal rücksichtslos klar. Sie schreiben für eine Kurve eine Gleichung hin: y ist gleich so und so viel mal x und x zum Quadrat und dazu noch a und b oder was Sie wollen. Und jetzt zaubern Sie lullisch. Sie rechnen rein nach den Regeln der Arithmetik mit den Gleichungen herum, bilden andere Gleichungen, eliminieren Unbekannte und denken nicht ein bißchen mehr an Zeichnung, Kurve und Koordinaten. Und auf einmal, wie ein Taschenspieler, übertragen Sie das Berechnete auf die Zeichnung. Und Sie haben Schnittpunkte, Tangenten, Normalen, Leitstrahlen, Flächenstücke und was sie noch alles wünschen. Ist das kein Zauber?«

»Sind wir jetzt nicht abgeirrt?« Tschirnhaus schüttelte den Kopf. »Aber Sie haben doch wieder recht. Es ist ein Zauber. Man ist durch unbekannte Tiefen geschritten, hat sich in Höhlen vergraben, um plötzlich unerwartet ans Licht zu kommen. Ich begreife schon einiges.« Er setzte sich, in Gedanken versponnen nieder.

Leibniz aber sprach einige Zeit nichts. Auch ihn schienen jetzt die Gedanken derart zu bedrängen, daß er nach dem richtigen Anfang suchen mußte.

»Sehen Sie, Graf Tschirnhaus«, begann er plötzlich, »auch die Addition, auch die Multiplikation und Division, wie sie die Knaben in der Schule lernen, ist solch ein Zauber, solch ein Algorithmus. Ein Abacus, eine Denkmaschine. Nur gibt man sich kaum Rechenschaft davon, was bei diesen Tätigkeiten alles problematisch ist. Weil wir gerade von den Rechenoperationen sprechen: Die eine der neuen, noch fehlenden Operationen, die Berechnung der Länge der Kurven, die Berechnung von Flächen und Körpern, die von Kurven eingeschlossen sind, ist schon ein wenig ausgebildet. Es ist eine zusammensetzende Operation, die der Addition, der Multiplikation und der Potenzierung entspricht. Ganz unbekannt aber ist die dazugehörige auflösende Rechnungsart. Also das Gegenstück der Subtraktion, Division und Radizierung. Ich nenne sie vorläufig Transmutation. Später einmal wird sie vielleicht anders heißen. Und jetzt, Graf Tschirnhaus, wollen wir gegen den Gipfel steigen. Was ich suche, ist eine Schreibweise für diese zwei neuen Rechnungsarten, eine Schreibweise, die so klar und einfach ist, daß sie all diese Überlegungen dem Bereich zufälliger Erleuchtungen der Virtuosen entzieht, daß jeder Mittelmäßige sie handhaben kann, daß sie – kurz gesprochen – zum Algorithmus, zum Abacus, zur selbsttätigen Denkmaschine wird. Nirgends brauche ich diese Maschine notwendiger als hier. Denn es handelt sich dabei um nichts weniger als um Rechenoperationen mit dem unendlich Kleinen und unendlich Großen. Oder wenn Sie es lieber wollen, mit dem beliebig Kleinen und beliebig Großen.« Leibniz nahm wieder sein Notizheft, das er abseits gelegt hatte, und setzte fort: »Ich will Ihnen jetzt eine kleine Zeichnung zeigen. Anknüpfend an eine Überlegung von Blaise Pascal, die allerdings anderen Zwecken diente. Sie werden jetzt auch verstehen, warum ich behaupte, Ihre Tangentenaufgabe habe mich angeregt. Sehen Sie, hier ist die Zeichnung.«

Und er reichte das Notizheft Tschirnhaus. »Es ist doch klar«, sprach er weiter, »daß das große dickumränderte Dreieck dem kleinen geschrafften Dreieck ähnlich ist. Es hat ja die gleichen Winkel. Das große Dreieck nenne ich nun ›das charakteristische‹. Und nun stellen Sie sich vor, daß, im Sinne der Pfeile, die beiden punktierten Linien und zugleich die Punkte D und E immer näher zusammenrücken. Dadurch wird doch das kleine Dreieck, ohne seine Gestalt zu ändern, stets kleiner und kleiner werden. Es wird aber dem ›charakteristischen‹ Dreieck stets ähnlich bleiben. Wird auch nicht seine Lage verändern. Und nun wollen wir den letzten Schritt wagen. Das kleine Dreieck sei so sehr zusammengeschrumpft, daß es dem Auge nur mehr als Punkt, als der Punkt A nämlich, erscheint. Ich entdecke es als winziges Dreieck, noch immer ähnlich dem ›charakteristischen‹, durch

ein Mikroskop. Ich gebe mich nicht zufrieden. Ich schiebe durch irgendwelche Werkzeuge die Punktlinien und D und E noch näher zueinander, bis auch im Mikroskop nur mehr ein Punkt sichtbar ist. Und in Gedanken, mit Hilfe dieses wahren Deus ex machina, gehe ich noch weiter und noch weiter. Beliebig weit. Unendlich weit. Alles ist längst verschwunden, ruht als Atom im Punkt A. Übriggeblieben ist das Verhältnis der drei Seiten des kleinen Dreiecks. Denn ich habe sie alle drei nicht willkürlich, sondern verhältnismäßig verkleinert. Und dieses Verhältnis bleibt, gleichsam riesengroß, vor mir als Verhältnis der Seiten des charakteristischen Dreiecks stehen. Ablesbar für jeden, der messen kann. Und jetzt die Krönung: Die Hypotenuse des winzigen Dreiecks ist ein Stück der Tangente der Kurve im Punkt A. Zugleich aber ein Punkt der Kurve, wenn Sie es wollen ...«

»Berauschend! Herrlich! Die kalten Schauer laufen wieder über meinen Rücken. Jetzt aber weiter, immer weiter.« Tschirnhaus ließ das Notizheft fallen und preßte beide Hände an den Kopf.

»Und noch eine Folgerung.« Auch Leibniz war jetzt von seinen Ideen mitgerissen. »Das Verhältnis der Seiten des charakteristischen Triangels ist gleichsam das Gesetz der Kurve. Und die Aneinanderreihung der winzigen Tangentenstückchen ist die Länge der Kurve ihre Rektifikation, und wird mit Hilfe des pythagoräisehen Lehrsatzes aus den Katheten aller winzigen Dreiecke zu gewinnen sein, da sie nichts als die Summe aller winzigen Hypotenusen ist. Dann nämlich, wenn ich erst einmal die Schreibweise gefunden haben werde.«

»Aber das charakteristische Dreieck ist doch an jeder Stelle der Kurve anders geartet«, warf Tschirnhaus in höchster Erregung ein. »Wie bannen Sie diese Schwierigkeit?«

»Das ist keine Schwierigkeit«, erwiderte Leibniz schnell. »Dafür habe ich ja die analytische Gleichung der Kurve. Auch diese Gleichung ändert an jedem Punkt der Kurve ihr Gesicht und behält es doch. Ich muß also nur die Verbindung meines winzigen Dreiecks mit der Kurvengleichung herstellen. Und mit dem Wesen der Funktion und mit den Koordinaten. Mein neuer Algorithmus wird x und y als Veränderliche enthalten. Und jetzt fällt mir plötzlich noch etwas ein, Graf Tschirnhaus, etwas, das mir, über die Hoffnung hinaus, fast alle Gewißheit gibt. Die Gewißheit, daß mein Wollen nicht unmöglich ist. Wenn man nämlich unendlich Kleines zu unendlich Kleinem addiert, erhält man wieder unendlich Kleines. Wenn man unendlich Kleines mit unendlich Kleinem multipliziert, ergibt sich auch unendlich Kleines. Auch Subtraktion und Potenzierung ändern nichts am unendlich Kleinen. Wenn man aber unendlich Kleines durch unendlich Kleines dividiert, dann kann man alle endlich großen Werte der Welt als Quotienten erhalten. Daher auch die Gleichheit der Seitenverhältnisse und der daraus gewonnenen Ergebnisse beim winzigen Dreieck und beim ›triangulum characteristicum‹. Das Verhältnis zweier Größen ist eben vom absoluten Wert dieser zwei in Beziehung stehenden Größen unabhängig. Das Firmament kann sich zur Erde verhalten wie die Erde zu einem Staubkorn. Und die Erde kann sich zum Staubkorn verhalten wie das Staubkorn zu einem magnetischen Teilchen, das durch Glas dringt, Graf Tschirnhaus, ich weiß es jetzt. Der Algorithmus meiner neuen, die Kurven ins Unendlich kleine auflösenden Rechnungsart wird ein Quotient sein! Ein Quotient zwischen einem unendlich kleinen y und einem unendlich kleinen x. Und die Jahrhunderte werden mit diesem Algorithmus rechnen wie heute die Knaben in der Schule mit den Regeln der Division.«