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12. Kapitel.
Von der Quantität

1. Über das Wesen der Ausdehnung und ihre Mannigfaltigkeit ist oben im 8. Kapitel gesprochen worden. Danach gibt es drei Ausdehnungen, Linie oder Länge, Fläche und Dicke. Jede einzelne unter ihnen pflegt, wenn sie bestimmt ist, d. h. wenn ihre Grenzen kenntlich gemacht werden, Quantität genannt zu werden. Unter Quantität versteht man alles, dessen Name eine Antwort auf die Frage: Wieviel? ist. Auf die Frage: Wie lang ist der Weg? antwortet man nicht unbestimmt: »Länge«; auf die Frage: Wie groß ist der Acker? nicht unbestimmt: »Fläche«; schließlich auf die Frage: Wie groß jene Masse? nicht unbestimmt: »Körper«. Man antwortet vielmehr bestimmt: ein Weg von 100 000 Schritt, ein Acker von 100 Morgen oder eine Masse von 100 Kubikfuß, oder wenigstens auf eine solche Art, daß die Größe des in Frage stehenden Dinges in bestimmten Grenzen vorgestellt werden kann. Quantität, so kann die Definition nur lauten, ist eine bestimmte Ausdehnung oder eine Ausdehnung, deren Grenzen entweder durch ihren Ort oder durch Vergleich festgesetzt sind.

2. Quantität wird auf zwei Arten bestimmt. Erstens in sinnlicher Auffassung, wenn ein sinnlicher Gegenstand, etwa die Linie, Fläche oder Dicke von einem Fuß oder einer Elle in irgendeiner Materie ausgedrückt uns vor Augen gestellt wird. Diese Art der Bestimmung heißt unmittelbare Anschauung und die so kenntliche Quantität anschaulich gegeben. Zweitens wird die Quantität gedächtnismäßig bestimmt, indem sie mit einer anschaulich gegebenen Quantität verglichen wird. Nach der ersten Art wird auf die Frage, wie groß ein Ding sei, geantwortet: so groß du es unmittelbar vor Augen siehst. Nach der zweiten Art kann man nur durch Vergleich mit einem anschaulich gegebenen Maß antworten. Auf die Frage: Wie groß ist die Länge des Weges? lautet die Antwort: so viele tausend Schritt, indem man den Weg mit einem Schritt oder mit einem andern sinnlichen Maß vergleicht; oder die Antwort gibt an, daß die fragliche Quantität sich zu irgendeinem bekannten gegebenen Maß wie der Durchmesser des Quadrats zu seiner Seite verhalte usw. Es ist aber wichtig, daß das gewählte anschauliche Maß ein beständiges Ding ist, das möglichst aus widerstandsfähiger und dauerhafter Materie besteht, oder wenigstens aus etwas, das den Sinnen wieder zurückgerufen werden kann; denn sonst läßt sich ein Vergleich mit ihm nicht anstellen. Da aber der Vergleich einer Größe mit einer andern nach den Ausführungen im vorigen Kapitel gerade das ist, was Proportion ist, so ist offenbar, daß die nach der zweiten Art bestimmte Quantität nichts anderes ist als die Proportion einer nicht anschaulich gegebenen Ausdehnung mit einem anschaulich gegebenen Maß, d. h. sie ist ihre Gleichheit oder Ungleichheit im Vergleich zu diesem anschaulich gegebenen Maß.

3. Anschaulich dargestellt werden Linie, Fläche und Dicke erstens durch Bewegung, deren Erzeugung oben im 8. Kapitel beschrieben wurde, doch so, daß Spuren einer solchen Bewegung bleiben; sie müssen auf einer Materie aufgetragen werden wie etwa Linien auf Papier oder auch in einen dauerhaften Stoff eingeritzt werden. Die zweite Art ihrer anschaulichen Darstellung ist die durch Hinzufügung. So wird eine Linie einer andern, eine Breite der andern und eine Dicke der andern hinzugefügt. Das besagt: die Linie wird durch Punkte, die Fläche durch Linien, die Dicke durch Flächen beschrieben, wobei aber unter Punkten an dieser Stelle nur sehr kurze Linien, unter Flächen nur sehr dünne Körper zu verstehen sind. Drittens können Linien und Flächen durch Schnitte gewonnen werden, Linien durch Zerschneidung gegebener Flächen, Flächen durch Zerschneidung gegebener Körper.

4. Die Zeit wird anschaulich nicht nur als bloße Linie dargestellt, sondern es gehört dazu auch etwas Bewegliches, das sich auf dieser tatsächlich oder wenigstens angenommenermaßen gleichförmig bewegt. Denn die Zeit ist ein Phantasma der Bewegung, sofern wir in ihr ein Früher oder Später oder eine Aufeinanderfolge vorstellen; daher genügt zur anschaulichen Vorstellung der Zeit nicht die einfache Beschreibung einer Linie; wir müssen uns zugleich einen beweglichen Gegenstand denken, welcher auf dieser Linie hinläuft, und zwar in gleichförmiger Bewegung, so daß man die Zeit nach Bedarf teilen und zusammensetzen kann. Wenn Forscher bei ihren Beweisen eine Linie zeichnen und behaupten: es soll jene Linie die Zeit sein, so gilt das nur für die Vorstellung einer gleichförmigen Bewegung auf ihr. Auch die Kreise der Zifferblätter sind, obwohl Linien, allein für die Zeitangabe nicht hinreichend; erforderlich ist noch die Bewegung etwa eines Schattens oder eines Zeigers.

5. Zahlen werden anschaulich entweder durch Punkte oder Zahlennamen (eins, zwei, drei usw.) dargestellt. Die Punkte dürfen dabei aber einander nicht berühren, so daß sie durch Zeichen zu trennen sind; sie müssen so gesetzt sein, daß man sie voneinander unterscheiden kann. Daher kommt es, daß man die Zahl als diskrete Quantität bezeichnet, während jede Quantität, die durch Bewegung charakterisiert wird, kontinuierlich heißt. Für die Darstellung von Zahlen durch Zahlennamen oder Ziffern ist es nötig, daß sie in fester Ordnung dem Gedächtnis eingeprägt werden, wie die Reihe eins, zwei, drei usw. Die bloße Wiederholung von eins und wieder eins würde bald dazu führen, daß man nicht mehr wüßte, bei welcher Zahl man ist; man käme über drei nicht weit hinaus, wobei aber die drei auch als Ziffer und nicht als Zahl uns erscheinen würde.

6. Zur anschaulichen Darstellung der Geschwindigkeit, die nach Definition eine Bewegung durch einen bestimmten Raum in bestimmter Zeit ist, gehört ein Dreifaches: es muß die Zeit, sodann der durchlaufene Raum und auch der bewegte Gegenstand, dessen Geschwindigkeit in Frage steht, gegeben sein. Eine Linie diene zur Darstellung der Zeit, insofern auf ihr die zur Zeitbestimmung erforderliche gleichförmige Bewegung verlaufend gedacht werde; eine zweite repräsentiere die Geschwindigkeit. Handelt es sich nun darum, die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers A anschaulich zu machen, so ziehen wir zwei Linien A B und C D und setzen auch in C einen Körper C. Dann ist die Geschwindigkeit von A so groß, daß A die Linie A B

in derselben Zeit durchläuft, wie der Körper C die Linie C D in gleichförmiger Bewegung.

7. Das Gewicht wird durch jeden beliebigen schweren Körper aus beliebiger Materie dargestellt, wofern er nur immer dieselbe Schwere besitzt.

8. Proportionen von Größen werden zugleich mit den Größen selbst dargestellt, ein Verhältnis von Ungleichheit durch ungleiche Größen, ein Verhältnis von Gleichheit durch gleiche. Da die Proportion ungleicher Größen nach dem vorigen Kapitel Absatz 5 in dem Verhältnis ihrer Differenz zu einer von ihnen besteht, da ferner zugleich mit der Darstellung ungleicher Größen ihre Differenz gegeben ist, so folgt, daß Größen, die in Proportion stehen, diese zugleich mit zur Anschauung bringen. Ähnlich wird die Proportion gleicher Größen (die darin besteht, daß zwischen den Größen selbst keine Differenz besteht) mit deren Veranschaulichung dargestellt. Es seien z. B. die beiden gleich großen Linien A  B und C  D gegeben, dann ist ihr Verhältnis von Gleichheit unmittelbar anschaulich; sind die Linien E  F und E  G ungleich, so ist sowohl das Verhältnis von E F zu E G wie das von E  G zu E  F gegeben, da die Differenz der beiden durch Linien repräsentierten Größen durch G  F

gegeben ist. Die Proportion ungleicher Größen ist Quantität, da sie in der Differenz G F, die eine Quantität ist, besteht. Das Verhältnis der Gleichheit ist dagegen keine Quantität, da zwischen den Größen keine Differenz besteht und Gleichheit nicht (wie Ungleichheiten) größer als eine andere ist.

9. Die Proportion zweier Zeiten oder zweier gleichförmiger Geschwindigkeiten wird durch zwei Linien dargestellt, auf denen zwei Körper sich gleichförmig bewegend gedacht werden. Daher können diese beiden Linien, je nachdem sie als Repräsentanten für Größen, Zeiten oder Geschwindigkeiten aufgefaßt werden, ihr eigenes Verhältnis oder das von Zeiten oder Geschwindigkeiten darstellen. So machen die beiden gegebenen Linien A und B zunächst ihr

A

——————

B

——————

eigenes Verhältnis anschaulich. Stellt man sich dann aber vor, daß sie mit gleichförmiger Geschwindigkeit durchlaufen werden, dann werden, wenn die verbrauchten Zeiten größer, gleich oder geringer entsprechend den in größerer, gleicher oder geringerer Zeit zurückgelegten Wegen sind, die Linien A und B Gleichheit oder Ungleichheit, d. h. die Proportion ihrer Zeiten repräsentieren. Nimmt man endlich an, daß die Linien A und B in derselben Zeit gezogen sind, so stellen sie Gleichheit oder Ungleichheit, d. h. das Verhältnis von Geschwindigkeiten dar, da ja die Geschwindigkeiten größer, gleich oder geringer sind, je nachdem sie in derselben Zeit größere, gleiche oder kleinere Strecken durchlaufen.