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Gustav Theodor Fechner

Elemente der Psychophysik Teil 1

IX. Das Weber'sche Gesetz.

In Sachen S. 42 ff. Revision S. 146 ff.

Das im 7. Kapitel erst nur im Allgemeinen als eine Hauptunterlage des psychischen Maßes ausgesprochene Gesetz, welchem ich den Namen des Weber'schen gebe, soll jetzt nach Seiten seines Sinnes, seiner Begründung und seiner Grenzen näher erörtert werden, insoweit die bis jetzt darüber vorliegenden Untersuchungen einen Anhalt dazu gewähren.

Man kann dasselbe unter verschiedenen Formen aussprechen, die in der Sache auf dasselbe herauskommen, von denen aber nach Umständen die eine oder andere zweckmäßiger für die Bezugnahme darauf sein kann.

Äquivalent mit dem vorigen Ausspruche sind folgende kürzere Aussprüche: der Empfindungsunterschied, Empfindungszuwuchs bleibt sich gleich, wenn der relative Reizunterschied oder relative Reizzuwuchs sich gleich bleibt; und: der Empfindungsunterschied, Empfindungszuwuchs bleibt sich gleich, wenn das Verhältnis der Reize sich gleich bleibt; wobei man sich zu erinnern hat (vergl. Abschn. VI.), daß mit der Konstanz des relativen Reizunterschiedes oder Reizzuwuchses die Konstanz des Verhältnisses der Reize, wie umgekehrt, von selbst gegeben ist, was gestattet, die letzte Ausdrucksweise des Gesetzes an die Stelle der ersten zu setzen.

Endlich läßt sich mit Rücksicht auf die begrifflichen Erörterungen über die Unterschiedsempfindlichkeit im 6. Kapitel das Gesetz auch so aussprechen: die einfache Unterschiedsempfindlichkeit steht im umgekehrten Verhältnisse der Größe der Komponenten des Unterschiedes, die relative bleibt sich bei jeder Größe derselben gleich.

Man kann das Gesetz im Gebiete der intensiven und extensiven Empfindungen, und in ersterem nach Seiten der Stärke und Höhe (insofern bei Tönen in der Höhe ein quantitatives Moment der Qualität gegeben ist) ins Auge fassen, ohne sich von vorn herein berechtigt halten zu dürfen, die Bewährung desselben in irgend einem Spezialgebiete der Empfindung zugleich als für ein anderes gültig anzusehen, vielmehr fordert es in jedem Gebiete eine besondere Untersuchung.

Bei der Frage, ob sich das Gesetz im Gebiete extensiver Empfindungen bestätigt, hat man für Reiz und Reizunterschied in dem Ausspruche des Gesetzes die Größe der Ausdehnung und des Ausdehnungsunterschiedes zu substituieren, welche mit dem Auge oder Tastorgane aufgefaßt werden. Man wird das Gesetz bestätigt finden, wenn z. B. bei zwei doppelt so langen Linien der Unterschied doppelt so groß sein muß, um noch eben merklich, oder allgemeiner gleich groß zu erscheinen.

Bezüglich der Höhe der Töne ist es die Zahl der Schwingungen, welche die Größe des Reizes zu vertreten hat.

Mit der Richtigkeit des Gesetzes ist von selbst die Richtigkeit mancher Folgerungen gesetzt; und der Nachweis, daß sich diese Folgerungen in der Erfahrung bestätigen, daher als ein Teil der Bewährung des Gesetzes anzusehen. Anstatt jedoch hierauf in abstracto einzugehen, ziehe ich es vor, bei den Spezialbewährungen des Gesetzes in den verschiedenen Gebieten darauf geführt zu werden, und verweise in dieser Hinsicht namentlich auf das Gebiet der Lichtempfindung.

In Betreff des Historischen habe ich schon bemerkt, daß E. H. Weber zwar nicht der erste ist, der das Gesetz überhaupt ausgesprochen und bewährt hat, aber doch der erste, der es in einer gewissen Allgemeinheit ausgesprochen, bewährt und aus einem Gesichtspunkte von allgemeinem Interesse dargestellt hat. Er stützt sich dabei auf Versuche über eben merkliche Unterschiede von Gewichten, Linien, Tonhöhen, was, wie man bemerken kann, Beispiele für die drei Hauptseiten der Empfindung, Intensität, Extension, Höhe sind, die überhaupt in Frage kommen können, wodurch sich um so mehr rechtfertigt, daß wir das Gesetz nach seinem Namen bezeichnen. Zwar hat er nach dem bloß beiläufigen Interesse, was sich bisher an das Gesetz knüpfte, dasselbe keiner sehr eingehenden Untersuchung unterworfen, doch so zu sagen die Angriffspunkte aller weiteren Untersuchung durch die seinige gegeben. Ich stelle demnach auch seine Angaben darüber wörtlich voran, bevor ich zu den weiteren Untersuchungen über das Gesetz übergehe, welche nötig wurden, nachdem es den Anspruch gemacht, als Unterlage des psychischen Maßes zu gelten, da Unterlagen sich verstärken und erweitern müssen, nach Maßgabe als sich Schwereres und Mehreres darauf zu stützen hat. Bei der fundamentalen Wichtigkeit, welche das Gesetz in dieser Beziehung für uns hat, werde ich Alles, was mir von früheren und neueren, fremden und eigenen Tatsachen, welche auf die Bewährung so wie auf die Grenzen des Gesetzes Bezug haben, bekannt worden ist, möglichst vollständig mitteilen.

Nach einem vorgreiflichen Überblicke darüber ist zuzugestehen, daß noch viel an einer durchgreifenden Bewährung und selbst Prüfung des Gesetzes fehlt. Das Meiste in dieser Hinsicht ist in Bezug auf intensive Lichtempfindung, Empfindung von Schallstärke und Tonhöhe, Empfindung der Schwere von Gewichten und im Felde des Augenmaßes geleistet. Sicher besteht hier überall das Gesetz in mehr oder weniger weiten Grenzen. In Bezug auf Temperaturempfindungen ist es noch als problematisch anzusehen; im Gebiete der extensiven Tastempfindungen sprechen die Versuche vielmehr gegen als für seine Gültigkeit. Hinsichtlich anderer Gebiete der Empfindung liegen noch keine Versuche vor.

Die eigenen Angaben Weber's.

Allgemein spricht sich Weber betreffs der Tatsache des Gesetzes in seiner Abhandlung über den Tastsinn und das Gemeingefühl S. 559 unter der Überschrift: "Über die kleinsten Verschiedenheiten der Gewichte, die wir mit dem Tastsinne, der Länge der Linien, die wir mit dem Gesichte, und der Töne, die wir mit dem Gehöre unterscheiden können", nach einigen Spezialbestimmungen wie folgt aus: "Ich habe gezeigt, daß der Erfolg bei den Gewichtsbestimmungen derselbe ist, mag man Unzen oder Lote nehmen, denn es kommt nicht auf die Zahl der Grane an, die das Übergewicht bilden, sondern darauf, ob das Übergewicht den 30sten oder den 50sten Teil des Gewichtes ausmacht, welches mit einem zweiten Gewichte verglichen wird. Eben so verhält es sich bei der Vergleichung der Länge von zwei Linien und der Höhe zweier Töne.Delezenne in Recueil des travaux de la soc. des sc. de Lille 1827 im Ausz. in Bull. des sc. nat. XI, p. 275 und in Fechner's Repertor. der Experimentalphysik. Leipzig 1832. Bd. I. p. 341. Es macht keinen Unterschied, ob man Linien vergleicht, die ungefähr 2 Zoll oder die 1 Zoll lang sind, wenn man erst die eine und dann die andere betrachtet und nicht beide zugleich neben einander sehen kann, und doch ist das Stück, um welches die eine Linie die andere überragt, im ersteren Falle noch einmal so groß als im letzteren. Freilich, wenn beide Linien nahe neben einander und einander parallel sind, so vergleicht man nur die Enden der Linien und untersucht, um wie viel die eine Linie die andere überragt, und hierbei kommt es dann nur darauf an, wie groß das überragende Stück der Linie ist, und wie nahe beide Linien einander liegen. – Auch bei der Vergleichung der Höhe zweier Töne kommt nichts darauf an, ob beide Töne um 7 Tonstufen höher sind oder tiefer, wenn sie nur nicht an dem Ende der Tonreihe liegen, wo dann die genaue Unterscheidung kleiner Tonunterschiede schwieriger wird. Es kommt daher auch hier nicht auf die Zahl der Schwingungen an, die der eine Ton mehr hat als der andere, sondern auf das Verhältnis der Zahl der Schwingungen der beiden Töne, die wir vergleichen " ......

Die Erfahrungsunterlagen anlangend, auf die Weber sein Gesetz stützt, so liegt in Betreff der Tonverhältnisse und Linearverhältnisse bloß die allgemeine Angabe desselben vor, der man jedoch bei der unbedingten Treue dieses Beobachters das Gewicht beobachteter Tatsa-chen beilegen darf. In Betreff der Gewichtsverhältnisse sind seine Versuche in s. Programm collect. p. 81. 86 f. zu finden.

Weber unterscheidet zwei Versuchsweisen, die eine, wo bloß das Gefühl der Haut bei dem Drucke stärkerer und schwächerer Gewichte auf die ruhende auf den Tisch aufgelegte Hand in Anspruch genommen wird, die andere, wo das Gefühl der anzuwendenden Muskel-kraft bei Hebung der Gewichte zugleich mit in Anspruch genommen wird, indem die Hand mit dem Gewichte aufgehoben wird. Mochten nun 32 Unzen oder 32 Drachmen als größeres Gewicht angewandt werden, so blieb sich doch bei beiden Versuchsweisen die noch eben merkliche relative Differenz zum kleineren Gewichte nahe gleich, und betrug im Mittel für 4 Personen und beiderlei Gewichte bei der ersten Versuchsweise 10,1 (Unzen oder Drachmen), bei der zweiten 3,0.

Die nähere Beschreibung seiner Versuche (Progr. coll. p. 86) ist diese:

»In piurimorum hominum manibus, mensa quiescentibus, pondera duarum librarum collocavi, tabulamque papyraceam interposui. Postea, insciis illis, pondus alterutrum imminui, manusque pondera ferentes mutavi, levius nimirum pondus nunc ad dextram nunc ad sinistram transferendo. Saepe etiam pondera a manibus ablata denuo iisdem manibus imposui, ita quidem, ut homo non suspicari potuerit, sed tactu tantum percipere, in quonam latere pondus gravius collocatum esset. Turn si homo iteratis periculis et mutatis saepe manibus gravius pondus a leviori recte discernebat, notavi.«

»Postea eadem experimenta in iisdem hominibus iterabantur, hoc modo tamen, ut manus, et manibus simul pondera, extollerent, et pondera manibus pensitarent. Quo facto, si inventum a me est, in quanta ponderum differentia diversitas eorum certe cognita fuerit, iterum notavi, numerosque, differentiam ponderum exprimentes, inter se comparavi.«

Nach Mitteilung verschiedener Versuchsreihen, die sich auf andere Verhältnisse, als sein Gesetz beziehen, fährt dann Weber p. 91 fort:

»Non silentio praetereunda sunt alia experimenta, quibus probatur, tactum et coenaesthesin etiam in observandis ponderibus multo minoribus eadem inter se esse ratione, quam si librae duae seu. triginta duae unciae cuilibet manui imponuntur. Eorundem enim hominum manibus, quibus antea duo pondera triginta diiarum unciarum imposueram, nuno pondera triginta duarum drachmarum i. e. octavam ponderis illius partem imposui. Etiamsi suspicatus eram, fore, ut difierentiam ponderis duorum corporum octies minorum non tam clare sentirent, tarnen experimentis probatum est, differentiam minorum ponderum tactu non minus subtiliter distingui, quam differentiam eandem majorum ponderum.

Quatuor afferam experiinenta hoc probantia. Postquam nimirum quattuor homines, quos numeris signare lubet, pondera majora, triginta duabus unciis constantia, aequalia, manibus immotis imposita, comparaverant, alterutrum pondus magis magisque imminuere coepi, usquedum bomines illi differentiam ponderum animadverterent. Qua differentia notata experimentum idem hoc modo repetii, ut pondera manibus tollerentur, adeoque simul ope tactus et coenaestheseos musculorum aestimarentur. Quo facto differentia ponderum, quae illorum observationem fugiebat, iterum notata est.«

»Nunc loco majorum ponderum minora pondera, triginta duabus drachmis constantia, eodem plane modo adhibui, differentiasque ponderum in experimentis non observatas, sensum scilicet fugientes, annotavi.«

»lam si differentias ponderum graviorum et leviorum observationi nostrae subtractas comparas, easdem paene esse observabis.«

Numerus hominum, Differentia minima unoiarum vel
in quibus experi- drachmarum, manibus imposita-
menta instituta rum, in qua diversitas ponderis
sunt. percipiebatur.

1. tactu. ....... 32 unc. 17 unc. differt 15 unc.
tactu et coenaesthesi 32 - 30 ¹/ ₂ - - 1 ¹/ ₂ -
tactu. ....... 32 drachm. 24 drachm. - 8 drachm.
tactu et coenaesthesi 32 - 30 - - 2 -
2 tactu. ....... 32 unc. 22 unc. - 10 unc.
tactu et coenaesthesi 32 - 30 ¹/ ₂ - - 1 ¹/ ₂ -
tactu. ....... 32 drachm. 22 drachm. - 10 drachm.
tactu et coenaesthesi 32 - 30 - - 2 -
3. tactu. ....... 32 unc. 20 unc. - 12 unc.
tactu et coenaesthesi 32 - 26 - - 6 -
tactu et coenaesthesi 32 drachm. 26 drachm. - 6 drachm.
4. tactu. ....... 32 unc. 26 unc. - 6 unc.
tactu et coenaesthesi 32 - 30 - - 2 -
tactu et coenaesthesi 32 drachm. 29 drachm. - 3 drachm.

1) Licht.In Sachen S. 149–160, 178–186. Revision S. 152–168. Psych. Maßprinzipien, S. 181 ff.

Eine ausführliche Darstellung der Bewährungen unseres Gesetzes im Gebiete der intensi-ven Lichtempfindung habe ich in den Abhandlungen der sächs. Gesellschaft der Wissenschaf-ten, math.-phys. Cl. Bd. IV. S. 457 ff. unter dem Titel: "Über ein psychophysisches Grundge-setz, und dessen Beziehung zur Schätzung der Sterngrößen", gegeben, mit einem Nachtrage dazu in den Berichten derselben Gesellschaft 1859. S. 58 ff., aus welchen Abhandlungen ich hier das Wesentliche mit einigen wenigen Zusätzen wiedergebe.

Das Gesetz ist im Gebiete der Lichtempfindung schon durch frühere Versuche von Bouguer, Arago, Masson, Steinheil gelegentlich im Zusammenhange mit anderen Untersuchungen, neuerdings von mir selbst und Volkmann, konstatiert worden; ohne jedoch früherhin viel beachtet worden zu sein.

Alle bisherigen Bewährungen des Gesetzes stützen sich auf die Methode der eben merklichen Unterschiede, abgesehen von der durch Steinheil, die auf dem Prinzipe der Methode der mittleren Fehler fußt, und der indirekten Bewährung, welche das Gesetz in der Schätzungsweise der Sterngrößen gefunden hat.

Da meine eigenen Versuche, wenn auch nicht die schärfste, aber einfachste Bewährung des Gesetzes darbieten, und die erste erfahrungsmäßige Kenntnis des Gesetzes sich bei mir daran geknüpft hat, so werde ich auch hier den Anfang damit machen und die allgemeine Erläuterung des Gesetzes daran knüpfen.

Bei halbbedecktem Himmel findet man meist leicht ein paar benachbarte Wolkennuancen, die nur einen spurweisen Unterschied für das Auge darbieten, oder ein Wölkchen, das sich nur eben merklich vom Himmelsgrunde unterscheidet. Nachdem ich zwei solche Komponenten eines nur eben merklichen Lichtunterschiedes am Himmel in das Auge gefaßt, nahm ich ein paar graue Gläser vor die Augen, wie sie jetzt bei Optikern zum Gebrauche für Personen mit lichtscheuen Augen zu haben sind, von denen jedes, einfach vor das Auge genommen, nach allerdings nur oberflächlicher photometrischer Prüfung, etwas über ¹/ ₃, beide zusammengelegt höchstens ¹/ ₇ des Lichtes durchließen. Nehmen wir bei einfach vor die Augen genommenen Gläsern das Licht jeder Komponente auf ¹/ ₇ reduziert an, so war hiermit der Unterschied derselben zugleich auf ¹/ ₃ reduziert, und es lag nahe, vorauszusetzen, daß der so stark geschwächte Unterschied, da er vorher nur eben merklich war, durch die Schwächung unmerklich, oder, falls etwa die Grenze der Merklichkeit vor Anwendung der Gläser nicht erreicht war, mindestens auffallend undeutlicher werden würde. So zeigte es sich aber nicht. Der Unterschied blieb mindestens noch so merklich als vorher, und Andere, welche ich den Versuch anstellen ließ, erklärten sich in demselben Sinne.

Derselbe Versuch wurde mit zusammengelegten Gläsern unter Anwendung bloß eines Auges bei Schluß des anderen wiederholt, wo die Komponenten samt ihrem Unterschiede auf höchstens ¹/ ₇ herabkamen, der Unterschied blieb immer noch mindestens eben so merklich.

Endlich gab auch Schwächung durch farbige Gläser, mit welchen ich zum Teil noch zu erheblich größerer Dunkelheit herabging, dasselbe Resultat. Hierbei dürfen natürlich nicht verschiedenfarbige Wolkennuancen oder eine Wolke gegen den blauen Himmel in das Auge gefaßt werden, da Farbengläser eine verschiedene verhältnismäßige Absorption auf verschiedene Farben äußern.

Bemerken wir nun, daß bei der Schwächung des absoluten Unterschiedes der Komponenten in vorigen Versuchen doch das Verhältnis der Komponenten und hiermit der relative Unterschied derselben ungeändert blieb, so werden wir in der ungeschwächt bleibenden Merklichkeit des Unterschiedes eine Bestätigung unseres Gesetzes zu sehen haben.

Für den ersten Anblick könnte es freilich sehr auffällig und in Widerspruch mit alltäglichen Erfahrungen erscheinen, daß ein, auf ¹/ ₃, ¹/ ₇, ja noch viel mehr herabgebrachter photometrischer Unterschied noch mindestens eben so merklich für die Empfindung sein soll, als ohne Abschwächung; da wir doch täglich Lichtunterschiede durch Abschwächung sich mindern und verschwinden sehen. Aber man darf die Bedingung des Gesetzes nicht übersehen, unter welcher es allein den Erfolg fordert, und unter welcher er allein stattfindet, daß nämlich der Lichtunterschied bei seiner Abschwächung ein ungeändertes Verhältnis zu seinen, in demselben Verhältnisse mit abgeschwächten, Komponenten behalt. Heiße der Fall der Erfüllung dieser Bedingung der erste Hauptfall. Es läßt sich aber der Unterschied noch auf eine andere Weise abschwächen, dadurch, daß die stärkere Komponente durch alleinige Abschwächung, oder die schwächere durch alleinige Steigerung der anderen entgegengeführt wird. In diesem Falle, welcher der zweite Hauptfall heiße, erfährt der Unterschied mit seiner absoluten Schwächung zugleich eine Schwächung im Verhältnisse zu seinen Komponenten; und dann nimmt in der Tat, wie sich durch spätere Versuchsweisen in Übeinstimmung mit der allgemeinen Erfahrung leicht erweisen läßt, die Merklichkeit des Unterschiedes ab, und schwindet bei hinreichender Annäherung der Komponenten an einander ganz.

Zu diesen beiden Hauptfällen läßt sich noch ein dritter Hauptfall fügen, der zur direkten Bewährung unseres Gesetzes durch den ersten eine indirekte Bestätigung zu liefern vermag: daß nämlich beiden Komponenten, statt sie in gleichem Verhältnisse zu ändern, ein gleiches Plus zugefügt oder gleich viel davon abgezogen wird. In diesem dritten Falle bleibt, im Gegensatze gegen den ersten, der absolute Unterschied sich gleich, der relative ändert sich. Er nimmt ab, wenn wir den Komponenten ein gleiches Plus zufügen, nimmt zu, wenn wir gleich viel davon abziehen. Insofern nun das Gesetz die gleiche Merklichkeit nicht an die Gleichheit des absoluten, sondern des relativen Unterschiedes knüpft, werden wir unter Voraussetzung seiner Richtigkeit zu erwarten haben, daß in unserem dritten Hauptfalle die Merklichkeit des Unterschiedes nicht gleich bleibt, trotz dem, daß der Unterschied absolut genommen gleich bleibt; daß sie vielmehr abnimmt oder zunimmt, je nachdem das gleiche Plus zugefügt oder das Gleiche abgezogen wird.

Zum Beweise nun, daß sich dies wirklich so verhalte; bedarf es nicht erst eines besonders ausgedachten Versuches, wenn schon auch die Bestätigung durch Versuche leicht fällt. Es bietet uns aber dasselbe Beobachtungsfeld, was uns bisher gedient hat, in einer alltäglichen Erfahrung eine genügende Bestätigung dar.

Bei Nacht sieht jeder die Sterne, bei vollem Tageslichte sieht er nicht einmal Sterne wie Sirius und Jupiter. Doch ist der absolute Unterschied der Helligkeit zwischen den Stellen des Himmels, wo die Sterne stehen, und den umgebenden Stellen noch eben so groß als bei Nacht. Es ist nur der Intensität beider durch das Tageslicht ein gleiches Plus zugefügt worden.

Möglicherweise hätte man den Erfolg unserer ersten Versuche mit den Wolkennuancen so deuten können: durch die dunklen Gläser sei der Unterschied derselben allerdings in sehr starkem Verhältnisse geschwächt worden, aber doch immer noch absolut vorhanden gewesen, und also habe er auch immer noch in Betracht seines absoluten Daseins wahrgenommen werden müssen, ohne daß man nötig habe, die fortgehende Wahrnehmbarkeit von einer Forterhaltung derselben relativen Größe abhängig zu machen. Aber man sieht aus vorstehender Erfahrung, daß das absolute Dasein eines Lichtunterschiedes keineswegs hinreicht, ihn wahrnehmbar zu machen, ja daß sogar sehr beträchtliche absolute Unterschiede dem Auge völlig entschwinden, wenn sie eine sehr geringe relative Größe zeigen. Niemand wird den Helligkeitsunterschied der Gestirne Sirius und Jupiter vom umgebenden Himmel bei Nacht gering halten, und Niemand wird mit geschärftester Aufmerksamkeit diese Gestirne bei Tage entdecken können; so daß die Behauptung auffallend erscheinen kann, der Helligkeitsunterschied derselben von der Umgebung sei bei Tage noch eben so groß als bei Nacht. In der Tat ist er es physisch, indes er für die Empfindung völlig null, ja insofern kleiner als null, ist, als es erst einer gewissen Vergrößerung desselben bedarf, ehe er den Punkt erreicht, von wo an er merklich wird.

Man darf übrigens das Phänomen nicht etwa bloß auf Lichtpunkte beschränkt halten. Die weiterhin anzuführenden Versuche mit Schatten geben vielmehr die bequemste Gelegenheit, dasselbe Phänomen an Lichtflächen von beliebiger Ausdehnung bei erheblichen absoluten Unterschieden zu beobachten; aber auch Erfahrungen des täglichen Lebens lassen sich wieder in dieser Beziehung anführen.

Bekanntlich werden die Figuren auf gefirnisten Ölgemälden, auf Daguerreotypen, gemalten Tellern, lackierten Tischen u. dgl. durch spiegelnde Lichter ganz unerkennbar. Nun hängt, wie man weiß, die Intensität des spiegelnd zurückgeworfenen Lichtes nicht von der Färbung oder Dunkelheit der Fläche, von der es zurückgeworfen wird, ab, sondern bei gleicher Substanz nur von der Glätte derselben und dem Einfallswinkel; fügt also den dunkleren und helleren Stellen der Figuren und des Grundes ein gleiches Plus zu, und macht dadurch die Unterschiede dazwischen unerkennbar.

Das Vorige dürfte schon zu einer Bewährung des Gesetzes im Allgemeinen genügen. Aber kann es wirklich für genau gelten?

Mit Fleiß habe ich gesagt, daß der Unterschied der Wolkennuancen bei Betrachtung mit den verdunkelnden Gläsern mindestens so merklich erschien, als mit bloßen Augen. Denn einige von denen, welche ich den Versuch wiederholen ließ, fanden ihn mit Gläsern sogar noch etwas schärfer als ohne Gläser, und mir selbst erscheint es oft, obwohl nicht immer, so. Man kann hiernach jedenfalls sicher sein, daß ein Lichtunterschied nicht, wie man am leichtesten erwartet haben möchte, durch Schwächung seiner absoluten Größe bei gleichbleibender relativer Größe an Merklichkeit einbüßt. Aber auch ein Gewinn an Merklichkeit hierbei wäre immerhin eine Abweichung vom Gesetze, welches eine gleichbleibende Merklichkeit an das Gleichbleiben des relativen Unterschiedes knüpft.

Abgesehen nun davon, daß hierbei möglicherweise abgeänderte Irradiationsverhältnisse ins Spiel kommen könnten, ließe sich auch an eine subjektive Täuschung dabei denken, der Art, daß man geneigt wäre, einen gleich merklichen Unterschied für merklicher zu halten, sofern er es doch im Verhältnisse zu dem geschwächten Eindrucke der Komponenten ist. Um nun ein, von subjektiven Täuschungen möglichst unabhängiges, Resultat zu erzielen, kombiniere ich folgenden Gegenversuch mit dem bisherigen Versuche.

Ich suche, während ich die Gläser vor den Augen habe, den schwächstmöglichen, nur als eben merklich taxierten, Unterschied auf, den ich am Himmel finde, und nehme dann die Gläser vor den Augen weg. Ist die Merklichkeit durch die Gläser irgends erheblich gesteigert worden, so muß der mit den Gläsern nur eben merkliche Unterschied bei Wegnahme der Gläser verschwinden. Ich habe aber bei mehrfacher Wiederholung des Versuches, mit den einfachen wie doppelt zusammengelegten Gläsern, nie einen noch so schwachen Unterschied aufzufinden vermocht, den ich nicht auch nach Wegnahme der Gläser noch zu erkennen vermochte, wenn nur der erste Eindruck einer momentanen Blendung vorübergegangen war, von dem sich das Auge bei Wegnahme der Gläser durch das plötzlich einfallende stärkere Licht frappiert findet. Und auch bei Vornahme derselben erfahre ich durch den plötzlichen Wechsel des Lichtes ein momentanes Undeutlicherwerden des Unterschiedes, was jedoch beidesfalls schnell vorübergeht.

Bei allen angeführten Versuchen bleibt wesentlich, nur ganz geringfügige Unterschiede zu verwenden, welche den Charakter des Ebenmerklichen tragen. Denn, wenn schon das Gesetz, wie weiterhin zu zeigen, eine Ausdehnung auf größere Unterschiede zuläßt, so ist es doch nicht leicht, es an solchen direkt zu bewähren. Das Urteil, ob solche mit und ohne Gläser gleich deutlich sind, ist sehr unsicher und schwankend, und wird unstreitig durch eine Mehrheit von Umständen mitbestimmt. Auch selbst bei Anwendung nur eben merklicher Unterschiede kann, wie vorhin bemerkt, das Urteil über die Gleichheit derselben Täuschungen unterliegen, wenn schon sie absolut genommen nicht so bedeutend sein können, als wenn man größere Unterschiede anwendet. Aber der Hauptvorteil bei Anwendung ganz geringfügiger Unterschiede liegt darin, daß die Kombination des Versuches mit dem Gegenversuche dabei gestattet, sich von dem Urteile über Gleichheit oder Ungleichheit ganz unabhängig zu machen, und den Schluß bloß auf das Dasein des Unterschiedes für die Empfindung zu gründen, worüber man sich nicht so leicht täuschen kann als über die Gleichheit. Wenn der schwächstmögliche Unterschied, der ohne Gläser noch erkannt wird, auch mit stark verdunkelnden Gläsern überhaupt noch erkannt wird, und wenn umgekehrt der schwächstmögliche Unterschied, der mit stark verdunkelnden Gläsern erkannt wird, überhaupt noch erkannt wird, so liegt darin eine Art objektiver Beweis, daß der Unterschied durch die Gläser in keinem irgends erheblichen Grade an Merklichkeit gewinnen oder verlieren kann.

Jedenfalls wird durch die Kombination des Versuches mit dem Gegenversuche die Möglichkeit einer Abweichung von der Triftigkeit des Gesetzes in den Grenzen der Lichtintensität, in denen sich die Bewährung bisher gehalten hat, die weder bis zur Annäherung an völlige Finsternis, noch bis zu sehr blendenden Lichtern gingen, selbst in sehr enge Grenzen eingeschlossen. Inzwischen ist damit doch keine unbeschränkte Gültigkeit des Gesetzes behauptet oder dargetan, vielmehr eine Abweichung davon, mindestens für den Versuch, nach oben wie nach unten, gewiß. Und ehe wir auf die weiteren Bewährungen eingehen, wird es nützlich sein, von diesen Grenzen des Gesetzes zu sprechen, da die Bewährungen selbst nur mit Rücksicht auf die Grenzen statt haben und zu verstehen sein können.

Gewiß vermöchte Niemand, selbst wenn sich die Beobachtung gefahrlos anstellen ließe, die Flecken in der Sonne (mindestens bei hohem Stande derselben) mit bloßem Auge zu erkennen, indes sie jeder mit verdunkelnden Gläsern wahrnimmt. Sollte aber das Gesetz bis zu den höchsten Lichtgraden reichen, so müßten die Flecken mit bloßen Augen eben so leicht vom umgebenden Lichtgrunde unterschieden werden, als mit Zuziehung dunkler Gläser. Unstreitig findet schon bei viel geringeren Lichtintensitäten eine Abweichung vom Gesetze statt, wahrscheinlich überall, wo das Auge sich geblendet fühlt, obwohl es an bestimmten Versuchen hierüber noch ganz fehlt.

Es mag daher auch möglich sein, daß bei sehr heller Wolkenbeleuchtung wirklich durch die dunklen Gläser ein kleiner Gewinn in Verdeutlichung der Unterschiede der Wolkennuancen erzielt wird, nur kann es nach dem Ausfalle der Kombination von Versuch und Gegenversuch bloß ein Gewinn sehr kleiner Ordnung sein, der sich bei Versuchen mit mäßig heller Wolkenbeleuchtung nicht objektiv von mir hat konstatieren lassen; denn Versuche mit sehr blendender Beleuchtung habe ich freilich wegen der großen Reizbarkeit meiner Augen nicht ruhig und oft genug anstellen können, um etwas Sicheres darüber aussagen zu können.

Die untere Grenze anlangend, so leuchtet von vorn herein ein, daß, wenn man mit der Verdunkelung der Gläser zum Extreme gehen wollte, überall nichts mehr, und also auch kein Unterschied mehr gesehen werden kann, möchte er auch ohne Gläser noch so groß erscheinen und sein; und daß man also nach dem Kontinuitätsprinzipe schon eine verminderte Deutlichkeit spüren muß, wenn man sich dieser Grenze nur sehr nähert, wie auch die Erfahrung bestätigt. In der Tat, mag ein Unterschied so groß sein, als er will, so wird man immer einen Grad der Verdunkelung der Gläser finden können, bei welchem er undeutlicher als ohne Gläser erscheint. Dieselben Sonnenflecke, welche bei mäßig dunkeln Gläsern deutlich werden, werden bei ganz dunkeln Gläsern wieder undeutlicher und endlich ganz unerkennbar.

Anstatt also eine unbeschränkte Gültigkeit des Gesetzes behaupten zu können, können wir nach den Aussagen der Versuche nur behaupten, daß es sich in den, ziemlich weiten, Grenzen der Intensität, in denen sich das gewöhnliche Sehen bewegt, so weit bestätigt, daß eine Abweichung vom Gesetze nicht nachweisbar ist.

Es kann aber die Gültigkeit desselben in mittleren Grenzen selbst schon in gewisser Weise aus der entgegengesetzten Richtung der Abweichungen nach Oben und Unten gefolgert werden. Bei intensivem Lichte wächst die Deutlichkeit durch Abschwächung, bei sehr schwachem durch Verstärkung der Komponenten in gleichem Verhältnisse. Also muß es schon aus mathematischem Gesichtspunkte ein gewisses mittleres Intervall geben, wo sie durch Verstärkung und Schwächung gleich unverändert bleibt. Nur daß sich die große Ausdehnung eines solchen Intervalls nicht nach bloß mathematischem Gesichtspunkte voraussehen ließ.

Ich habe die vorigen Versuche vorangestellt, nicht nur, weil es die waren, auf die ich selbst zur Prüfung des Gesetzes zuerst verfiel, bevor mir noch das früher in dieser Hinsicht Geleistete bekannt war, sondern auch, weil sie ganz besonders bequem, Jedem leicht zugänglich, und dabei für die allgemeine Tatsache des Gesetzes im Grunde so viel beweisend als alle anderen sind. Nur hat man dabei weder die Bestimmung, noch gleichförmige Erhaltung, noch Abänderung der Lichtschattierungen in seiner Gewalt, kann daher auch nicht alle drei Haupt-fälle beliebig damit herstellen; und aus diesem Gesichtspunkte empfiehlt sich allerdings die Zuziehung noch anderer Verfahrungsarten, welche das Experiment zur Beobachtung fügen.

Nun gibt es sehr verschiedene Wege. Lichtschattierungen von verschiedener Abstufung bis zum eben merklichen Unterschiede gegen einander zu erzeugen, wonach der Versuch verschiedene Formen annehmen kann. Sehr einfach ist, mit Tusche schwächstmögliche Schattierungen auf Velinpapier hervorzubringen, die zwar eben so wenig als die Wolkenschattierungen einen gemessenen Unterschied gewähren, aber doch den Vorzug der gleichförmigen Erhaltung, beliebigen Gradation und Handhabung voraus haben.

In der Tat habe ich Versuch und Gegenversuch neuerdings an solchen wiederholt und den entsprechenden Erfolg wie früher an den Wolkennuancen erhalten. Selbst mit verdunkelnden Glaskombinationen, die nach genauer photometrischer Messung nur ¹/ ₁₀₀ Licht durchlassen, erkenne ich, nachdem ich kurze Zeit durchgesehen, noch die schwächstmöglichen Schattierungen, die ich nur eben mit bloßem Auge erkennbar finde. Nur muß der Versuch in gutem Tageslichte angestellt werden; denn wenn ich ihn bei dem Lichte der Studierlampe anstelle, bei der ich zu schreiben gewohnt bin, wird die Schattierung mit derselben Verdunkelung ganz unerkennbar; indes eine Verdunkelung auf ¹/ ₁₂ und mehr, sie noch so deutlich als ohne Verdunkelung erscheinen läßt.

Ein anderer einfacher und bequemer, zugleich bestimmte Messungen gestattender, und der Abänderung nach allen drei Hauptfällen fähiger, Versuchsweg bietet sich in der Anwendung zweier nachbarlichen Schatten dar, die man durch zwei Lampen oder Lichter von demselben Gegenstande erzeugt, indem das photometrische Verhältnis beider Schatten nicht nur leicht regulierbar, sondern auch, unter Anwendung gleich heller Lichtquellen, leicht meßbar durch das reziproke Verhältnis der Quadrate der Abstände beider Quellen von ihren Schatten gegeben ist, indes die photometrische Gleichheit der Quellen durch die gleiche Helligkeit der Schatten bei gleichem Abstande von denselben leicht bewährbar, und durch Putzen der Lichter oder Schrauben der Lampen herstellbar ist. Jedoch ist es im Ganzen noch zweckmäßiger, statt beider Schatten den einen Schatten und den umgebenden Grund als Komponenten des Unterschiedes zur Bewährung des Gesetzes in das Auge zu fassen, da das Verhältnis des Schattens zu dem, denselben ganz umgebenden, Grunde noch leichter beurteilbar ist, bei welcher, im Folgenden eingeschlagenen, Versuchsweise des Näheren Folgendes in Betracht kommt.

Seien die beiden Lichtquellen L, L' und L' diejenige, deren Schatten man ins Auge fassen will. Dieser Schatten wird noch von dem anderen Lichte L, der umgebende Grund von beiden Lichtern, L, L' erleuchtet. Rückt man das Licht L' immer weiter von der die Schatten auffangenden Tafel zurück, während L stehen bleibt, so erhält der den Schatten umgebende Grund einen immer kleineren Erleuchtungszuschuß durch L', und endlich wird dieser so gering, daß er unmerklich für das Auge wird, also der Schatten im umgebenden Grunde verschwindet. Hat man diesen Punkt erreicht, so reicht eine geringe Verrückung des einen beider Lichter oder Schrauben einer beider Lampen in rechtem Sinne hin, ihn wieder eben merklich zu machen.

Nun kann man zuvörderst Versuch und Gegenversuch mit den dunkeln Gläsern daran wiederholen; und wird eben so das Gesetz wie die untere Grenze des Gesetzes dadurch konstatieren können.

Statt der Abschwächung beider Komponenten nach gleichem Verhältnisse durch dunkle Gläser kann man dann dieselbe Abschwächung dadurch bewirken, daß man beide Lichtquellen L, L' in immer größere, aber dasselbe Verhältnis behaltende, Abstände von der schattenauffangenden Tafel versetzt. So geschah es bei den folgenden Versuchen. Dabei wurde zugleich die Richtung des Verfahrens in der Art umgekehrt, daß, statt wie bisher die gleichbleibende Merklichkeit des Unterschiedes als Erfolg der relativ gleichen Abschwächung der Komponenten zu beobachten, umgekehrt diese als Erfolg der Herstellung der gleichen Merklichkeit beobachtet wurde, wie aus dem Folgenden deutlicher hervorgehen wird. Hierdurch wird die neue Versuchsweise vielmehr zu einer Ergänzung und Kontrolle, als Wiederholung der vorigen.

Da meine sehr geschwächten Augen sich auf dergleichen Versuche nicht einlassen konnten, bei welchen die angestrengteste Aufmerksamkeit und das schärfste Hinsehen nötig ist, um noch Spuren des im Verschwinden oder Wiedererscheinen begriffenen Schattens aufzufassen, so hat Volkmann unter Zuziehung einiger Mitbeobachter mit guten Augen die Anstellung derselben übernommen. Folgendes das Wesentliche des Verfahrens und der Erfolge.

Ein vertikal vor einer vertikalen weißen Tafel aufgestellter Stab warf unter der Einwirkung zweier Lichtquellen L, L' zwei Schatten auf die Tafel. Die eine Lichtquelle L, eine brennende Stearinkerze, wurde in einem gegebenen Abstande von der Tafel erhalten, und die andere, deren gleiche Lichtintensität mit jener auf doppeltem Wege photometrisch konstatiert war, nun durch einen der Mitbeobachter so weit von der Tafel zurückgerückt, bis der von dem Beobachter scharf ins Auge gefaßte Schatten, den sie warf, eben merklich zu sein aufhörte. Hierzu mußte bei Volkmann's Augen der Abstand der Kerze L' vom Schatten 10 mal so viel betragen, als der Kerze L, d. h. der Unterschied der Beleuchtungen, wo der Schatten eben merklich zu sein aufhörte, ¹/ ₁₀₀ der absoluten Beleuchtung betragen. Dasselbe Verhältnis der Distanzen und mithin Beleuchtungen, wo dieser Punkt eintrat, fand sich aber auch bei ganz anderen absoluten Intensitäten der Beleuchtung wieder, welche bemerktermaßen teils durch Abänderung der Intensität der Flammen selbst, teils dadurch erhalten wurde, daß die Flamme L in größere oder geringere Distanz von der Tafel versetzt war. Immer mußte die Distanz der Flamme L' merklich 10 mal so viel betragen, um den Schatten auf den Punkt des Verschwindens zu bringen. So wurde der Versuch von einer Intensität der Beleuchtung L gleich 0,36 durch Intensitäten = 1, = 2,25, = 7,71 bis 38,79 variiert, wobei als 1 die Beleuchtung durch eine Stearinkerze in 3 Dezimeter Abstand von der weißen Tafel gilt, ohne daß das Verhältnis der Distanz der anderen Lichtquelle zur Tafel bemerklich oder erheblich anders ausfiel. Nur bei der schwächsten Intensität (0,36) fand ein nennenswerter kleiner Abfall statt, d. h. die Distanz des Lichtes L' mußte etwas weniger als das 10 fache der Distanz des Lichtes L betragen (nach der Tabelle der Resultate das 9-, 6 fache), um den Schatten eben verschwinden zu lassen, indem hiermit unstreitig die untere Grenze, welche die Gültigkeit des Gesetzes für das Experiment hat, überschritten zu werden anfing.

Der Kürze halber habe ich bei dieser Darstellung bloß auf den Punkt des Verschwindens Bezug genommen. In Wirklichkeit aber wurde um den Punkt des Verschwindens herum die Lichtquelle L' abwechselnd hin- und hergerückt, so daß zwischen dem Punkte des Verschwindens und Wiedererscheinens des Schattens der Punkt der Ebenmerklichkeit möglichst genau erhalten wurde; und da die Verrückung der Lichtquelle L' durch einen Gehilfen nur auf den Ruf des, ganz mit Auge und Aufmerksamkeit auf die Apperzeption des Schattens gerichteten, Beobachters geschah, so erfolgte die definitive Fixation des Abstandes ohne dessen Kenntnis Seitens des Beobachters und konnte also nicht durch eine solche Kenntnis influenziert werden, wodurch das Resultat dieser Versuche um so unzweideutiger wird.

Diese Versuche sind von Volkmann unter Zuziehung von Prof. Knoblauch, Dr. Heidenhain in Halle und Dr. Jung aus Berlin angestellt, und zum Teil auch in meinem eigenen Beisein wiederholt worden. Und bemerkenswerter Weise fand sich bei allen genannten Beobachtern ein nur wenig um ¹/ ₁₀₀ der absoluten Beleuchtung schwankender Wert als eben merklicher Unterschied wieder.

Allerdings läßt dies Verfahren keine große Schärfe in Einzelversuchen zu, indem man das Licht L' innerhalb einer gewissen Weite, die nach Volkmann etwa ¹/ ₁₀ des Totalabstandes betragen mag, verrücken kann, ohne genau zu wissen, wo man den Punkt der Ebenmerklichkeit des Schattens fixieren soll; daher im Allgemeinen für jeden Beobachter das Mittel aus mehreren Versuchen als maßgebend angesehen wurde; doch schwankten die Einzelresultate oft nur sehr wenig um das Mittel, und die Unsicherheit, die nach den Mitteln übrig bleibt, ist sehr gering.

Diese Versuchsweise mit den Schatten entspricht dem ersten Hauptfalle; begreiflich aber läßt sich auch leicht dem zweiten dadurch entsprechen, daß man ein Licht allein ohne das andere der Tafel nähert oder davon entfernt, heller oder dunkler macht; dem dritten dadurch, daß man die beiden Schatten, welche einen Unterschied geben, oder einen Schatten und den Grund gemeinsam mit einem dritten hinreichend hellen Lichte beleuchtet, wodurch man im Stande ist, einen sehr deutlichen Unterschied für das Auge zum Verschwinden zu bringen.

So weit die eigenen und durch mich veranlaßten Versuche. Ungeachtet sie nach dem schon Eingangs Vorbemerkten nicht wesentlich neu sind, konnte doch ihre Anführung auch nach den früher angestellten noch nützlich sein, sofern sie unabhängig von denselben und mit manchen Modifikationen angestellt sind, wodurch sie zur Sicherstellung und Erläuterung des Gesetzes beitragen. Nun aber soll auch noch das Wesentliche dessen hinzugefügt werden, was mir von den früheren Bewährungen nach und nach bekannt geworden ist. Zuvörderst hat Bouguer nach s. Traité d'optique sur la gradation de la lumière par Lacaille. 1760. p . 51 den Versuch mit dem verschwindenden Schatten in ganz ähnlicher Weise als Volkmann angestellt,Ich entnehme die Angabe darüber der wörtlichen Wiedergabe seiner Worte durch Masson in den Ann. de Ch. et de Ph. 1845. T. XIV. p. 148; da mir Bouguer's Schrift selbst nicht zu Gebote stand. und beschreibt denselben unter der Überschrift: "Observations faites pour déterminer, quelle force il faut qu'ait une lumière pour qu'elle en fasse disparaitre une autre plus faible."

Nach einer auf mündlicher Mitteilung fassenden Angabe von MassonAnn. de Chim. et de Phys. 1845. T. XIV. p. 150. hat Arago die Versuche von Bouguer wiederholt und dabei auch mit farbigen Lichtern operiert. Arago selbst erklärt sich in seiner populären AstronomieHerausgegeben von Hankel, Th. I. S. 168. positiv über die Statthaftigkeit des Gesetzes, indem er nach Auseinandersetzung der Bouguer'schen Versuchsweise sagt: "welches auch die absolute Helligkeit von M und L (den beiden Lichtern des Bouguer'schen Versuches) ist, stets wird der Versuch auf dasselbe Resultat (denselben eben merklichen relativen Unterschied) führen." Doch führt er hier keine eigenen Versuche in Bezug auf den Gegenstand an.

Auch in seinen Mémoires sur la photométrie (p. 256) kommt er nicht auf das Gesetz zurück, führt aber, wie es scheint, unter Voraussetzung des Gesetzes, Versuche an, welche einen Einfluß der Bewegung auf die Sichtbarkeit des Unterschiedes beweisen, und die ich unten anführen werde.

MassonAnn. de Chim. et de Phys. 1845. T. XIV. p. 150. ist auf seine Versuche zur Bewährung des Gesetzes beiläufig bei einer ausgedehnten Untersuchung über elektrische Photometrie gekommen. Sein Verfahren ist sinnreich und einfach und seine Angaben lassen die Bewährung viel schärfer und vollständiger hervortreten, als die Angaben Bouguer's und Arago's. Im Wesentlichen war es dieses: Eine weiße Scheibe von ungefähr 6 Zentimeter Durchmesser, auf der ein Sektor, beispielsweise ¹/ ₆₀ der Kreisfläche betragend, zu einem gewissen Teile mn in beigezeichneter Weise geschwärzt war, wurde in rasche Drehung

versetzt, so daß vermöge der Nachdauer des Gesichtseindruckes sich der schwarze Teil zu einem Ringe oder Kranze auf der weißen Scheibe ausdehnte, der nach dem bekannten, hierbei obwaltenden, Gesetze über die Helligkeitsverhältnisse rasch bewegter Körper um ¹/ ₆₀ dunkler war als der weiße Scheibengrund. Ein Auge, was noch im Stande ist, den Kranz vom Grunde zu unterscheiden, wird hiernach im Stande sein, einen Unterschied, der nicht über ¹/ ₆₀ der Intensität beträgt, noch wahrzunehmen. Masson ließ nun eine ganze Reihe solcher Scheiben anfertigen, bei welchen das Verhältnis der Winkelgröße des Sektors zur Kreisfläche respektiv ¹/ ₅₀, ¹/ ₆₀, ¹/ ₇₀ und so fortschreitend bis ¹/ ₁₂₀ betrug, wodurch er in den Stand gesetzt war, Grenzen zu bestimmen, zwischen welche die Grenze der Empfindlichkeit fiel. Zu übereinstimmenden Ergebnissen mit dieser Methode führt folgende, welche, verglichen mit der vorigen, zugleich das Interesse hat, zu zeigen, daß instantanes Licht sich mit bleibendem Lichte in Betreff des Gesetzes gleich verhält.

Bekanntlich, wenn man eine abwechselnd in weiße und schwarze Sektoren geteilte, vom Tageslichte oder von einer Lampe erleuchtete, Kreisscheibe rasch dreht, erscheint sie von gleichförmigem Grau. Erleuchtet man sie statt dessen mit dem instantanen elektrischen Funken, so erblickt man alle Sektoren völlig unterschieden. Wendet man beide Beleuchtungsarten zugleich an, so kommt es auf das Verhältnis der Intensitäten an, ob man gleichförmiges Grau sieht oder die Sektoren unterscheidet; Ersteres, wenn das elektrische Licht zu schwach ist, Letzteres, wenn es hinreichend stark ist. Für die Augen verschiedener Menschen ist nach Masson das Verhältnis beider Beleuchtungsintensitäten, bei welchem das gleichförmige Grau eintritt, verschieden, indes es für das Auge desselben Beobachters sich gleich bleibt. Die Sektoren verschwinden und das gleichförmige Grau tritt ein, wenn die instantane Erleuchtung der weißen Sektoren durch das elektrische Licht (die schwarzen werfen kein erhebliches Licht zurück) denselben kein hinreichendes Übergewicht mehr über die gleichförmig graue Färbung, die ohne das elektrische Licht eintreten würde, gibt, daß sie vom Auge unterschieden werden kann; und je nach der verhältnismäßigen Breite der schwarzen und weißen Sektoren, womit sich das Grau ändert, wird demnach hierzu bei derselben fixen Beleuchtung eine verschieden starke elektrische Erleuchtung erfordert. Vermag das Auge nach der vorigen Versuchsweise noch ¹/ ₁₀₀ zu unterscheiden, so wird bei Gleichheit der weißen und schwarzen Sektoren die Erleuchtung der weißen Sektoren durch das elektrische Licht ¹/ ₂₀₀ ihrer Erleuchtung durch das bleibende Licht betragen müssen, indem diese Erleuchtung durch die Drehung der Scheibe zu einem Grau von der halben photometrischen Helligkeit abgeschwächt wird. Die Versuche nach dieser Methode sind von Masson zu anderen Zwecken, als unser Gesetz zu bewähren, in großer Abänderung angestellt, dabei aber die Übereinstimmung ihrer Ergebnisse mit denen der vorigen Methode konstatiert worden.

Das Nähere seiner Resultate gibt Masson, zuerst bezüglich der ersten Beobachtungsme-thode, nachher sich zur zweiten wendend, wie folgt an:Der Umstand, daß, so viel mir bekannt, die Masson'sche Arbeit in kein deutsches wissenschaftliches Journal übergegangen ist, wird die etwas längere wörtliche Mitteilung rechtfertigen

»En essayant différentes vues, j'ai trouvé, que pour celles que l'on considère comme faibles, la sensibilité a varié de ¹/ ₅₀ à ¹/ ₇₀. Elle a été de ¹/ ₈₀ à ¹/ ₁₀₀ pour les vues ordinaires, et pour les bonnes vues de ¹/ ₁₀₀ à ¹/ ₁₂₀ et audelà. J'ai rencontré deux personnes apercevant fort distinctement la couronne produite sur un disque donnant le ¹/ ₁₂₀«

»En faisant varier l'intensité de l'éclairement, j'ai trouvé que, quand il était suffisant, pour qu'on pût facilement lire dans un inoctavo, la sensibilité ne variait pas pour un même individu. Ainsi, comme Bouguer l'avait reconnu, la sensibilité de l'oeil est indépendante de l'intensité de la lumière. J'ai fait varier de plusieurs manières la puissance du rayon lumineux réfléchi par le disque. J'ai pris la lumière d'une carcel placée à diverses distances du disque, l'éclairement par un temps sombre et couvert; j'ai opéré à la lumière diffuse après le coucher du soleil ; j'ai employé la lumière solaire réfléchie par un héliostat, et quelquefois j'ai rendu le faisceau divergent au moyen d'une lentille. La distance de l'oeil an disque est sans influence sur la sensibilité, pourvu qu'on n'atteigne pas une certaine limite déterminée par l'angle soutenu par la couronne.«

»Les résultats n'ont pas été modifiés, quand j'ai changé le rapport entre le diamètre du disque et la largeur de la couronne. J'ai employé des disques, dans lesquels la surface parcourue par le secteur noir était le tiers ou le quart de celle du cercle. J'ai placé la partie noire au bord du disque, au centre, et entre le centre et la circonférence. Enfin j'ai disposé sur un même cercle plusieurs portions noires appartenant à des secteurs ayant avec le cercle des rapports différents, et j'ai employé le disque no. 5.Diese Scheibe enthält einen unterbrochenen schwarzen Sektorteil. Dans tous les cas, la limite de la sensibilité est restée invariable.«

»En éclairant le disque mobile par des lumières colorées, j'ai pu déterminer si la sensibilité de l'oeil variait avec la nature des rayons lumineux. Sauf quelques restrictions dont je vais parler, j'ai trouvé que la limite de sensibilité est indépendante de la couleur. Ainsi, je vois aussi distinctement la couronne au ¹/ ₁₀₀, soit que j'éclaire le disque par la lumière naturelle, soit que j'emploie des rayons colorés.«

»J'ai produit des lumières de diverses couleurs en faisant passer au travers de verres colorés les rayons du soleil ou ceux d'une lampe de Carcel. Je me suis servi des couleurs d'un specire, et enfin de l'appareil photométrique de M. Arago.«

»Les verres que je dois à l'obligeance de M. Bontemps ont tous été essayés au spectre. Excepté le verre rouge, qui ne laissait passer que l'extrémité rouge du spectre, tous les autres laissaient passer toutes les couleurs en quantités variables. Quelques-uns, le rouge par exemple, absorbaient une telle quantité de lumière, qu'on voyait difficilement la couronne.«

»Dans les essais précédents, l'observateur ayant l'oeil fixé sur le disque pendant un temps plus ou moins long, nous ne pouvons affirmer que les limites de sensibilité, ainsi déterminés, resteront les mêmes quand l'éclairement sera instantané. Je me suis assuré par le moyen suivant que, dans ce dernier cas, la limite de sensibilité éprouvait peu de variations.«

»Après avoir éclairé les secteurs du photomètreMasson bezieht sich hier auf eine in seiner Originalabhandlung beschriebene photometrische Einrichtung, bestehend in einer vom elektrischen Funken zu erleuchtenden, in weiße und schwarze Sektoren geteilten, rasch gedrehten Kreisscheibe. Vergl. S. 153. par une lampe Carcel, j'ai placé une lumière électrique à la distance limite, puis j'ai fait varier, soit la distance de l'étincelle, soit celle de la lampe, de manière à rendre très-sensibles les secteurs. J'ai opéré pour diverses intensités d'éclairement. En comparant ainsi la variation de distance nécessaire pour produire l'apparence des secteurs à la distance absolue des lumières, j'ai trouvé, et cela résulte aussi des expériences que je citerai plus loin, qu'on pouvait prendre pour limite de sensibilité dans mes expériences photométriques les nombres obtenus pour les lumières fixes.«

»En soumettant à mes expériences plusieurs individus, j'ai constaté un fait de la plus haute importance pour la photométrie absolue, je veux dire pour la comparaison des lumières fixes à une lumière instantanée prise pour unité. J'ai trouvé que deux personnes, qui avaient la même sensibilité, donnaient, après avoir acquis suffisamment l'habitude des expériences, les mêmes nombres au photomètre électrique.«

»J'ai substitué aux papiers blancs éclairés par des lumières colorées, des papiers colorés éclairés par de la lumière naturelle. La limite de sensibilité m'a toujours paru plus petite dans ce dernier cas, et un peu variable avec la couleur des papiers. Je ne pense pas cependant qu'on doive regarder ce fait comme une exception à la règle que j'ai établie. Il est en effet à peu près impossible de se procurer des papiers uniformément colorés ; la lumière qu'ils réfléchissent est toujours très-faible, et le noir qu'on dépose à leur surface adhère difficilement et réfléchit lui-méme une quantité de lumière blanche qui varie dans des limites assez étendues relativement à la lumière réfléchie par les disques colorés. Cependant, pour des papiers rouges et bleus, je suis arrivé très-sensiblement à la limite obtenue par les autres moyens.»

»Ayant remarqué qu'à la limite de la couronne décrite par la partie noire du secteur, il y avait toujours un certain contraste qui, rendant la couronne plus apparente sur ses bords, aidait à sa vision, j'ai terminé la partie noire du secteur par une bordure frangée no. 6 et 7. fig« (s. Original).

»Il résulte aussi des expériences, que j'ai faites sur plusieurs individus, que la sensibilité de leur organe restant la même pour toutes les couleurs, ils éprouvaient, en fixant le disque éclairé par le rouge, une fatigue, un malaise qui indiquaient chez eux une espèce de répugnance pour cette couleur. Il serait curieux d'examiner si cet effet n'est pas produit sur quelques yeux par une couleur autre que le rouge.«

Ich komme endlich zu Steinheil's Versuchen. Dieser fand in seiner berühmten Abhandlung über das Prismen-PhotometerElemente der Helligkeits-Messungen am Sternenhimmel von Steinheil, in den Abhandl. der mathemat. phys. Kl. der kön. bair. Akad.1837. Veranlassung zu untersuchen, ob der Irrtum, den man in der Schätzung der Gleichheit von Lichtintensitäten begeht, je nach der Größe der Intensitäten verschieden groß sei, und gibt (p. 14 seiner Abhandlung) das Resultat der darüber angestellten Beobachtungen kurz dahin an: "Sie zeigen, daß man mit großer Genauigkeit den Punkt erkennt, in welchem zwei Flächen gleich hell sind. Die Unsicherheit jeder einzelnen Schätzung der Art beträgt nicht über ¹/ ₃₈ der gesamten Helligkeit, diese mag groß oder klein sein."

Dieser Ausspruch inkludiert den Ausspruch unseres Gesetzes. Denn die Unsicherheit in der Schätzung der Gleichheit zweier Lichtintensitäten hängt begreiflich von der Größe des noch erkennbaren Unterschiedes ab, und wenn bei verschiedenen Intensitäten um einen gleich großen Verhältnisteil im Mittel einer Mehrzahl von Versuchen geirrt wird, so muß auch die Grenze der Merklichkeit eines Unterschiedes bei einem gleich großen Verhältnisteile dieser Intensitäten liegen.

So faßt es Steinheil selbst, indem er (p. 71) mit Bezug auf dieselbe Beobachtung sagt: "In Abteilung B wird gezeigt werden, .. . daß man bei der Schätzung gleicher Helligkeit jedesmal um einen aliquoten Teil der gesamten Lichtmenge fehlt. Aus Letzterem folgt nun, daß, wenn man die Lichtflächen bis zu dem Punkte der Intensität schwächt, wo sie nicht mehr von dem Himmelsgrunde zu unterscheiden sind, diese alsdann eine Intensität haben, welche der des Himmelsgrundes proportional ist."

Die absolute Angabe ¹/ ₃₈ kann der früheren von ¹/ ₆₄ bis ¹/ ₁₂₀gegenüber auffallen, und es bleibt fraglich, ob sie von einer Verschiedenheit der Augen oder der Methode abhängt; aber das trifft das Gesetz nicht, um was es hier zu tun ist. Dabei ist zu bemerken, daß der Bruch ¹/ ₃₈, welcher die Unsicherheit nach Steinheil mißt, dem eben merklichen Unterschiede, welchen die Brüche ¹/ ₆₄ bis ¹/ ₁₂₀ nach den anderen Beobachtern bezeichnen, zwar als proportional, aber nicht als damit übereinstimmend anzusehen ist; obwohl diese Bemerkung die Größe und Richtung des Unterschiedes zwischen den Ergebnissen nicht erklärt.

Steinheil's Versuche (p. 73 ff. seiner Abhandlung), in so weit sie für die Bewährung unseres Gesetzes als vergleichbar in Betracht kommen, beziehen sich allerdings nur auf eine Skala dreier Intensitäten, die sich wie 1,000, 1,672 und 2,887 verhalten; haben also keine große Ausdehnung; doch sind sie sehr schätzbar und wichtig, nicht nur, weil sie von einem der ausgezeichnetsten, in Anwendung photometrischer Maßmittel geübten, Beobachter herrühren; sondern auch, weil sie auf einem anderen Bewährungsprinzipe beruhen, als die bisherigen, und also um so mehr bezeugen, daß das Gesetz jede Art Prüfung besteht.

In der Tat übersieht man leicht, daß bei Steinheil's Bewährung das Prinzip der Methode der mittleren Fehler unterliegt, indes die früheren Bewährungen auf dem Prinzipe der Methode der eben merklichen Unterschiede fußen.

Da die Darstellung und Berechnung der Steinheil'schen Versuche nicht ohne Umständlichkeit geschehen könnte, verweise ich darüber auf das Original oder auf meine Abhandlung p. 477,wo ich nach einer etwas modifizierten Berechnung und unter Ausschluß einer, mit den übrigen nicht ganz vergleichbaren, Versuchsreihe statt des Bruches ¹/ ₃₈ finde ¹/ ₄₀. Nur die Zusammenstellung der gefundenen, und der nach Voraussetzung der Gültigkeit des Gesetzes berechneten einfachen mittleren Fehler der, den Quadratwurzeln der Intensitäten proportionalen, Beobachtungsgrößen mag hier folgen.

Die bisherigen Bewährungen des Gesetzes bezogen sich auf sehr kleine Unterschiede, was, wie man im 7. Kapitel gesehen, für ein darauf zu gründendes psychisches Maß das Wesentliche ist. Die direkte Bewährung desselben für mehr als nur eben merkliche Unterschiede hat einige Schwierigkeit, da bemerktermaßen das Urteil über ihre Gleichheit kein recht sicheres ist, und die Kombination von Versuch und Gegenversuch hier nicht eben so wie bei nur eben merklichen Unterschieden aus dem bloßen Dasein auf die gleiche Merklichkeit schließen läßt. Doch führe ich in meiner Abhandlung S. 489 die Erfahrung, daß bei Bedeckung des einen Auges ein leichter Schatten sich über das Gesichtsfeld legt, den man nicht geneigt ist heller oder dunkler zu halten, mag man ein Feuer oder eine Wand in's Auge fassen, als eine solche an, die aus gewissem Gesichtspunkte unter unser Gesetz tritt, und als Bewährung desselben für etwas mehr als eben merkliche Unterschiede gedeutet werden kann. Die Diskussion dieser Erfahrung möge man in der Abhandlung selbst nachsehen.

Es gibt aber noch von einer anderen Seite eine, und zwar viel unzweideutigere, Bewährung des Gesetzes an mehr als nur eben merklichen Unterschieden, zugleich die erste, die überhaupt für das Gesetz existiert, und zwar wiederum auf jenem hohen Beobachtungsfelde, dem die zuerst angeführten Bewährungen entnommen wurden, nämlich in der Schätzungsweise der Sterngrößen, wobei man voraussetzen muß, daß das geübte Auge der Astronomen die Schwierigkeit der Schätzung im Sinne unseres Gesetzes glücklich überwunden hat.

Die Schätzung der Sterngrößen ist nämlich seit Alters (Hipparch) bekanntlich nicht nach ihrem photometrischen Lichtwerte, sondern nach dem Eindrucke, den dieselben auf das Auge machen, geschehen, in solcher Weise, daß die Astronomen die Sterne 1., 2., 3. Größe u. s. f. durch gleiche scheinbare Helligkeitsunterschiede auseinanderzuhalten gesucht haben, dabei aber die Nummern der Sterngrößen abnehmen lassen, während die scheinbaren Helligkeiten zunehmen. Nach unserem Gesetze nun kann der empfundene Helligkeitsunterschied zwischen den aufeinanderfolgenden Größenklassen nur gleich sein, sofern das photometrische Verhältnis zwischen denselben gleich ist, mithin der mathematischen Reihe der Sterngrößen eine geometrische der Sternintensitäten zugehört, um mit Sternintensität kurz den photometrischen Wert eines Sternes zu bezeichnen.

Hiermit steht nun allerdings in Widerspruch, daß nach einer auf J. Herschel's Untersuchungen gestützten Angabe in v. Humboldt's Kosmos, die den aufeinanderfolgenden Sterngrößen zugehörige Reihe der Sternintensitäten statt einer geometrischen Reihe, vielmehr eine quadratische Potenzenreihe ist,

Sollte es eine geometrische Reihe sein, so müßte jede Zahl durch Multiplikation mit derselben Zahl aus der nächst vorhergehenden hervorgehen, und man unter möglichstem Anschlusse an die vorige Reihe in einfachen Zahlen vielmehr haben

Dieser Widerspruch erscheint für den ersten Anblick um so wichtiger, als die quadratische Potenzenreihe von Herschel selbst der geometrischen Reihe vorgezogen wird und als seine höchst sorgfältige Revision der Sterngrößen und Vergleichung derselben mit den Sternintensitäten nach eigenen photometrischen Bestimmungen eine der ausgedehntesten und wichtigsten Unterlagen ist, worauf man überhaupt bei der vorliegenden Frage mit einiger Sicherheit fußen kann. Inzwischen habe ich in meiner Abhandlung, wie ich glaube, einwurfsfrei dargetan, daß der Widerspruch bloß scheinbar ist, und sich bei genauerer Betrachtung vielmehr in die volle Bestätigung unseres Gesetzes auflöst. Hier die wesentlichsten Punkte:

Eine erhebliche Abweichung zwischen den obigen beiden Reihen und findet überhaupt nur bei der l. Größenklasse statt. In dieser variiert aber die Intensität der einzelnen Sterne vom Einfachen bis ungefähr zum 16fachen, so daß man, wenn man willkürlich die Intensität eines Sternes dieser Klasse als Repräsentanten der Intensität der ganzen Klasse wählt, solche beliebig mit dieser oder jener Reihe in Übereinstimmung bringen kann; und in der Tat hat eine solche Willkür bei Herschel stattgefunden. Derselbe hatte nämlich eine Vorliebe für die quadratische Potenzenreihe der Intensitäten, indem unter Voraussetzung derselben die Verhältnisse der Zahlen, welche die Größe bezeichnen, zugleich die Verhältnisse der Entfernungen, in denen sie von uns stehen, bezeichnen würden; und wählte demgemäß als Repräsentanten der Sterne 1. Größe denjenigen aus, der am besten zu dieser Voraussetzung stimmt, welcher aber keinesweges der von der mittleren Intensität ist, sondern einer der allerhellsten, der Reihenfolge nach der dritte unter den Sternen 1. Größe, α Centauri, indes Herschel selbst an mehreren Orten einen anderen Stern, α Orionis (Beteugeuze) ausdrücklich als einen solchen bezeichnet, der eine mittlere Stelle unter den Sternen 1. Größe einnimmt, als ein "typical specimen" der Sterne 1. Größe, als einen Stern "of an average first magnitude." Wirklich nimmt auch derselbe diese Stelle nach Herschel's eigenen Beobachtungsdaten ein, wonach unter den übrigen 14 von ihm photometrisch bestimmten und unter Zuziehung von Größenbruchteilen gereihten Sternen 1. Größe 8 eine kleinere, 6 eine größere Intensität, 6 eine kleinere, 8 eine größere Größennummer haben, als α Orionis.

Hiernach leuchtet ein, daß, wenn man einen mittleren oder typischen Wert für die Sterne 1. Größe ohne willkürliche Anpassung an irgendwelche Voraussetzung sucht, man nicht α Centauri, sondern α Orionis dafür zu wählen hat. Nun steht α Orionis zu α Centauri nach Herschel's eigener photometrischer Bestimmung im Verhältnisse von 0,484 zu 1. Substituieren wir also 0,484 für l in die quadratische Potenzenreihe, so geht sie über in

0,484 aber unterscheidet sich so wenig von 0,5 oder ¹/ ₂ und ¹/ ₉ von ¹/ ₈ , daß man in Betracht der von Herschel selbst hervorgehobenen Schwierigkeit der genauen Bestimmung von Größe und Intensität, in Betracht ferner, daß von ihm selbst die quadratische Potenzenreihe nicht für eine mit den Beobachtungen genau zutreffende erklärt wird, den Unterschied als klein genug ansehen kann, um für die quadratische Reihe die geometrische

substituierbar zu finden. Bei höheren Größenklassen würden freilich beide Reihen weiter auseinander weichen, allein Herschel's photometrische Bestimmungen gehen nicht über die 4. Größenklasse hinaus, und es ist also hier kein Anhalt zu weiterem Vergleiche geboten.

Eine gründlichere Berechnung, hinsichtlich deren ich auf meine Abhandlung verweisen muß, hat des Weiteren dargetan, daß die geometrische Reihe der Sternintensitäten nicht nur mit den Beobachtungsdaten Herschel's verträglich ist, sondern dieselben bei angemessener Bezugsetzung dazu und geeignet bestimmtem Exponenten der Reihe noch besser repräsentiert, als die quadratische Potenzenreihe, indem die Zusammenstellung von Beobachtung und Rechnung nach Herschel's, auf die Voraussetzung der quadratischen Potenzenreihe gegründeten, Formel eine Fehlerquadratsumme 2,719, nach unserer, auf die Voraussetzung der geometrischen Reihe gegründeten, Formel bloß 2,2291 übrig läßt.

J. Herschel's Untersuchung, wenn schon eine der wichtigsten, ist jedoch nicht die einzige, worauf man bei diesem Gegenstande fassen kann; und es wird das Statthaben der geometrischen Reihe der Sternintensitäten zur arithmetischen Reihe der Sterngrößen noch durch verschiedene andere gründliche Untersuchungen außer Zweifel gestellt, welche sämtlich, und zwar unabhängig von einander, zu dem gleichen Resultate geführt haben, so von Steinheil, von Stampfer, von Johnson und von Pogson. Die Zusammenstellung dieser Untersuchungen findet man teils in meiner erst angeführten größeren Abhandlung, teils in dem Nachtrage dazu in den Berichten der sächs. Sozietät.

Der Exponent der geometrischen Reihe schwankt nach den Resultaten dieser verschiedenen Untersuchungen nicht sehr bedeutend um 2,5 oder 0,40; je nachdem man die Reihe der Intensitäten aufsteigend oder absteigend verfolgt, nämlich bestimmt sich wie folgt:

Die Abweichungen zwischen diesen Bestimmungen des Exponenten erklären sich aus Abweichungen teils zwischen den Größenschätzungen, teils zwischen den photometrischen Bestimmungen der verschiedenen Beobachter. Auch kann auf den absoluten Wert der Bestim-mungen einigen Einfluß gehabt haben, daß die Intensität des Himmelsgrundes nicht in erfor-derliche Rücksicht dabei gezogen ist, wie ich näher in meiner zweiten Abhandlung bespreche. Hier jedoch würde es nicht am Orte sein, näher auf den Gegenstand einzugehen, indem die allgemeine Übereinstimmung dieser Untersuchungen in dem für uns wesentlichen Resultate, d. i. der Gültigkeit der geometrischen Reihe der Sternintensitäten, genügt.

Nach allem Vorstehenden muß ein beiläufiger Widerspruch auffallen, der sich in J. Herschel's Angaben gegen unser Gesetz findet, und den wir, als von einem so zuverlässigen Beobachter herrührend, nicht außer Acht lassen dürfen, wenn schon er in Widersprach mit dem Resultate steht, was nach obiger Erörterung von anderer Seite aus Herschel's Untersuchung fließt, und das Resultat aller vorangegangenen Untersuchungen nicht aufheben kann.

Herschel bemerkt nämlich bei Beschreibung seines Astrometers (Capreise, S. 357) in einer Anmerkung, es sei nützlich, dabei ein gleichseitiges Prisma zu Hilfe zu nehmen, um durch dessen reflektierende Wirkung die Verbindungslinie zweier zu vergleichenden Sterne dem Horizont parallel zu machen, und fügt hinzu: »Occasionally, too, it may be used to enfeeble the light of nearly equal bright stars, by external reflexion in an eqaal ratio (by bringing the line joining their reflected images parallel to that joining their direct). In this enfeebled state, shades of inequality become apparent, which would otherwise escape detection. By increasing or diminishing (equally) the angles of incidence, the reflected images may be more or less enfeebled. A plain metallic mirror may be used for the same purpose.« (Hiezu eine Parallelstelle in Outlines p. 522.)

Wie es sich nun auch mit diesem Widerspruche verhalte, so scheint mir jedenfalls nach allem Vorstehenden unmöglich, in der von Herschel bemerkten Abweichung mehr als eine Abweichung kleiner Ordnung zu sehen, welche unter gewissen Umständen der Beobachtung eintritt. Wie es scheint, hat er diese Abweichung nur »occasionally« beobachtet, ohne bestimmte Versuche deshalb anzustellen, und nachdem er selbst anderwärts von »unzähligen« Ursachen spricht, welche »unser Urteil in kaum glaublicher Weise bei solchen Versuchen mit bestimmen«, darf man gelegentliche Beobachtungen nicht für ausreichend halten, dieselbe bestimmten Versuchen gegenüber, wie sie vorstehends vorgelegen haben, zu begründen. Von der anderen Seite aber läßt sich allerdings denken, daß ein in solchen Beobachtungen so viel beschäftigtes und geübtes Auge als das von Herschel zuletzt eine Empfindlichkeit für feine Unterschiede und mithin feine Abweichungen vom Gesetze erlangt, welche für das Maß nur eine ganz geringe Größe repräsentieren, bei Intensitäten, wo sie für ein ungeübtes Auge noch nicht merklich werden; und dazu nicht unwahrscheinlich, dass Herschel's Angabe sich vorzugsweise auf sehr helle Sterne bezieht, wo die Abweichung wegen der oberen Grenze des Gesetzes vielleicht überall schon spürbar wird, da Herschel selbst die Schwierigkeit einer genauen Bestimmung der hellsten Sterne hervorhebt, und also hier vorzugsweise das eben angegebene Mittel angewendet haben mag. Leider läßt sich aus Mangel bestimmterer Angaben nichts hierüber entscheiden. Doch fordert jener, sicher auf etwas Tatsächlichem fußende, Widerspruch um so mehr zu einer weiteren Untersuchung der Bedingungen der Gültigkeit des Gesetzes auf.

Das Bisherige betraf den Nachweis, daß das Gesetz überhaupt in gewissen Grenzen besteht, ohne diese Grenzen genauer festzustellen; was überhaupt bis jetzt noch nicht geschehen ist. Doch wird teils über die Verhältnisse, den Grund, die Natur dieser Grenzen noch in manche Erörterungen einzugehen sein; teils die Anführung mancher Punkte hier zweckmäßig anzuknüpfen sein, welche unbeschadet der Gültigkeit des Gesetzes auf die Merklichkeit der Lichtunterschiede Einfluß haben, also bei Versuchen über die Gültigkeit desselben gleich oder vergleichbar zu halten sind; übrigens hier, wo sie zuerst in Rücksieht kommen, auch zulänglich für späteren Bezug darauf behandelt werden sollen.

Die obere Grenze des Gesetzes, wenn das Auge sich geblendet fühlt, hängt unstreitig damit zusammen, daß das Auge hierbei nachtheilig affiziert wird. In gewisser Hinsicht ist eine obere Grenze der Art selbstverständlich. Unstreitig können die inneren Bewegungen, an denen die Empfindung hängt, nicht über eine gewisse Grenze hinaus gesteigert werden, ohne das Organ zu zerstören und die Möglichkeit ihrer weiteren Steigerung selbst aufzuheben. Auch zwei ungleich starke Reize, die diese Grenze der Erregung erreichen und überschreiten, werden es doch nur bis zu diesem gleichen Maximum der Empfindung zu bringen im Stande sein, also keinen Unterschied der Empfindung mehr geben können. Doch führt jedenfalls schon die Annäherung an diese Grenze eine Abweichung vom Gesetze mit.

Es liegt nahe, die obere Abweichung vom Gesetze einfach darauf zu schieben, daß das Auge durch Abstumpfung gegen den Lichtreiz zugleich unempfindlicher gegen Lichtunterschiede werde, und dies scheint seine schlagende Bestätigung darin zu finden, daß man nach plötzlichem Übertritte aus vollem Tageslichte in eine dämmerige Kammer in den ersten Momenten gar nichts unterscheidet, allmälig aber immer besser unterscheiden lernt. Nun aber macht sich die gleiche Erscheinung noch in umgekehrter Richtung geltend. Wer nach länge-rem Aufenthalte im Dunkeln plötzlich in das Helle tritt, vermag anfangs eben so wenig die Gegenstände zu unterscheiden, und lernt es erst allmälig. Wäre Abstumpfung der Grund, daß man in sehr hellem Lichte Unterschiede nicht wohl erkennt, so müßte man im ersten Augen-blicke beim Eintritte aus dem Dunkel in das Helle am deutlichsten, und allmälig immer schlechter unterscheiden. Schon bei Anstellung des Versuches und Gegenversuches mit den Wolkennuancen machte sich dieser doppelte Fall geltend.

Man könnte hiernach geneigt sein, die Unfähigkeit beim Eintritte aus dem Hellen in das Dunkel die Gegenstände sogleich zu unterscheiden, vielmehr auf eine Nachdauer des Lichteindruckes, als Abstumpfung gegen den Eindruck, und die entsprechende Unfähigkeit beim Eintritte aus dem Dunkel in das Helle auf die Allmäligkeit, mit der sich Eindrücke geltend machen, zu schieben. Bliebe nämlich beim Übergange ins Dunkle aus dem Hellen das Augenschwarz durch Nachdauer noch eine Zeit lang erhellt, so könnten lichtschwache Eindrücke nach dem Prinzipe des Verschwindens der Sterne am Tage nicht wahrgenommen werden, und machte sich beim umgekehrten Übergange der stärkere Eindruck in langsamerem Verhältnisse geltend als der schwächere, so könnten auch Unterschiede zwischen starkem Lichte anfangs nicht wahrgenommen werden. In der Tat habe ich diese Erklärung in meiner Abhandlung über »ein psychophysisches Grundgesetz« S. 487 vermutungsweise aufgestellt. Doch scheinen mir nach genauerer Erwägung beide Seiten der Erklärung nicht mehr haltbar. Denn nach allen bisherigen Erfahrungen erlöscht das Phänomen der Nachdauer zu rasch, anderer Schwierigkeiten nicht zu gedenken; und der Annahme, daß sich ein starker Lichteindruck verhältnismäßig langsamer geltend mache als ein schwacher, widersprechen positive Versuche von Swan .Sillim. J. 1850. IX. p. 443.

Wenn ich nicht irre, so tritt die anfängliche Unfähigkeit, nach Eintritt aus dem Hellen in das Dunkel zu sehen, wesentlich unter Gesichtspunkte, die im 12. Kapitel ihre Erörterung finden werden; jedoch die gleiche Unfähigkeit beim Übertritte aus dem Dunkel in das Helle nicht erklären, und vielleicht ist daher noch als Erklärung zuzuziehen, daß, so wie vorgängige Einwirkung eines starken Lichtreizes gegen die absolute Empfindung eines schwachen eine Zeit lang mehr oder weniger stumpf macht, so auch vorgängige Einwirkung eines starken Lichtunterschiedes gegen die nachherige Empfindung eines schwachen Unterschiedes eine Zeit lang mehr oder weniger stumpf macht. Sei es nun, daß wir von sehr hellem und zu sehr schwachem Lichte übergehen, oder umgekehrt, so ist dies ein starker Lichtunterschied, der, obwohl sukzessiv aufgefaßt, doch auch gegen Lichtunterschiede, die nachher gleichzeitig aufgefaßt werden sollen, eine Zeit lang mehr oder weniger abstumpfen könnte. Jedoch ist allerdings auch diese Erklärung bis jetzt noch sehr problematisch.

Wie dem auch sei, so bleibt immer nach den, im 12. Kapitel aufzustellenden, Gründen überwiegend wahrscheinlich, daß, wenn das Auge sich für beide Komponenten in gleicher Weise abstumpft, dies keinen anderen Erfolg hat, als wenn beide Komponenten äußerlich in gleichem Verhältnisse abgeschwächt werden, wo der Unterschied noch gleich merklich bleibt, so daß also eine Störung des Gesetzes von hier aus nicht stattfinden kann.

Was die untere Grenze unseres Gesetzes anlangt, so ist sie bei näherer Betrachtung nicht als eine wahre Grenze anzusehen, und was bisher als Abweichung vom Gesetze erschien, ist genau betrachtet eine Folgerung des Gesetzes. Um dies zu zeigen, ist eine, auch für die Folge nach vielen Beziehungen wichtige, Vorerörterung nötig.

Abnormerweise können in allen Sinnesgebieten durch innere Ursachen (innere Reize) unabhängig von äußeren Reizen Empfindungen entstehen, die man bekanntlich mit dem Namen Halluzinationen bezeichnet; ein Beweis, daß ein Vermögen dazu unabhängig von äußeren Reizen in allen Sinnesgebieten vorhanden ist. Insofern kann es an sich nichts Auffallendes haben, wenn ein solches sich in einem gegebenen Gebiete auch konstant und normalerweise äußert. Ein Beispiel hierzu bietet uns faktisch der Gesichtssinn dar, wo wir eine so zu sagen normale Halluzination anzuerkennen haben. In der Tat ist das Schwarz, was wir im Dunkeln und bei geschlossenen Augen sehen, eine Lichtempfindung, die ohne äußeren Reiz statt hat, nicht zu verwechseln mit dem Nichtssehen, welches mit dem Finger oder Hinterkopfe statt hat, und nicht zu vergleichen mit dem Nichtshören bei Abwesenheit äußeren Geräusches. Vielmehr ist das Schwarz, was wir im geschlossenen Auge haben, nur dieselbe Lichtempfindung, die wir beim Anblicke einer schwarzen Fläche haben, die durch alle Gradationen in die stärkste Lichtempfindung übergehen kann; ja das innere Schwarz des Auges geht selbst durch rein innere Ursachen mitunter in helles Licht über, und enthält lichte Phänomene so zu sagen eingesprengt.

Bei genauerer Aufmerksamkeit entdeckt man in dem Schwarz des geschlossenen Auges eine Art feinen Lichtstaub, der bei verschiedenen Personen und in verschiedenen Zuständen des Auges in verschiedener Reichlichkeit vorhanden ist, und sich in krankhaftem Zustande zu lebhaften Lichtphänomenen steigern kann. In meinem Auge ist seit einer längeren Augenkrankheit ein starkes kontinuierliches Lichtflackern vorhanden, was nach Maßgabe zunimmt, als der, großen Schwankungen unterliegende, Reizzustand meines Auges zunimmt. Solche lebhafte subjektive Lichtphänomene können übrigens bei verschiedenen Individuen sehr verschiedene Formen annehmen, worüber ich hier in kein weiteres Detail eingehe, sondern auf Schriften über Augenkrankheiten und Kapitel über subjektive Lichtphänomene in physiologischen Schriften verweise. Vergl. z. B. Rüte's Ophthalmol. 2. Aufl. S. 192.

Der schwarze Grund des Auges kann auch an Tiefe zunehmen und abnehmen. Der Beweis dafür ist leicht zu führen. Hat man eine weiße Scheibe auf schwarzem Papiere scharf und anhaltend betrachtet, so zeigt sich nachher selbst im geschlossenen Auge bei vorgehalte-nen Händen (um den Lichtzutritt durch die Augenlider auszuschließen), ein vertieft schwarzes Nachbild der Scheibe in einem relativ dagegen hellen Grunde; zugleich zeigt sich die Netz-haut an der Stelle des Nachbildes abgestumpft gegen äußeres Licht; denn richtet man das Auge, in dem man das Nachbild hat, offen auf eine weiße Fläche, so sieht man daselbst einen gegen den weißen Grund dunklen Fleck. Also vertieft sich das Augenschwarz durch Ermüdung des Auges und erhellt sich relativ durch Ruhe.

Denselben Erfolg, den Ermüdung hierbei hat, hat Lähmung, welche partiell oder total, unvollkommen oder vollkommen, vorübergehend oder bleibend sein, bloß die Netzhaut oder auch die Zentralteile des Sehapparates betreffen kann. Nicht selten sind nur manche Stellen der Netzhaut gelähmt, dann sieht der Kranke mit offenem Auge graue, schwarze oder (in Betracht der für verschiedene Farbestrahlen verschieden geschwächten Empfindlichkeit) gefärbte Flecke auf den Gegenständen, welche den gelähmten Stellen entsprechen.Rüte, Ophthalmol. II. 458. Bei manchen Kranken tritt dergleichen vorübergehend ein. Auch das ganze Gesichtsfeld kann sich eben so wie bleibend, vorübergehend aus inneren Ursachen verdunkeln. RüteOphthalmol. I. 156. »beobachtete eine Dame, bei der sich unter gleichbleibendem Lichte oft plötzlich eine vollkommene Dunkelheit über die Augen ergoß, aus der die sichtbaren Objekte nur dann und wann wie Phantome auftauchten und sogleich wieder verschwanden, wenn die Kranke sie zu fixieren strebte.«

Sollte nicht bloß die Netzhaut, sondern auch die Zentralteile des Gesichtssinnes vollständig gelähmt sein, so hätte man zu erwarten, daß nicht bloß das Gesichtsfeld sich verdunkelt, sondern das Schwarz des Gesichtsfeldes selbst schwindet, (wie es an den Grenzen des Gesichtsfeldes im geschlossenen Auge schwindet) und mit den Augen eben auch nicht mehr als mit dem Finger oder einem toten Nervenstrange gesehen wird. Ich habe nichts darüber finden, und von berühmten Augenärzten keine entscheidende Auskunft darüber erhalten können, ob dergleichen wirklich total und bleibend beobachtet worden ist; es scheint nicht so; vorübergehend und partiell aber ist es nach folgender Angabe Rüte'sOphthalmol. I. 154. der Fall: »Es kommt bei nervösen Subjekten bisweilen vor, daß ihnen bei momentanen Lähmungen einzelner Teile der Retina das Stück der Außenwelt, welches den gelahmten Stellen entspricht, wie im Raume gar nicht vorhanden erscheint.«Eine Abhandlung von Gräfe »Über die Unterbrechungen des Gesichtsfeldes bei amblyopischen Affektionen« in Gräfe's Arch. f. Ophthalmol. II. Abth. 2. S. 258 scheint doch nur Fälle zu betreffen, wo Stücke des Gesichtsfeldes nicht sowohl weggefallen, als bloß verdunkelt waren. Wahrscheinlich sind die zentralen Bedingungen der Gesichtsempfindung im Gehirne zu wesentlich mit den Bedingungen des Lebens verbunden, als daß ein totales und bleibendes Aufhören der einen ohne die anderen stattfinden könnte.

Unter Voraussetzung der unbeschränkten Gültigkeit des Gesetzes nach unten läßt sich selbst die photometrische Intensität des Augenschwarz durch ganz analoge Versuche, als bisher zur Bewährung des Weber'schen Gesetzes angestellt worden sind, bestimmen. Hierzu hat man nämlich nur im Nachtdunkel ein einziges Licht so weit von einem schattengebenden Körper zu entfernen, bis der, nur allein noch vom Augen schwarz erfüllte, Schatten von dem, durch das Augenschwarz und die äußere Erleuchtung zugleich erhellten Grunde nur eben nicht mehr unterscheidbar ist. Legt man den von Volkmann gefundenen Buchwert ¹/ ₁₀₀ unter, so beträgt bei dieser Entfernung die Erleuchtung, welche das Licht dem Augenschwarz zufügt, ¹/ ₁₀₀ der Intensität des Augenschwarz.

Dieser Versuch ist wirklich, wenn auch bisher erst sehr beiläufig, angestellt worden. Für Volkmann's Augen verschwand der Schatten auf einem Grunde von schwarzem Sammet, als das Licht, eine gewöhnlich brennende Stearinkerze, in einem langen dunkeln, durch einige Zimmer noch verlängerten, Gange bis auf 87 Fuß davon zurückgerückt war. Sofern nun bei dieser Entfernung die Erleuchtung, die das Licht dem Augenschwarz zufügte, ¹/ ₁₀₀ der Erleuchtung durch das Augenschwarz war, würde sie bei ¹/ ₁₀ jener Entfernung, d. i. bei 8,7 Fuß Entfernung derselben gleich gewesen sein. Der Versuch sagt also: daß eine schwarze Tafel durch eine gewöhnliche Stearinkerze, die in ungefähr 9 Fußen Entfernung davon brennt, eine eben so starke Erleuchtung empfängt, als durch das Augenschwarz allein ohne äußere Beleuchtung, und mithin die photometrische Intensität der letzten Erleuchtung der ersten gleich ist.

Vielleicht mag man einen solchen Helligkeitswert des Augenschwarz noch auffallend und viel zu groß finden, sofern er der Erleuchtung einer Fläche durch eine gewöhnliche Kerze in nahe 9 Fuß Abstand äquivalent sein soll. Aber man muß nicht übersehen, daß es die Erleuchtung einer schwarzen Fläche ist, womit die Gleichwertigkeit behauptet, weil durch den Versuch bewiesen, wird. Es würde aber eine absolut schwarze Fläche selbst durch die nächststehende noch so intensive Flamme gar nicht erleuchtet werden, indem sie alles Licht verschluckte, und nur der Umstand, daß es keinen absolut schwarzen Körper gibt, läßt noch von einem geringen Erleuchtungsgrade eines schwarzen Grundes überhaupt sprechen. Daher warf der schwarze Grund immerhin etwas, aber doch nur sehr wenig, Licht in der Umgebung des Schattens zurück, womit die Helligkeit des Augenschwarz sehr wohl in der Art kommensurabel sein konnte, wie es sich durch den Versuch herausgestellt hat.

Ich habe hier nur das Ergebnis für Volkmann's Augen bei dem sorgfaltigsten Versuche, den er bisher angestellt, angeführt; zwei andere Personen, welche er zu dem Versuche zuzog, erkannten den Schatten noch bei jener Distanz von 87 Fußen, über welche der Versuch nach der Beschaffenheit der Lokalität nicht getrieben werden konnte, was beweist, daß entweder die Helligkeit ihres Augenschwarz oder ihre Empfindlichkeit eine andere war. Volkmann beabsichtigt, diesen Versuchen noch genauere Bestimmtheit, weitere Ausführung und Folge zu geben. Vorläufig genügt das von ihm erhaltene Resultat zu zeigen, daß die photometrische Intensität des Augenschwarz weder eine an sich unmeßbare, noch unmeßbar kleine ist; und dies ist es, worauf es hier zunächst ankommt.

Insofern nach allem Vorstehenden das Schwarz des Gesichtsfeldes bei vollkommenem Ausschlusse äußeren Lichtes noch als eine wirkliche Lichtempfindung anzusehen ist, darf es bei der Prüfung des Weber'schen Gesetzes nicht vernachlässigt werden. Gesetzt, wir betrachten zwei einander nahe Wolkennuancen oder Schatten mit bloßen Augen, so fügt sich zu beiden Wolkennuancen oder Schatten noch die Helligkeit des Augenschwarz hinzu. Dämpfen wir nun das Licht beider Wolkennuancen oder Schatten durch Vorhaltung eines grauen Glases in einem gegebenen Verhältnisse, so bleibt die Helligkeit des Augenschwarz dabei ungedämpft, und fügt sich immer noch mit seiner konstanten Intensität den beiden Wolkennuancen oder Schatten hinzu, die also nicht wahrhaft dasselbe Verhältnis und hiermit nicht denselben relativen Unterschied als vorher behalten, sondern einen geringeren, was nach dem Gesetze eine Verminderung des Unterschiedes in der Empfindung mitführen muß. Ja, wenn wir mit der Dunkelheit der Gläser immer weiter gehen, so bleibt endlich das Augenschwarz statt beider Nuancen allein übrig, und aller Unterschied verschwindet. Das Schwarz im Auge wirkt bei diesem Versuche in der Tat, wie sonderbar dies auch erscheinen möge, ganz wie die helle Erleuchtung des Himmels, in der die Sterne verschwinden. Also kann sich das Weber'sche Gesetz bei bloßer Beziehung auf den äußeren Lichtreiz nur insofern und so lange bestätigen, als das innere Augenlicht gegen das äußere verschwindend klein ist, wie denn auch Masson die Gültigkeit des Gesetzes nur von dem Punkte an in Anspruch nimmt, wo man gewöhnliche Druckschrift lesen kann; wogegen, wenn man zu großer Dunkelheit mit den Versuchen herabgeht, der Unterschied der Nuancen undeutlicher werden muß. Entsprechendes gilt für alle angeführte Modifikationen des Versuches und bestätigt sich überall durch die Erfahrung.

Eine gute Erläuterung zu Vorstehendem gewährt es, daß man einen Lichtschein, der sich nur ganz wenig vom Augenschwarz unterscheidet, durch ein scheinbar ganz entgegengesetztes Mittel, doch nach demselben Prinzipe, zum Verschwinden bringen kann.

Wenn man Abends einen Stern ins Auge faßt, den man nur eben vom schwarzen Him-melsgrunde unterscheiden kann, so kann man ihn eben so wohl zum Verschwinden bringen, wenn man ein verdunkelndes Glas vor die Augen nimmt, als wenn man dem Auge die Lampe von der Seite nähert. Eine entsprechende Erfahrung ließ sich sehr schön an dem prachtvollen Kometen des Jahres 1858 Anfangs Oktober machen. Sowohl durch graue wie farbige Gläser, als Annäherung einer hellen Lampe von der Seite verkürzte sich der Schweif ausnehmend, und ein dunkelrotes Glas, durch das ich bei Tageslicht die feinsten Wolkennuancen erkannte, brachte gar den ganzen Kometen zum Verschwinden. Das Erste erklärt sich dadurch, daß durch die Gläser das Licht des Sternes oder Kometen, nicht das des Schwarz im Auge, erheblich geschwächt wird, das Zweite dadurch, daß durch das Licht nicht bloß die Stelle der Netzhaut, worauf sein Bild fällt, sondern in gewissem Grade der ganze Augengrund erleuchtet wird, wozu verschiedene Ursachen beitragen, die von verschiedenen Beobachtern hervorgeho-ben worden sind.

Einmal scheint das Licht durch Sclerotica und Chorioidea mit rötlicher Farbe durch, wovon manche bemerkenswerte Erscheinungen objektiver und subjektiver Färbung der Bilder abhängen, die Brücke in Poggend. Ann. LXXXIV. S. 418 besonders sorgfältig studiert hat; zweitens findet vom Bilde aus eine direkte zerstreuende Reflexion auf die übrigen Teile der Netzhaut, so wie rückwärts nach der Hornhaut statt, von welcher das Licht zum Teil abermals nach der Netzhaut zurückgeworfen wird, welche Punkte unter Mitrücksicht auf den folgenden besonders Helmholtz in Pogg. Ann. LXXXVI. S. 501 ff. hervorgehoben hat; drittens findet wegen der mikroskopischen Zusammensetzung der Augenmedien aus Zellen, Fasern, Häutchen eine unregelmäßige Lichtzerstreuung, wie es scheint nach dem Prinzipe der Beugung statt, wovon die um Lichtflammen sichtbaren farbigen Höfe abhängen, welche Meyer in Pogg. Ann. XCVI. S. 235 zum Gegenstande eines besonderen Studiums gemacht hat. Vermöge der letzten Ursache so wie vermöge der direkten zerstreuenden Reflexion vom Bilde der Lichtquelle auf die übrige Netzhaut ist die Erleuchtung der Netzhaut am stärksten in der Nähe des Bildes, erstreckt sich aber abnehmend in der Tat über den ganzen Augengrund.

Durch die vereinigte Wirkung dieser Ursachen wird das sehr schwache Licht des Sternes oder Kometenschweifes, ähnlich wie das Sternenlicht durch das Tageslicht, um so leichter übertäubt, je näher es dem Bilde der Lichtquelle im Auge fällt, da die Erleuchtung des Augen-grundes in dessen Umgebung am stärksten ist.

Daher auch die Angabe Brewster's:Pogg. XXVII. S. 494.

»Wenn das Licht der dicht beim rechten Auge gehaltenen Kerzenflamme auf einen Teil der Netzhaut wirkt, macht es alle übrigen Teile der Netzhaut in stärkerem oder schwächerem Grade unempfindlich für alle anderen Lichteindrücke. Die Unempfindlichkeit erreicht ihr Maximum dicht bei dem erleuchteten Flecke, und nimmt mit der Entfernung von diesem ab. Mäßig beleuchtete Gegen-stände verschwinden wirklich in der Gegend der stark erregten Partien, und Körper von lebhaften Farben werden nicht nur alles ihres Glanzes beraubt, sondern auch in ihrer Farbe verändert.«

Auf demselben Grunde beruht es, daß man nach Helmholtz Methode Pogg.LXXXVI. S. 513 die sog. übervioletten Strahlen des Sonnenspektrum, welche nach der gewöhnlichen Methode nicht gesehen werden, selbst ohne Anwendung fluoreszierender Substanzen erblicken kann, wenn man es so einrichtet, daß sie merklich isoliert von dem übrigen Teile des Spektrum, der sie durch zerstreutes Licht übertäubt, aufgefaßt werden können.

Eine allgemeine Folgerung aus Vorstehendem ist ferner, daß, ungeachtet bei verstärkter Beleuchtung die Menge reflektierten Lichtes auf schwarzen und weißen Flächen in gleichem Verhältnisse wächst, doch der Unterschied des Weißen vom Schwarz mit zunehmender Beleuchtung größer erscheint, weil die Helligkeit des Augenschwarz immer den Hauptanteil an der Helligkeit des Schwarz behält. Dies ist z. B. der einfache Grund, daß man im Hellen besser lesen kann, als im Dunkeln.

Abgesehen von den Grenzen des Gesetzes, welche mit dem Grade der Intensität des Lichtes in Beziehung stehen, darf man nicht vergessen, daß eine Bestätigung desselben durch Beobachtung nur in soweit zu erwarten ist, als außer den Intensitätsverhältnissen die übrigen Umstände gleich bleiben, welche auf die Auffassung des Lichtunterschiedes einen Einfluß äußern können. Nun ist die Untersuchung über die Umstände, welche in dieser Hinsicht von belangreichem Einflusse sein können, noch in hohem Grade unvollständig; doch soll einiger Punkte gedacht werden, welche nach den bisherigen Erfahrungen vorzugsweise Beachtung verdienen.

Schon (w. o.) wurde angeführt, daß Arago einen Einfluß der Bewegung der Komponenten auf die Wahrnehmung ihres Unterschiedes erkannt habe. Auch Volkmann hat diesen Einfluß wahrgenommen. Um die feinsten Spuren des erscheinenden oder verschwindenden Schattens aufzufassen, mußte das schattengebende Licht bewegt werden, womit sich der Schatten zugleich bewegte; und der eben merkliche Unterschied ¹/ ₁₀₀ ist unter dem Einflusse der Bewegung bestimmt.

Bei Arago's hierauf bezüglichen Versuchen bestanden die Komponenten nicht aus zwei Schatten, sondern wurden so erhalten, daß mit einem Fernrohre, welches inwendig ein Rochon'sches Prisma (wodurch ein Doppelbild erzeugt wird) hatte, und vor dessen Objektiv ein Nicol'sches Prisma angebracht war, durch dessen Drehung das eine Bild in beliebigem und meßbarem Verhältnisse gegen das andere abgeschwächt werden kann, nach einer in schwarzer Pappe angebrachten Öffnung, welche sich auf den bedeckten Himmel projizierte, visiert war, wo sich dann aus der Lage der Hauptschnitte des Nicol'schen und des Rochon'schen Prisma gegen einander die relative Intensität der beiden durch letzteres erzeugten Bilder bestimmen läßt. Durch geradlinige Bewegung des Rochon'schen Prisma im Fernrohre in der Richtung vom Ocular nach dem Objektive wurde das schwächere Bild in Bewegung gesetzt, so daß es von der Lage, wo sein Band durch die Mitte des stärkeren ging, in gemessener Zeit zu derjenigen überging, wo sein Rand sich mit dessen Rande berührte.

In drei Versuchsreihen, welche unter Zuziehung mehrerer Beobachter auf diese Weise angestellt wurden, fand bei einer Geschwindigkeit der Bewegung des Bildes von 12 Winkelminuten in der Zeitsekunde das Verschwinden des schwächeren über dem stärkeren superponierten Bildes für das Auge statt, wenn die Intensität des schwächeren folgenden Bruchwert des stärkeren betrug:

In Betreff des großen Unterschiedes, welchen die absoluten Zahlen dieser drei Versuchsreihen zeigen, bemerkt Arago bloß: »Je ne chercherai pas ici à expliquer, comment la sensibilité de l'oeil correspondant à l' état de repos a étési différente dans ces trois séries d'expériences. C est là un phénomène physiologique, sur lequel il y aura à revenir.«. Der Unterschied kann nicht von der Verschiedenheit der Beobachter abgehangen haben, da Arago sagt: Vorstehendes seien die »résultats à très-peu concordants, obtenus par M. Laugier, par M. Goujon et par M. Charles Mathieu;«. eben so wenig von einer Verschiedenheit der absoluten Intensität, welchem teils die ausdrückliche Anerkennung unseres Gesetzes in der populären Astronomie widerspricht, teils die allgemeine Angabe, die er für sämtliche Versuche beifügt: »Ajoutons, comme renseignement propre à faire juger de l'obscurité du champ, que l'image faible, lorsqu'elle se projetait en dehors de l'imageforte, a disparu quand son intensité était de ¹/ ₂₁₀₀.«

Von Interesse in Bezug auf den Einfluß der Bewegung sind auch folgende Bemerkungen von Förster,Über Hemeralopie p. 13. die er bezüglich der Anwendung seines Photometers macht:

"Bei einer sehr schwachen Beleuchtung und kleinen Objekten tritt die Erscheinung ein, daß letztere, wenn man sie einige Momente lang ruhig betrachtet hat, plötzlich, anstatt noch deutlicher zu werden, verschwinden, um bald wieder aufzutauchen. Ich glaube, daß dieser Wechsel nicht in einem, der Retina als Eigentümlichkeit zukommenden, Schwanken ihrer Energie beruht, sondern darin, daß in dem Momente, wo die Objekte wieder sichtbar werden, die Augen eine kleine Bewegung ausgeführt haben, so daß nun dieselben Bilder neue, bisher auf andere Weise erregte Retinateile treffen. Ich habe bei Gelegenheit der mit Aubert angestellten Experimente über den Raumsinn der Retina (cf. v. Gräfe'sches Arch. III) dies mit größter Bestimmtheit beobachten können. Wir betrachteten damals in einem stark verdunkelten Zimmer auf einige Fuß Abstand große Bogen Papier, auf denen sich, durch größere Zwischenräume isoliert, schwarze Ziffern befanden, und es kam uns darauf an, das Auge recht ruhig zu halten. Das Zimmer war so dunkel, daß uns die Zahlen nur eben noch als schwarze Flecke erschienen. Fixierte ich eine von diesen, so dauerte es – bei einer gewissen sehr schwachen Beleuchtung – nicht lange, bis sowohl die fixierte Ziffer als alle anderen in dem Grau des Papierbogens, der immer dunkler wurde, vollständig verschwand. War dieser Moment eingetreten, so wurde das Fixieren fernerhin unmöglich, es stellte sich ein unangenehmes Gefühl in der Orbita ein, die Augen machten eine kleine Bewegung und sofort war wieder der ganze Bogen mit den Zahlenflecken sichtbar. Die Bewegung wurde entweder selbst als solche wahrgenommen oder sie wurde willkürlich gemacht, oder endlich sie wurde daraus erschlossen, daß nun eine anders gelegene Zahl im Fixationspunkte stand."

Bis jetzt ist noch unklar, worauf der Einfluß der Bewegung beruht. Man hat ihn darin gesucht, daß der Unterschied auf eine neue, noch nicht ermüdete Stelle falle, allein da die Komponenten des Unterschiedes durch die Bewegung nicht geändert werden, sondern bloß die Stelle des sehr kleinen Unterschiedes verrückt wird, so scheint es nicht, daß der Ermüdungszustand durch die Bewegung erheblich gemindert werden könnte.

Demnächst wäre möglich, daß es vielmehr die vervielfältigte Auffassung des Unterschiedes durch eine Mehrheit von Punkten als die Frische dieser Punkte ist, was die größere Merklichkeit des Unterschiedes bei der Bewegung bedingt, insofern vielleicht eine Summation des Eindruckes der sukzessiv getroffenen Punkte in der Zeit bis zu gewissen Grenzen stattfindet. Endlich könnte folgendes, freilich auch noch nicht erklärtes, aber doch durch seine Allgemeinheit gewissermaßen einen Erklärungsgrund vertretendes, Verhältnis im Spiele sein. Jeder Vergleich zweier unterschiedener Größen gelingt besser, wenn wir dieselben sukzessiv mit denselben Organteilen, als simultan mit verschiedenen auffassen, wie E. H. Weber hervorgehoben und durch Versuche belegt hat, und wie auch schon (Kapitel 8) geltend gemacht wurde. So erkennen wir einen kleinen Unterschied zweier Gewichte leichter durch sukzessives Abwägen mit derselben Hand, als gleichzeitiges mit verschiedenen Händen. Durch die Bewegung der Komponenten bei unseren Lichtversuchen wird aber der gleichzeitige Unterschied für verschiedene Netzhautpunkte in einen sukzessiven für dieselben umgesetzt. Auf dieselben Punkte, auf die noch eben stärkeres Licht fiel, fällt alsbald schwächeres und umgekehrt, und je rascher die Bewegung erfolgt, um so mehr Punkte treten in gegebener Zeit in diese Sukzession ein. Jedoch ist auch diese Erklärung bis jetzt nur eine vermutungsweise.

Weiter gehört zu den Umständen, welche auf die Erkennbarkeit eines Unterschiedes Einfluß haben, die Ausdehnung der Komponenten, ohne daß aber das Gesetz bezüglich der Intensität dadurch geändert wird, wenn die Ausdehnung jedesmal vergleichbar bleibt, wie unmittelbar daraus hervorgeht, daß es an Sternen eben so gut als an ausgedehnten Schatten sich gültig erwiesen hat. Aber ein Lichtpunkt ist bei gleicher Intensität nicht so leicht vom Grunde unterscheidbar, als eine Lichtfläche. Da inzwischen dieser Gegenstand ausführlicher im 11. Kapitel behandelt wird, so gehe ich hier nicht weiter darauf ein.

Drittens hat sich gezeigt, daß ein gegebener relativer Lichtunterschied leichter erkannt wird, wenn sich seine Komponenten dunkel in hellem Grunde als hell in dunklem Grunde finden. Hierüber liegt nicht nur eine auf Erfahrung gestützte ausdrückliche Angabe von Arago bezüglich der Wahl des einen oder anderen Verhältnisses bei einem von ihm angegebenen photometrischen Apparate vor;Arago's Werke, herausgegeben von Hankel.sondern Hankel hat auch dasselbe bei Gelegenheit anderer photometrischer Versuche gefunden, welche bis jetzt noch nicht veröffentlicht sind.

2) Schall .In Sachen S. 160. Revision S. 367–419.

Im Gebiete des Schalls gilt es zu unterscheiden bloße Geräusche, welche keine bestimmte Tonhöhe haben, wo dann bloß die Stärke als etwas Meßbares in Betracht kommt, und Töne, bei welchen die von der Schwingungsamplitude abhängige, dem Quadrate derselben proportionale Stärke, und die von der Schwingungszahl abhängige, durch dieselbe physikalisch gemessene, Höhe besonders in Betracht zu ziehen sind. Die Verhältnisse der Stärke wird man eben so bei den einen als anderen, die der Höhe nur an letzteren untersuchen können. Fassen wir zuerst die Stärke in das Auge.

Renz und Wolf haben unter Vierordt's Leitung nach der Methode der richtigen und falschen Fälle Versuche über die Empfindlichkeit des Ohres für Unterschiede der Schallstärke am Tiktak einer Uhr, die in verschiedenen Abständen vom Ohre unter geeigneten Maßregeln angebracht wurde, angestellt. Als Hauptresultat folgt aus ihren Versuchen:Vierordt's Arch. 1856. H. 2. S. 185. Poggend. Ann. XCVIII.
"Werden zwei Schallgrößen von absolut jedoch ziemlich schwachen Intensitäten unmittelbar hinter einander wahrgenommen, so wächst die Sicherheit des Urteiles mit zunehmender Differenz der Schallstärken in der Art, daß Schallgrößen im Verhältnisse von l00 : 72 unter allen Umständen von einander deutlich unterschieden wurden. Bei Schallgrößen, die sich verhalten wie 100 : 92, übertrifft die Zahl der richtigen Entscheidungen nur um ein Geringes die Summe der falschen und unentschieden gebliebenen."

Diese mit Sorgfalt angestellten Versuche verdienen Beachtung als Erläuterungsbeispiele für die Anwendung der Methode der richtigen und falschen Fälle, und, sofern sie, was auch für das Folgende in Betracht kommen wird, auf eine verhältnismäßig geringe Sicherheit in der Erkenntnis von Unterschieden der Schallstärke hinweisen, sind aber nicht geeignet, über die Gültigkeit unseres Gesetzes zu entscheiden, da sie nicht auf die Gleichheit des empfundenen Unterschiedes bei verschiedenen absoluten Schallstärken gerichtet gewesen sind. Hierauf beziehen sich die folgenden Versuche.

Als ich mich mit Volkmann nach seiner Ausführung der photometrischen Versuche über die große Wichtigkeit einer allgemeineren Bewährung des Weber'schen Gesetzes unterhielt, improvisierte er zur vorläufigen Bewährung des Gesetzes für Schallstärke gleich folgenden Apparat, der mit nicht nennenswerten Kosten selbigen Tages hergestellt war.

Er besteht einfach in einem pendulierenden Hammer, der gegen eine Platte aus irgend einer tönenden oder nicht tönenden Substanz anschlägt. Als Achse dieses Pendels diente eine starke Stricknadel, in Messinglöchern sich drehend, zwischen zwei, auf einem Brette befestigten, oben durch ein Querholz verbundenen, Säulen. Begreiflich, je nachdem man den Hammer schwerer oder leichter macht, aus größerer oder geringerer Höhe gegen die Platte herabfallen läßt, sich dem Apparate mehr nähert oder weiter davon entfernt, wird der Schall physisch betrachtet stärker oder schwächer sein. Da der Apparat in seiner rohen Ausführung keine Kreiseinteilung zur Bestimmung der jedesmaligen Elevation des Hammers hatte, wurde zum Ersatze derselben ein Quartant mit einigen Merkzeichen in verschiedener Höhe an die Seite des Apparates gestellt und die jedesmalige Elevation des Hammers dadurch bestimmt. Der Hammer war von Holz und schlug gegen eine viereckige Glasflasche. Nun wurden zwei Elevationen des Hammers aufgesucht, welche hinreichend unterschiedene Schalle gaben, daß ein unmittelbar beim Apparate stehender Beobachter sich nicht täuschte, wenn er, ohne die Elevationen zu kennen, riet, welcher Schall der stärkere sei; aber wenig genug unterschieden, daß, wenn man den Unterschied etwa auf die Hälfte reduzierte, das Urteil unsicher war und teils richtige, teils falsche Fälle gab. Darauf entfernte sich der Beobachter sukzessiv auf 6, 12, 18 Schritte, so daß der anfängliche Abstand desselben vom Apparate mindestens verzwölffacht wurde. Bei jedem dieser Abstände wurde derselbe Versuch mit jenen zwei Elevationen mehrmals wiederholt, welche dem Beobachter in der Nähe einen zwar noch bestimmt erkennbaren, aber nur sehr schwachen Unterschied dargeboten hatten. Da bei 12facher Entfernung des Beobachters die physische Schallstärke auf ¹/ ₁₄₄ herabgekommen ist,Genau würde dies freilich nur bei Anstellung des Versuches in freier Luft sein. Der obige ward in verschlossenem Raume angestellt. so hätte der in der Nähe nicht viel über das eben merkliche hinausgehende Unterschied verschwinden müssen, wenn er überhaupt von der absoluten Stärke des Schalls abhinge. Aber bei allen drei Entfernungen des Beobachters blieb das Urteil desselben eben so sicher und richtig, als in größter Nähe.

Hier folgt die, aus Volkmann's Beobachtungsjournal ausgezogene nähere Beschreibung der Versuche.

"Ein prismatischer Stab ist graduiert und senkrecht auf einem Brette aufgestellt, welches durch 3 Schrauben in der Horizontale erhalten werden kann. An diesem Stabe sind zwei Läufer angebracht, von welchen waagerecht zwei Arme α, β ausgehen. Von der Höhe, welche die beiden Arme anzeigen, läßt man eine Kugel auf das Brett herabfallen. Die Kugel wurde zwischen Daumen und Zeigefinger gefaßt; die Spitze des Zeigefingers berührte den Arm α oder β , und dann wurden die Finger vorsichtig von einander entfernt, um die Kugel fallen zu lassen. Ich hatte zwei Kugeln von gleicher Schwere, faßte die eine mit der linken, die andere mit der rechten Hand, um nicht erst nach dem ersten Fallversuche die Kugel für den zweiten Versuch aufzuheben oder gar suchen zu müssen."

"Die größte Nähe des horchenden Beobachters am Fallinstrumente war 1 Meter, die größte Entfernung 6 Meter."

"Die absoluten Fallhöhen, die zum Vergleiche kamen, differierten wie 3 : 11,0."

"Die Gewichte der fallenden Kugeln differierten wie 1,35 Grmm. : 14,85 Grmm......."

"Zahlreiche Versuche innerhalb der Breite dieser Schalldifferenzen zeigten, daß Heidenhain und ich im Stande sind, mit Sicherheit Schallstärken zu unterscheiden, die sich zu einander wie 3 : 4 verhalten. Wenn der Unterschied verringert wird bis zum Verhältnisse 6 : 7, so kommen bereits einzelne Fehler und noch öfter Unentschiedenheiten im Urteile vor."

"Fechner dagegen irrte schon bei dem Verhältnisse 3 : 4 sehr häufig. Offenbar hatte aber bei ihm Übung Einfluß auf Steigerung des Unterscheidungsvermögens, denn am Ende einer sehr langen Beobachtungsreihe unterschied er Schallstärken im Verhältnisse von 3 : 4 jedesmal richtig, während er anfangs häufiger irrte als richtig hörte und nach längeren Versuchen immer noch ¹/ ₃ falsche Angaben bei ²/ ₃ rechten machte."

Die vorigen Versuche fußen auf dem Prinzipe der Methode der eben merklichen Unterschiede; und da sich aus früher angegebenen Gründen mittelst dieser Methode nicht wohl dieselbe Schärfe erreichen läßt, als nach der Methode der richtigen und falschen Fälle und mittleren Fehler, so bleiben unstreitig Versuche nach diesen Methoden immer noch erwünscht. Aber bei der ausnehmend großen Variation der absoluten Schallstärken, die in den angestellten Versuchen Platz hatte, sind sie entscheidend genug für die Gültigkeit des Gesetzes im Allgemeinen, und es könnte höchstens noch eine Abweichung kleiner Ordnung von demselben in den Grenzen der angestellten Versuche möglich sein, ohne daß diese eine Wahrscheinlichkeit dafür begründen.

Es dürfte nützlich sein, über die bei Versuchen dieser Art zu verwendenden Apparate und deren Theorie noch Einiges hinzuzufügen.

SchafhäutlAbhandl. d. baier. Akad. VII. 2. Abth. hat schon früher ein Instrument mit fallenden Kugeln zur Messung der Empfindlichkeit für Schallstarke angegeben, jedoch dasselbe bloß zur Messung der absoluten Empfindlichkeit benutzt.

Nicht minder ist das Schallpendel schon früher zu diesem Zwecke in Gebrauch gezogen worden. ItardGehler's Wört. Art. Gehör. S. 1217. hat sich eines solchen zur Untersuchung der Empfindlichkeit des Gehörs bei Gehörkrankheiten unter dem Namen Akumeter bedient, welches aus einem geschlagenen kupfernen Ringe besteht, der an einem Stäbchen frei von der durch eine Säule auf einem Fußgestelle errichteten Maschine herabhängt, und gegen welche das Pendel anschlägt, dessen Elevation an einem Gradbogen gemessen wird.

Ich selbst habe mir ein doppeltes Schallpendel mit Gradbogen verfertigen lassen, wo zwei ganz gleich konstruierte Pendel von zwei Seiten gegen eine dicke SchieferplatteMit Holz habe ich keinen gleichen Klang für beide Pendel zu erzielen vermocht. schlagen; jedoch bis jetzt noch nicht Zeit gefunden, Versuche damit anzustellen.

Folgendes zur Theorie der Instrumente:

Man findet leicht, daß, wenn ein Körper sei es durch freien Fall oder als Pendel auf einen anderen Körper herabfällt, die Stärke des Schalls, der dabei entsteht, im zusammengesetzten Verhältnisse der Fallhöhe und des Gewichtes des herabfallenden Körpers steht,Schafhäutl setzt die Schallstärke proportional der Quadratwurzel der Fallhöhe des schallgebenden Körpers (München. Abhandl. VII. S. 17), was ich nach der oben folgenden Herleitung nicht richtig finden kann. insoweit sich der Einfluß des Luftwiderstandes und etwaige andere störende Einflüsse auf die Fallgeschwindigkeit vernachlässigen lassen.

Aus Vorigem erhellt, daß die Stärke des Schalls beim Schallpendel nicht im Verhältnisse des Elevationswinkels φ des Pendels, sondern der Vertikalhöhe, um welche der Hammer über seine tiefste Stelle gehoben ist, d. i. im Verhältnisse von steht, wonach das Instrument gleich graduiert werden könnte. Da beispielsweise der Cosinus von 45º gleich 0,707 und der Cosinus von 90° gleich null, so ist hiernach das Verhältnis der Schallstärken bei diesen beiden Elevationen das von 1 - 0,707 = 0,293 zu 1 oder nahehin wie 3 zu 10. Die Elevationswinkel 60°, 90°, 180° entsprechen einem Verhältnisse der Schallstärken ½ : 1 : 2. So lange die Elevationen 60° nicht übersteigen, kann man die Schallstärke approximativ dem Quadrate derselben proportional setzen, so daß einer doppelten Elevation die vierfache, einer dreifachen die neunfache Schallstärke nahehin entspricht .

Anmerkung: Dies folgt aus der bekannten Formel - etc.

Tabellen über den Bezug zwischen den Elevationen eines Schallpendels und der Schallstärke.

In Betreff der Tonhöhen, bei welchen die Schwingungszahl die Größe des Reizes zu vertreten hat, liegen außer Weber's allgemeiner Angabe die, auch von Weber zitierten, Angaben Delezenne's vor; doch beziehen sich dessen Beobachtungen, wie ich mich aus seiner Originalabhandlung überzeugt habe, in der Hauptsache vielmehr darauf, welche Abweichungen von der Reinheit noch bei dieser und jener Art Intervall (Einklang, Oktave, Quinte u. s w.) unterscheidbar sind, als darauf, ob die Abweichung von der Gleichheit zweier Töne bei gleichem Verhältnisse der Schwingungszahlen oder in verschiedener Höhe der Tonskala gleich groß erscheint, was die eigentliche Frage des Weber'schen Gesetzes ist. Inzwischen bedarf es zur Bestätigung des Gesetzes in dieser Hinsicht nicht erst besonderer Versuche, da es die einfache und so zu sagen notorische Aussage des musikalischen Gehöres ist, daß gleichen Verhältnissen der Schwingungszahlen eine als gleich groß empfundene Tondifferenz in verschiedenen Oktaven entspricht, so daß man das Gesetz hier direkter als sonst irgendwo und zwar auch für große Unterschiede erwiesen halten kann. Auch haben Euler, Herbart und Drobisch hierauf bei ihrer mathematischen Betrachtung der Tonverhältnisse gefußt.

Ich befragte mehrere Personen mit gutem musikalischen Gehöre bei gelegentlicher Anstellung von Versuchen mit einem hölzernen Schallpendel, was auf Holz aufschlug, ob sie nicht einen Vergleich des Verhältnisses der Schallstärken bei 45° und 90° mit einem Verhältnisse von Tonhöhen zu ziehen vermöchten. Manche erklärten sich dazu unfähig; merkwürdigerweise aber stimmten die meisten, welche sich auf einen Vergleich einließen (unabhängig von einander und ohne von dem Urteile der Anderen etwas zu wissen) dahin überein, dieses Verhältnis mit dem einer Quarte zu vergleichen. Doch will ich auf diese Versuche bei ihrer bisherigen nur rohen und beiläufigen Anstellung um so weniger etwas geben, als jene Übereinstimmung nicht ausnahmslos war, und halte es selbst noch für sehr fraglich, ob ein direkter Vergleich zwischen Verhältnissen der Stärke und Höhe durch das Gefühl überhaupt zu ziehen. Jedenfalls tritt das Ergebnis dieser Versuche bestätigend in das von Renz und Wolf, so wie von Volkmann erhaltene hinein, wonach man nicht geneigt ist, ziemlich bedeutende Unterschiede der Schallstärken (3 : 10) als hoch zu taxieren.

In derselben Beziehung war mir interessant, von einem Musiker (dem Violinvirtuosen v. Wasilewski) die Angabe zu hören, man habe bei den Rheinischen Sängerfesten die Erfahrung gemacht, daß ein Chor von 400 Männerstimmen keinen bedeutend stärkeren Eindruck mache als von 200.

3) Gewichte.In Sachen S. 164, 186–199. Revision S. 168–173, 358–367.

Die mittelst der Methode der eben merklichen Unterschiede erlangten Resultate Weber's, wodurch die erste Bestätigung unseres Gesetzes im Felde der Gewichtsversuche geboten ist, sind schon angeführt worden. Seine Versuche haben das besondere Verdienst, daß bei einem Teile derselben die Druckempfindung der Haut von dem Muskelgefühle gesondert ist, und die auf diese Weise erlangten Resultate mit denen verglichen worden sind, welche bei gemeinsamem Anspruche beider Empfindungen erhalten wurden, indes die von mir selbst nach der Methode der richtigen und falschen Fälle angestellten Versuche, von welchen im Folgenden näher die Rede sein wird, sich auf die, bei den Hebungen der verglichenen Gewichte stattfindende, natürliche Verbindung beider Empfindungen beziehen. Eine genaue Trennung beider war nämlich nach der Modalität des Verfahrens nicht wohl ausführbar, doch erschien eine gemeinsame Bewährung des Gesetzes für beide, in Betracht der Genauigkeit, welche die Methode versprach, nützlich, außerdem waren diese Versuche nicht minder zum Studium der Methode als zur Prüfung des Gesetzes bestimmt.

Zum Verständnisse des Folgenden wird vielfach eine Bezugnahme auf Dasjenige nötig sein, was im Kapitel über die Ausführung der Methode gesagt ist, ohne daß ich es nötig halte, hier eingehend darauf zurückzukommen. Von anderer Seite werden im Folgenden manche Belege und Erläuterungsbeispiele zu dem dort Gesagten zu finden sein.

Meiner Hauptversuchsreihen über den betreffenden Gegenstand sind zwei, eine zweihändige und eine (mit Rechter und Linker besonders ausgeführte) einhändige, welche, beide vergleichbar, durch eine Reihe von 6 Hauptgewichten, 300, 500, 1000, 1500, 2000, 3000 Grammen durchgeführt, zu sehr übereinstimmenden Ergebnissen geführt haben. Die einhändige Reihe ist im Oktober und November 1856, die zweihändige im Dezember 1856 und Januar l857 angestellt. Die Umstände der Versuche beider Reihen waren im Allgemeinen die angegebenen Normalumstände. Speziell ist Folgendes dazu zu bemerken:

Jede beider Reihen umfasst in 32 Versuchstagen à 12 Abtheilungen à 64 Hebungen im Ganzen 32 ^. 12 ^. 64 = 24576 einfache Hebungen oder Fälle. Zu jedem Hauptgewichte P wurden (periodisch damit wechselnd) zwei bestimmte Verhältnisteile als Zusatzgewicht D angewandt, nämlich 0,04 P und 0,08 P. Letzteres Zusatzgewicht kann groß erscheinen, gibt aber doch, wie man sich aus den folgenden Versuchstabellen überzeugen kann, noch genug falsche Fälle, was mit der Einrichtung des beschriebenen Verfahrens zusammenhängt, jeden (zu 2 Fällen gerechneten) Vergleich auf eine einfache Doppelhebung, statt auf wiederholtes Hin- und Herwiegen zu begründen, wo ein D = 0,08 P schwerlich noch falsche Fälle liefern möchte. An jedem Versuchstage von 12 ^. 64 = 768 Hebungen wurden sämtliche 6 Hauptgewichte, jedes in 2 Abteilungen à 64 Hebungen, alle mit demselben verhältnismäßigen D geprüft, und dieses nur nach Tagen oder Wochen, wie unten anzugeben, gewechselt. Außerdem wurde nach Tagen wechselnd in aufsteigender (↑) und absteigender (↓) Folge der Hauptgewichte verfahren. So kommen in jeder beider Versuchsreihen auf jedes der sechs Hauptgewichte im Ganzen 32 ^. 128 = 4096 Hebungen oder Fälle; 2048 mit D = 0,04 P und eben so viel mit D = 0,08 P; je 1024 davon ↑ und eben so viel ↓. In der zweihändigen Reihe wurden mit jedem Hauptgewichte die 128 Hebungen jedes Tages incontinuo angestellt, in der einhändigen folgenweis 64 mit der Linken, 64 mit der Rechten, wobei nach Tagen wechselnd die Linke oder Rechte den Anfang machte. In der zweihändigen Reihe wurde nach je zwei Tagen, in der einhändigen nur nach je 8 Tagen zwischen D = 0,04 P und D = 0,08 P gewechselt. Dies hat den Unterschied mitgeführt, daß in der zweihändigen Reihe die Empfindlichkeitswerte bei beiden D's ganz vergleichbar sind, so daß diese Reihe mit zu einer Bestätigung des Gesetzes dienen kann, nach welchem das Verhältnis der richtigen zur Totalzahl der Fälle von der Größe D bei konstanter Empfindlichkeit h abhängt, während dies nicht so der Fall ist mit der einhändigen Reihe, wo die Wochen mit 0,08 P verhältnismäßig kleinere Empfindlichkeitswerte als die mit 0,04 P geben, was in die Bemerkung (Kap. 8) hineintritt. Aber in Betreff des Einflusses der Größe des Hauptgewichtes auf die Maßwerte, worauf es hier allein ankommt, ist die einhändige ganz eben so vergleichbar in sich, als die zweihändige.

Anmerkung: Dies Gesetz wird nach den Erörterungen im 7. Kapitel durch die Beziehung der Werte zu t = hD in unserer Fundamentaltabelle ausgedrückt, wonach ein doppeltes D ein doppeltes t gibt, wenn die Einflüsse p, q eliminiert sind.
Ich gebe nun zuvörderst, um mit der einfachsten, wenn schon nicht genauesten, Benutzungsweise dieser Beobachtungsreihen zu beginnen, die Gesamtzahl der richtigen Fälle r bei den verschiedenen Hauptgewichten P, spezifiziert nach einigen Hauptumständen, aber ohne Sonderung der 4 Hauptfälle und ohne Rückgang auf die genauen Maßzahlen, d. i. die Werte t = hD, die sich daraus berechnen lassen, indem sich auch schon ohne solche Berechnung die in Betracht kommenden Hauptresultate aus den yyy Verhältnissen der für alle Hauptfälle zusammengefaßten richtigen Zahlen r werden ziehen lassen, wonach die schärfere Behandlung der Reihen auch weiter nichts wird leisten können, als dieselben Resultate noch etwas schärfer herausstellen.

Die gebrauchte Gewichtseinheit im Folgenden ist überall der Gramme.

Um über die Bedeutung der Zahlen in den nächstfolgenden Tabellen keinen Zweifel zu lassen, gebe ich dieselbe ausdrücklich für die erste Zahl der ersten Tabelle an. Die Zahl 612 bei P = 300, D = 0,04 P, n = 1024, ↑ sagt, daß bei einem Hauptgewichte = 300 Grammen und einem Zusatzgewichte = 0,04 des Hauptgewichtes, also 12 Grammen, die Zahl der richtigen Fälle aller Tage, wo die Hauptgewichte in aufsteigender Folge (↑) angewandt wurden, 612 war, indes die Totalzahl der Fälle, richtige und falsche zusammen, unter denselben Umständen 1024 betrug, wonach die Zahl der falschen 1024 - 612 = 412 war. Hiernach wird die Bedeutungder übrigen Zahlen von selbst verständlich sein. Den Zahlen r der vertikalen Schlußsummenspalte gehört natürlich das 4fache n der Zahlen in den Spezialspalten zu, d. i. 4096, wie einschaltungsweise angegeben ist, da die r der 4 vertikalen Spezialspalten in der vertikalen Schlußsummenspalte addiert sind; hingegen gehört den Zahlen r der horizontalen Schlußsummenspalte das 6fache n der Spezialzahlen, d. i. 6144 zu, da die r, welche zu den 6 P's in derselben Vertikalspalte gehören, in der horizontalen Schlußsummenspalte addiert sind.

I. Zahl richtiger Fälle r der zweihändigen Reihe.

II. Zahl richtiger Fälle r der einhändigen Reihe.

Ich übergehe, als nicht hierher gehörig, alle Erörterungen über die Verschiedenheit der Resultate dieser Tabellen je nach den verschiedenen Umständen (als der verschiedenen Größe des D, Anwendung der Linken und Rechten, ↑ und ↓), welche man leicht selbst bemerken kann, und worauf näher in den "Maßmethoden" einzugehen sein wird. Hier geschahe die Spezifikation der Resultate nach diesen Umständen hauptsächlich nur aus dem Grunde, um zu zeigen, daß die Zahl der richtigen Fälle r in Bezug zu den Hauptgewichten P unter allen Verhältnissen wesentlich denselben Gang befolgt, d. h. mit den Hauptgewichten langsam ansteigt, und bei den höchsten Hauptgewichten, 2000 und 3000 Grammen, sich nur wenig mehr ändert. Hat man diese Übereinstimmung für die verschiedenen Versuchsumstände ins Auge gefaßt, so kann man sich des Weiteren an die vertikalen Schlußsummenspalten halten, welche in beiden Tabellen für ein n = 4096 die richtigen Zahlen bei den einzelnen Hauptgewichten geben.

Sollte nun das Gesetz sich direkt und genau durch diese Versuche bewährt finden, so müßten, in Rücksicht dessen, daß überall dasselbe Verhältnis des Zusatzgewichtes zum Hauptgewichte besteht, alle Zahlen r bei den verschiedenen Hauptgewichten nicht bloß annäherungsweise, sondern genau gleich sein. Dies ist nicht der Fall. Es ist jedoch die Abweichung, die solchergestalt für den Versuch noch von dem Gesetze übrig bleibt, eben so wenig für eine wahre Abweichung anzusehen, als die Abweichung, welche wir im Gebiete der Lichtempfindung an der unteren Grenze fanden, vielmehr eben so und aus einem ganz analogen Gesichtspunkte als eine Forderung des Gesetzes. Wie wir nämlich bei der Lichtempfindung die, auch ohne Zutritt des äußeren Lichtes vorhandene, innere Lichterregung mit in Rechnung zu nehmen haben, so hier das auch ohne äußeres Gewicht P vorhandene, bei Hebung desselben mit gehobene, Gewicht des Armes und etwaigen bedeckenden Kleidungsstückes (bei meinen Versuchen bloß ein leichter Hemdärmel.Außerdem bleibt fraglich, in wiefern der Druck der Luft auf die Haut nicht mit einem gewissen Werte in Rechnung gebracht werden muß, doch scheint dieser so zu sagen in den Organismus mit verrechnet. Und wie sich das Gesetz im ersteren Gebiete durch den Versuch direkt nur nach Maßgabe bestätigen kann, als sich das innere Augenlicht gegen das äußere vernachlässigen läßt, so im anderen Gebiete nur nach Maßgabe, als das Gewichtsmoment des hebenden und zugleich gehobenen Armes gegen das des gehobenen Gewichtes vernachlässigt werden kann.

Wirklich aber sehen wir bei unseren höchsten Hauptgewichten nur eine noch sehr unerhebliche Abweichung von der Forderung des Gesetzes, und den allgemeinen Gang der Abweichung in dem Sinne, in dem er nach voriger Auffassung zu erwarten, d. i. die richtigen Zahlen wachsen etwas mit P. Denken wir nämlich zu den an Größe aufsteigenden Hauptgewichten P immer denselben absoluten Zusatz A vermöge des Armgewichtes gefügt, indes D bloß proportional mit P wächst, wie es bei unseren Versuchen der Fall, so fällt natürlich , wovon die richtige Zahl abhängt, um so größer aus, je mehr A gegen P im Divisor verschwindet, d. i. je größer P selbst ist, und wird merklich konstant von dem Punkte an, wo P groß genug geworden ist, daß man A als nicht mehr dagegen in Betracht kommend ansehen kann; ganz wie es der Versuch zeigt.

Bei dem nicht unbeträchtlichen Gewichte des Armes kann es zunächst nur auffallen, daß der Zuwachs, den die Hauptgewichte von 300 bis 3000 Grammen dadurch erhalten, sich nicht in einem noch stärkeren Zuwachse der richtigen Zahlen mit aufsteigendem P kund gibt, und namentlich, daß dieser nicht beim Übergange zwischen beiden kleinsten Hauptgewichten 300 und 800 Grammen spürbarer ist, wo sich sogar in der zweihändigen Reihe vielmehr eine kleine Abnahme zeigt. Aber diese letztere Anomalie zunächst dahin gestellt, auf die ich nachher zurückkomme, so ist erstens keineswegs als ausgemacht anzusehen, daß die Belastung des Armes durch sein eigenes Gewicht in derselben Weise in Anschlag zu bringen ist, als ein hierzu gefügtes äußeres Gewicht; zweitens ist in Betracht zu ziehen, daß das gehobene Gewicht P am Ende des Hebelarmes, den der hebende Arm bildet, wirkt, das im Schwerpunkte des Armes wirkende Gewicht des Armes aber an einem kürzeren, was sein Moment verhältnismäßig vermindert; drittens, daß der Zusatz dieses Momentes zum Momente von P bloß für das Muskelgefühl, aber nicht für das Druckgefühl in Betracht kommt, da bloß das Gewicht P, aber nicht das Gewicht des Armes auf die Haut drückend einwirkt; viertens endlich, daß die richtigen Zahlen der vorigen Tabellen noch keinen genauen Maßstab für die Empfindlichkeit gewähren, sondern bloß den Gang der Empfindlichkeit im Aufsteigen mit den Hauptgewichten ohnehin anzeigen können. Es gilt hier in der Tat ganz das, was im Kap.8 auseinandergesetzt wurde; und namentlich kommt der erwähnte Umstand in Rücksicht, daß der Einfluß der Zeitfolge der Hebung p bei starker Vergrößerung des Hauptgewichtes wächst, und dadurch gemäß der Bemerkung im Kap. 8 die Summe der richtigen Fälle etwas kleiner macht, als es ohne diesen störenden Einfluß der Fall sein würde, so daß ohne diese Störung in der Tat die richtigen Zahlen bei den höchsten Hauptgewichten etwas größer und damit etwas unterschiedener von den niederen ausgefallen sein würden. Dies kommt namentlich in Betracht bei dem kleineren Zusatzgewichte 0,04 P, indes gegen das größere 0,08 P der Einfluss p verhältnismäßig mehr verschwindet. So hat man in der zweihändigen Reihe für die Hauptgewichte 1500 und 3000 als richtige Zahlen bei 0,04 P in Summa 1321 und 1335, bei 0,08 P hingegen 1592 und 1657; in der einhändigen eben so bei 0,04 P die Zahlen 1465 und 1460; bei 0,08 P 1687 und 1726. Der Unterschied ist also in beiden Reihen viel größer bei 0,08 P als 0,04 P.

Man beseitigt die Störung durch die Nebeneinflüsse p, q vollkommen durch die früher (Kap. 8) erörterte vollständige Kompensation derselben, welche auf der Sonderung und getrennten Berechnung der 4 Hauptfälle beruht. Hier folgt nun zuvörderst die Spezifikation der r-Werte nach den 4 Hauptfällen in einer ersten Tabelle (III) und der mittelst der Fundamentaltabelle daraus (noch ohne Fraktionierung) abgeleiteten t-Werte in einer zweiten (IV). In den "Maßmethoden" werde ich eine entsprechende Spezifikation auch für die einhändige Reihe mitteilen; hier wünsche ich, nicht zu viele Zahlen zu häufen. Die Definitivresultate, auf die man nach unten folgender Erörterung bezüglich der Frage unseres Gesetzes zu achten hat, sind in den Spalten 4 hD und 8 hD der Tabelle IV enthalten; die übrigen Spalten dieser Tabelle und die ganze Tabelle III kommen für unseren jetzigen Zweck nur als Unterlagen jener Definitivresultate in Rücksicht; können aber nebenbei zur Erläuterung der Weise, wie solche zu gewinnen sind, und mancher Punkte der Methode überhaupt von Nutzen sein, wie ich einschaltungsweise beifüge.

Sicheren Verständnisses halber erörtere ich wieder die ersten Zahlen der beiden folgenden Tabellen:

Die Zahl r ₁ = 328 bei P = 300, D = 0,04 P, n = 512 in der Tabelle III sagt, daß bei P = 300 Grammen, D = 12 Grammen, 512 Fälle des ersten Hauptfalles, d. i. wo D im erstaufgehobenen linksstehenden Gefäße liegt, 328 richtige Fälle geben.

Die entsprechende Zahl t ₁ = 2547 der Tabelle IV ist nach der Fundamentaltabelle gefunden, indem zu der zugehörige t-Wert genommen ist. Die Angabe n = 512, v = 1 oben bedeutet bei der Tabelle IV, daß jeder t-Wert aus 1 mal 512 Fällen (also ohne Fraktionierung) abgeleitet ist.

III. Nach den 4 Hauptfällen spezifizierte Werte r der zweihändigen Reihe.

IV. Aus der vorigen Tabelle abgeleitete Werte t der zweihändigen Reihe.

n = 512, v = 1.

Man sieht, wie sehr sich nach der Beschaffenheit der 4 Hauptfälle die Zahlen r ändern, und wie sehr diese Änderungen von der Größe des Hauptgewichtes mit influiert werden. Bei P = 3000 ist die richtige Zahl r = 244 sogar kleiner als die falsche 268 (welche durch Abzug der richtigen Zahl von der Totalzahl 512 erhalten wird), was dann einen negativen Wert t (in Tabelle IV) mitgeführt hat (vgl. Kap. 8). Solcher Fälle kommen übrigens genug in meinen anderen Beobachtungstabellen vor.

Man kann nun die Tabelle III benutzen, die im Kap. 8 gegebenen Regeln zur vollständigen Kompensation und Bestimmung der Einflüsse p, q selbst in Ausübung zu bringen, auf welche Bestimmung hier einzugehen kein Interesse vorliegt.

Ferner kann man sich durch Vergleich der bei D = 0,04 P und D = 0,08 P erhaltenen Summenwerte der Tabelle der t's überzeugen, daß diese Summenwerte den D's merklich proportional sind, nämlich die bei 0,08 P erhaltenen merklich das Doppelte der bei 0,04 P erhaltenen, was die Statthaftigkeit des Rechnungsbetriebes nach der (s. Kap. 8) gemachten Bemerkung verbürgt.Hierzu liegen mir übrigens auch noch andere Versuchsreihen vor. Jedoch ist auf alles dies hier nicht näher einzugehen.

Worauf es hier ankommt, ist, daß wir zusehen, inwiefern die Summenwerte 4 hD, 8 hD, welche durch Addition von t ₁, t ₂, t ₃ , t ₄ entstanden sind, konstant bei den verschiedenen P's sind, was sie eben so, wie die Summen der Zahlen r, aus denen sie abgeleitet sind, sein müssten, wenn unser Gesetz gilt, und wenn das Armgewicht nicht zu P zuträte.

Die Zahlen der Spalten 4 hD, 4 hD, 8 hD stellen nämlich, erstere für jedes der beiden verhältnismäßigen Zusatzgewichte insbesondere, letztere addiert für beide, die eigentlich hier in Betracht kommenden Maßzahlen dar, welche ohne die Miteinflüsse der Zeit- und Raumlage der Gefäße p, q erhalten worden wären, d. h. Produkte aus dem Maße der Unterschiedsempfindlichkeit h in das 4- oder 8fache Zusatzgewicht D, woraus sich durch Division mit 4 oder 8 DD ist für die Spalte 8hD im Mittel 0,06 P. Bei genauerer Berechnung ist aber die Berechnung von h für D = 0,04 P und D = 0,08 P besonders aus den Spalten 4 hD vorzunehmen, und hieraus erst der wahrscheinlichste Mittelwert von h zu suchen das Unterschiedsmaß h selbst für die verschiedenen Hauptgewichte finden lassen würde. Dieses müßte ohne Zutritt des Armgewichtes nach unserem Gesetze den Gewichten P und mithin den ihm proportionalen Zusatzgewichten D umgekehrt proportional gefunden werden, und hiernach eben die Produkte 4 hD oder 8 hD bei den verschiedenen Hauptgewichten gleich gefunden werden. Da sich nun Abweichungen von der Gleichheit leichter beurteilen lassen, als von der Proportionalität, so ist bei den Produkten 4 hD, 8 hD stehen geblieben, ohne auf h selbst zurückzugehen.

Der leichteren Übersicht wegen stellen wir nun die Werte der drei Hauptspalten, durch Division respektiv mit 4 oder 8 auf den einfachen Wert hD zurückgeführt, in folgender Tabelle zusammen. Die Bezeichnungen v = 4, v = 8 über den Spalten besagen, gemäß der im Kap. 8 angegebenen Bezeichnungsweise, daß jede Zahl der Spalten respektiv aus 4- oder 8mal n Beobachtungen abgeleitet ist; n aber ist = 512.

V. Werte hD dar zweihändigen Reihe.

n = 512.

Um die abstrakte Bedeutung der Zahlen hD, mit der wir hier nur bezüglich der Konstatierung unseres Gesetzes zu tun haben, in eine Bedeutung für das Experiment zu übersetzen, so ist es diese: wenn man bei jedem der angewandten Hauptgewichte, anstatt dasselbe relative Zusatzgewicht anzuwenden, wie geschehen ist, dieses dividiert mit der Zahl hD oder einem gegebenen Multiplum oder Bruchteil von hD, angewandt hätte, so würde überall eine gleiche Zahl erhalten worden sein. So wird man z. B. in der zweihändigen Reihe folgender Seite nach der Aussage der Versuche die zu dem Hauptgewichte 2000 und 3000 Grammen gehörigen Zusatzgewichte, welche in demselben Verhältnis-se als diese Hauptgewichte stehen, respektiv mit Zahlen zu dividieren haben, welche 4500 und 4909 proportional sind, damit sie gleich stark in die Empfindung fallen.

Wenn schon diese Rechnungsresultate noch nicht die definitiven sind, zu denen ich folgends erst komme, habe ich sie doch hier mit Fleiß gegeben, weil sie von den definitiven nicht wesentlich abweichen, so daß man sich immerhin an sie halten könnte, und weil sich ohne zu große Weitläufigkeit alle Unterlagen derselben geben ließen, woraus man sie nach den im 8. Kapitel angegebenen Regeln selbst reproduzieren kann. Dabei sind alle richtigen Zahlen, welche für denselben Hauptfall, dasselbe P und D während des ganzen Beobachtungsmonats erhalten wurden, zusammengenommen, und ohne Fraktionierung zur Ableitung der t-Werte aus der Fundamentaltabelle benutzt worden. Indessen habe ich, wie (s. Kap. 8) bemerkt, bei allen meinen Versuchsreihen vorgezogen, um die Variationen der Einflüsse p, q sicherer zu eliminieren, die t-Werte für jeden Hauptfall aus lauter Fraktionen mit n = 64 besonders zu berechnen, und diese zu Summen- oder Mittelwerten zusammenzulegen. So ist es denn folgends auch sowohl bei der zweihändigen als einhändigen Reihe geschehen. Die richtigen Zahlen dieser Fraktionen à 64 und daraus abgeleiteten einzelnen t-Werte hier einzeln zu reproduzieren, würde aber zu viel Raum kosten, ich beschränke mich daher folgends, das aus sämtlichen Fraktionen zusammengelegte, mit der Zahl v der Fraktionen dividierte, Definitivresultat für beide Reihen zu geben, bei dem endlich stehen zu bleiben ist.

n = 64.

VII. Werte hD der einhändigen Reihe.

n = 64.

Gelegentlich weise ich hier wieder auf einen Punkt der Methode hin, der sich durch den Vergleich von Tabelle VI mit Tabelle V erläutert. Beide, für die zweihändige Reihe geltende, Tabellen fußen auf denselben Beobachtungswerten und unterscheiden sich nur dadurch, daß in der Tabelle V die Werte hD ohne andere Fraktionierung als nach den 4 Hauptfällen, unter Anwendung von n = 512, abgeleitet sind, in der Tabelle VI aber mit starker Fraktionierung unter Anwendung von n = 64. Hiervon hängt es, gemäß der Bemerkung (Kap. 8), ab, daß alle Werte der letzten Tabelle etwas größer sind, als die der ersten. Die Abweichung würde gleichgültig sein, wenn das Verhältnis der Vergrößerung bei allen Werten gleich wäre, da es hier überhaupt nur auf Verhältnisse ankommt. Aber manche Werte sind in anderem Verhältnisse vergrößert, als andere. Dies hängt, wie sich aus einer Spezialdiskussion der Beobachtungsreihen dartun läßt, davon ab, daß p und q während der durch einen Monat durchgeführten Beobachtungsreihe nicht völlig konstant geblieben sind, sondern unregelmäßig variiert haben. Durch Teilung der Reihen in so kleine Fraktionen, daß während jeder derselben die Variation vernachlässigt werden kann, beseitigt man den für die Elimination von p und q daraus hervorgehenden Nachteil, und aus diesem Grunde sind die in Tabelle VI erhaltenen Werte denen der Tabelle V vorzuziehen. Inzwischen zeigt sich doch kein wesentlicher Unterschied im Gange der Werte zwischen beiden Tabellen, so daß man auch wohl bei der ersten, viel kürzer ableitbaren, hätte stehen bleiben können. Jedenfalls kann der Vergleich dieser Tabellen einen Anhalt geben, wie sich ungefähr je nach dem Grade der Fraktionierung die absoluten Maßwerte ändern können.

Vergleicht man die mit der einhändigen und zweihändigen Reihe erhaltenen definitiven Mittelwerte, so findet man,

wonach das Verhältnis beider Werte sich mit wachsendem Hauptgewichte langsam verkleinert, aber der Konstanz zu nähern scheint.

Der Blick auf den Gang der Werte hD in vorigen Tabellen VI und VII lehrt nun wohl, daß derselbe wesentlich auf dasselbe führt, als der Gang der Zahlen r in den ersten Tabellen, nur daß das Wachstum der Werte hD mit P aus angegebenem Grunde bei den höchsten P-Werten etwas mehr spürbar ist, als das der Zahlen r. Immer noch aber stellt sich die zunehmende Approximation an die Gleichheit mit Wachstum von P deutlich genug heraus.

So finden für die drei höchsten P-Werte =1500, 2000 3000 Grammen in der zweihändi-gen Reihe im Mittel die Werte hD = 4342, 4500, 4908; in der einhändigen 5682, 5639, 6152 statt. Während P von 1500 auf 3000, also vom Einfachen aufs Doppelte steigt, steigt hD verhältnissmäßig nur noch wenig, nämlich vom Einfachen respektiv aufs 1,13 fache oder 1,08 fache.

Es schien mir nun von Interesse, diese, für die Bewährung des Gesetzes wichtigste, approximative Gleichheit von hD bei höheren Gewichten für die beiden höchsten Hauptge-wichte 2000 und 3000 nochmals insbesondere zu konstatieren; und ich nahm dazu Gelegen-heit bei einer Versuchsreihe, die zugleich bestimmt war, das einhändige und zweihändige Verfahren in abwechselnden Versuchen zu vergleichen, indem die vorigen beiden Reihen, als im Ganzen hinter einander angestellt, keine Sicherheit eines solchen Vergleiches gewähren (s. o.); nebenbei auch die, schon durch anderweite Versuche konstatierte, Proportionalität der t-Werte mit dem angewandten D des Weiteren zu bewähren.

Diese Reihe, ebenfalls 32tägig, ist im Dez. 1858 und Jan. 1859 unter den (s. u.) angegebenen Normalumständen, also, obwohl viel später, doch ganz vergleichbar mit den früheren angestellt. Jeder Versuchstag umfaßt 8 Abteilungen à 64 Hebungen, die ganze Reihe also 32 ^. 8 ^. 64 = 16384 Hebungen. Zwischen den beiden Hauptgewichten wurde von einem Tage zum anderen, zwischen einhändigem und zweihändigem Verfahren nach je zwei Tagen gewechselt, außerdem an jedem Tage nach je zwei Abteilungen zwischen einem Zusatzgewichte D = 0,04 P und 0,08 P gewechselt, welches also bei P = 2000 respektiv 80 und 160, bei P = 3000 respektiv 120 und 240 Grammen betrug. Außerdem wechselten bei dem einhändigen Verfahren, wie ich dies stets so halte, Linke und Rechte nach je einer Abteilung à 64 Hebungen.

Zur Unterscheidung von der vorigen nenne ich diese Versuchsreihe die zwei- und einhändige. Zuvörderst gebe ich in Tabelle VIII die addierten Zahlen r der 4 Hauptfälle zu einem vorläufigen Apercu; in Tabelle IX aber die, ganz vergleichbar mit Tabelle VI und VII unter Sonderung der 4 Hauptfälle aus Fraktionen à 64 berechneten, Werte hD, ohne auch hier, wegen ihrer Umfänglichkeit, die Unterlagen dieser Berechnung in Spezie mitteilen zu können.

VIII. Zahl der richtigen Fälle r der zwei- und einhändigen Reihe.

Die Summe r bei P = 2000 ist 5875
- - - - - = 3000 - 6002.

IX. Werte hD der zwei- und einhändigen Reihe.

n = 64.

Die Summe der hD bei P = 2000 ist 31186
- - - - - - = 3000 - 32938.

Bei strenger Vergleichbarkeit der äußeren Umstände und der Berechnungsweise dieser Reihe mit den vorigen Reihen sollten die Zahlen der Tabelle IX mit denen der Tabelle VI und VII für P = 2000 und 3000 stimmen. Sie sind aber bei der zweihändigen Reihe beträchtlich kleiner, und stimmen bei der einhändigen zwar nahe mit den Zahlen für 0,08 P, aber sind erheblich kleiner für 0,04 P, wobei zu erinnern, daß die Zahlen der einhändigen Reihe bei D = 0,04 P und 0,08 P selbst nicht unter einander vergleichbar sind, was sich dadurch beweist, daß die letzten nicht merklich das Doppelte der ersten sind, und, wie schon (s. o.) bemerkt, davon abhängt, daß sie in verschiedenen Wochen erhalten sind. Dies kann einen Beleg zu dem, was gesagt wurde, geben, daß man auf eine Vergleichbarkeit von Maßwerten, die in verschiedenen Epochen erhalten wurden, nicht rechnen darf, auch wenn die äußeren Umstände gleich waren. Inzwischen tut dies der Vergleichbarkeit jeder Reihe in sich bezüglich der Verhältnisse, um die es sich hier handelt, keinen Eintrag.

Daß in unserer jetzigen Reihe, wo der Wechsel zwischen den beiden D's an demselben Tage erfolgte, die aus r berechneten Werte hD sich merklich proportional den gegebenen D's zeigen, gehört zu den Bewährungen unserer Rechnungsregel.

Nach dem Definitivergebnisse also nahm hD von P = 2000 bis P = 3000 nur im Verhält-nisse 31186 zu 32938 zu. Die Abweichung beider Zahlen von der Gleichheit bedeutet die Abweichung von der direkten Forderung des Weber'schen Gesetzes, welche von uns durch das zutretende Armgewicht erklärt wird. Die Zahl 9464 in voriger Tabelle ist jedoch nach Vergleich mit allen anderen Zahlen unstreitig durch Zufälligkeiten zu groß; und dadurch die Abweichung etwas kleiner ausgefallen, als sie ohnedem sein würde. Im Übrigen ist das wesentliche Resultat dieser Reihe die vollkommene Bestätigung des Resultates der früheren.

Da sich der Verhältnisteil, mit welchem das Moment des gehobenen Armes zu dem des gehobenen Gewichtes zuzurechnen ist, nicht wohl von vorn herein bestimmen läßt, teils weil das Moment am Lebenden nicht genau messend zu ermitteln sein möchte, teils weil nicht genau bekannt ist, in welchem Verhältnisse die Wirkung des Muskelgefühls in die Totalwirkung eingeht, so könnte man daran denken, den zu P zuzurechnenden Wert aus unseren Werten hD nach Voraussetzung der Gültigkeit unseres Gesetzes selbst zu bestimmen; doch zeigt einige Überlegung, daß sie dazu nicht wohl ausreichen.

Legt man die bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung der Fehler bezüglich des Zusammenwirkens von einander unabhängiger Präzisionsbedingungen gültigen Prinzipien zu Grunde, so würde, wenn das Muskelgefühl allein den Wert t' = h'D und das Druckgefühl allein den Wert t" = h"D bei einem gewissen Zusatzgewichte D erzeugt hätte, von dem Zusammenwirken derselben ein Wert t =

zu erwarten, und hiernach eine etwa versachte Rechnungzu führen sein. Nun steht t' nach unserem Gesetze im umgekehrten Verhältnisse von P + A, wenn A wie oben verstanden wird, t" bloß im umgekehrten Verhältnisse von P, mithin hat man

wenn c' und c Konstanten sind. Die drei Unbekannten c', c", A wären dann aus unseren für die verschiedenen P's erlangten Werten hD zu bestimmen. Aber selbst, wenn die Schwierigkeit dieser Berechnung zu überwinden wäre, würde die Anomalie bei kleinem P, wovon gleich die Rede sein soll, einer genauen Berechnung im Wege stehen.

Daß im Übergange von P = 300 zu P = 500 Grammen sich t statt erhöht vielmehr etwas vermindert zeigt, ist eine Anomalie, die aus dem bisher Angeführten nicht erklärbar ist. Ich glaube kaum, daß sie auf Zufälligkeiten wegen noch nicht hinreichender Beobachtungszahl ruht, wenn schon die Möglichkeit davon nicht schlechthin ausgeschlossen ist, da sie allerdings nur gering ist, und sehr große Versuchszahlen erforderlich sind, um kleine Unterschiede sicher begründet zu halten; aber abgesehen von der Übereinstimmung beider Versuchsreihen darin, deren jede eine große Menge Versuche zählt, sollte auch gerade bei den kleinsten Werten von P die Erhöhung von t mit Wachstum von P verhältnismäßig am stärksten sein, indem der Zuwachs zum Momente von P durch das Moment des Armes hier verhältnismäßig am größten ist. Und wenn nicht besondere störende Umstände bei den kleinsten Gewichten vorliegen, die bei den größeren durch deren Einfluß überboten werden, hätte dies sich meines Erachtens notwendig im Maße geltend machen müssen.

Ungeachtet ich nun keinen sicheren Aufschluß über diese Anomalie geben kann, deren sichere Konstatierung durch neue Versuche sogar vielmehr noch wünschenswert sein möchte, scheint mir doch Folgendes einige Wahrscheinlichkeit für den Fall darzubieten, daß sie wirklich in der Natur bestände.

Es läßt sich denken, daß ein zunehmender Druck noch abgesehen von der Verminderung der Empfindlichkeit, die nach unserem Gesetze proportional mit der Zunahme des Reizes besteht, durch die mechanische Kompression der Nervenenden oder bei der Apperzeption des Druckes mitbeteiligten Hilfsapparate einen vermindernden Einfluß auf die Empfindlichkeit äußert, der bei größeren Gewichten gegen den unserem Gesetze folgenden Einfluß, der einen allgemeineren und tieferliegenden Grund haben muß, verschwindet; aber bei kleineren sich überwiegend geltend machen könnte. Damit wäre die Verminderung von t bei beginnendem Wachstume von P erklärt. Ich bin nicht abgeneigt, hiermit den Umstand in Beziehung zu setzen, der mir sonst ebenfalls rätselhaft erschiene, daß wir eine leise Kitzelberührung stärker empfinden, und stärker zur Reflexbewegung dadurch angeregt werden, als einen etwas stärkeren Druck, obwohl das Übergewicht der Empfindung immer für einen sehr starken Druck bleibt. Doch gebe ich gern zu, daß dies nur Gedanken sind, die eine weitere Prüfung fordern und Anregung dazu geben mögen.

Es ist sehr wahrscheinlich, daß, so wie das Feld der Gewichtsversuche die untere Grenze des Gesetzes mit dem Felde der Lichtversuche teilt, dies auch in Betreff der oberen Grenze der Fall sein wird, nur daß die Versuche nicht bis zu einer solchen Grenze von mir fortgesetzt worden sind, wo die Belastung nachteilig zu wirken anfängt, und auch natürlich nicht nach der Methode der richtigen und falschen Fälle, welche eine gewaltige Menge Versuche fordert, ohne dauernden Nachteil hinreichend lange fortgesetzt werden könnten, um sichere Resultate zu erzielen. Doch würden sich nach der Methode der eben merklichen Unterschiede vielleicht beweisende Erfahrungen in dieser Hinsicht machen lassen, ohne Nachteil besorgen zu dürfen; da der Grad der Genauigkeit, der überhaupt mit dieser Methode zu erlangen ist, weniger an die Zahl der Versuche gebunden ist.

Überblicken wir das Vorige, so ist die Untersuchung über die Gültigkeit und Grenzen unseres Gesetzes im Gebiete der Gewichtsversuche noch weit entfernt, abgeschlossen zu sein; und meine eigenen Versuche zur Lösung der Aufgabe nach denen Weber's nur ein zweiter Schritt zu dem ersten, dem noch mancher mit neuen Modifikationen der Methode wird folgen müssen. Man kann nach dem bisher Geleisteten nur sagen, daß die Beobachtungen im Allgemeinen so gut zu dem Gesetze stimmen, daß man an seiner approximativen oder genauen Gültigkeit in gewissen Grenzen nicht zweifeln kann; aber die Anomalie an der unteren Grenze, die Frage nach der oberen Grenze, die genauere Konstatierung und Bestimmung des Einflusses des Armgewichtes, die vollkommene und genaue Scheidung des Druckgefühles und Muskelgefühles, sind noch Punkte, welche der Erledigung durch künftige Versuche harren. Weber's Versuche haben das Gesetz zuerst im Allgemeinen bewiesen, ohne daß die Methode geeignet war, die Abweichungen davon sicher zu konstatieren; meine Versuche haben solche erkennen lassen, ohne hinzureichen, sie dadurch wieder zu eliminieren, daß sich die Umstände, von denen sie abhängen, genau in Rechnung nehmen ließen.

Während es keinem Zweifel unterliegen kann, daß die Isolierung des Druckgefühles durch die eine Versuchsweise Weber's erreicht ist, wo das Gewicht auf die letzten Fingerglieder der auf dem Tische aufliegenden Hand gelegt wird; scheint mir allerdings die Isolierung des Muskelgefühles nicht eben so sicher durch die andere, in der Abhandlung über Tastsinn und Gemeingefühl S. 546 von ihm angegebene erreicht, wo der Beobachter mit der Hand die vereinigten Zipfel eines Tuches umfaßt, in welchem ein Gewicht hängt; da das Gewicht notwendig um so mehr dahin wirken muß, die Zipfel durch die Hand gleiten zu lassen, je schwerer es ist, wenn dem nicht durch ein stärkeres Zufassen, mithin einen stärkeren Druck begegnet wird. Sollte aber auch der Druck konstant gehalten werden können, so würde ein konstanter Druck um nichts weniger als Komplikation bei den Versuchen in Rechnung kommen.

Eine Methode, das Muskelgefühl genau bei den Versuchen zu isolieren, will mir überhaupt nicht beifallen. Zur Isolierung des Druckgefühles dürfte sich vielleicht unter Beibehaltung unserer Methode die Anwendung von Kugeln oder Hämmern, die aus gegebener Höhe auf die Haut herabfallen, noch besser eignen, als die Anwendung ruhender Gewichte; und eine Vergleichung der so erhaltenen Resultate mit denen, welche die Hebung von Gewichten gewährt, von nicht geringem Interesse sein.

Ohne Rücksicht auf die Frage unseres Gesetzes läßt sich das direkte Resultat der im Vorigen mitgeteilten Versuche wie folgt aussprechen.

Wenn man ein gegebenes Gewicht vergleichungsweise mit einem anderen hebt, welchem ein gewisses Mehrgewicht gegen das vorige zugefügt ist, so wird das Mehrgewicht absolut genommen um so mehr betragen müssen, je größer das Hauptgewicht ist, um noch gleich merklich als Unterschied beider Gewichte in die Empfindung zu fallen.

Läßt man das Mehrgewicht proportional mit dem Hauptgewichte wachsen, so daß nicht seine absolute, aber seine relative Größe in Bezug zum Hauptgewichte immer dieselbe bleibt, so wächst die Merklichkeit dieses relativen Mehrgewichtes einigermaßen mit Aufsteigen zu höheren Hauptgewichten; tendiert jedoch dabei immer mehr zur Gleichheit, so daß der Unterschied der Merklichkeit gleicher relativer Mehrgewichte bei Hauptgewichten von 1500 und 3000 Grammen nur noch gering ist, etwa dem Verhältnisse 10 :11 entspricht. Das heißt, die relativen Mehrgewichte bei 1500 und 3000 Grammen Hauptgewicht müßten, statt gleich zu sein, sich ungefähr wie 11 :10 verhalten, um noch gleich merklich zu erscheinen, also ein gleiches Verhältnis richtiger zu den falschen Fällen bei der demgemäßen Methode zu liefern.

Dieser aufsteigende Gang der Merklichkeit gleicher relativer Mehrgewichte mit der Größe der Hauptgewichte erleidet jedoch eine Ausnahme bei sehr niedrigen Hauptgewichten, indem die Merklichkeit beim Aufsteigen von 300 bis 500 Grammen vielmehr etwas ab- als zunimmt; wogegen über 800 Grammen der aufsteigende Gang fortgehends eingehalten wird.

Der Grund des exzeptionellen Ganges bei niederen Hauptgewichten ist so gut wie unbekannt, und nur (s. o.) eine beiläufige Vermutung deshalb ausgesprochen; der Grund der Abweichung von der gleichen Merklichkeit relativ gleicher Mehrgewichte beim Aufsteigen zu höheren Hauptgewichten kann mit Wahrscheinlichkeit darin gesucht werden, daß das Gewichtsmoment des hebenden und bei der Hebung mit gehobenen Armes als eine Vergrößerung des Hauptgewichtes in Anschlag kommt, welche der relativen Gleichheit des, eigentlich zu diesem vergrößerten Hauptgewichte in Bezug zu setzenden, Mehrgewichtes Eintrag tut.

Wenn man bei einem und demselben Hauptgewichte verschiedene Mehrgewichte anwendet, so wächst die Merklichkeit mit der Größe des Mehrgewichtes. Diese vergrößerte Merklichkeit hat ein vergrößertes Verhältnis richtiger zu den falschen Fällen so wie zur Totalzahl der Fälle zur Folge, wenn man die Methode der richtigen und falschen Fälle zur Vergleichung der Gewichte anwendet. Die Zahl der richtigen Fälle wächst aber nicht proportional der Größe des Mehrgewichtes, sondern in kleinerem Verhältnisse.

Die (Kap. 8) gegebene Regel, mittelst der Fundamentaltabelle zu finden, wie sich die richtige Zahl nach Maßgabe des Mehrgewichtes ändert, bestätigt sich in der Erfahrung.

Diese Resultate sind durch Versuche mit Hauptgewichten = 300, 800, 1000, 1500, 2000, 3000 Grammen und Mehrgewichten gleich 0,04 und 0,08 des Hauptgewichtes, übereinstimmend bei Hebung der Gewichte mit bloß einer Hand und mit beiden Händen, unter Ausscheidung der konstanten Fehler gefunden, welche von der Zeit- und Raumlage der gehobenen Gewichte abhängen.

4) Temperatur.

Der Tasts. und das Gemeing. S. 549.

Die Frage, inwiefern unser Gesetz auf Temperaturempfindung Anwendung erleide, schließt noch Dunkelheiten ein. E. H. WeberIn Sachen S.165. ist geneigt, anzunehmen; "daß wir vielmehr den Akt des Steigens und Sinkens der Temperatur unserer Haut als den Grad wahrnehmen können, bis zu welchem die Temperatur gestiegen oder gesunken ist. Wir empfinden z. B. nicht, ob unsere Stirn oder unsere Hand wärmer ist, bis wir die Hand an die Stirne legen, wo wir dann oft zwischen beiden einen großen Unterschied wahrnehmen, und zu manchen Zeiten die Hand, zu anderen die Stirne wärmer finden," wozu sich andere, von Weber geltend gemachte Erfahrungen fügen lassen, welche eben dahin weisen. Inzwischen scheint es doch, daß wir auch eine anhaltende Wärme als Wärme, und anhaltende Kälte als Kälte zu empfinden im Stande sind, wenn sie von der gewöhnlichen oder mittleren Temperatur hinreichend abweicht.

Wie dem auch sei, so kann, wenn man die Frage des Weber'schen Gesetzes bezüglich Temperaturunterschieden in Betracht ziehen will, keinesfalls als Reiz hierbei die Temperatur von einem absoluten Nullpunkte an in Frage kommen, sondern bloß die Differenz von einer Temperatur, bei welcher wir weder Wärme noch Kälte empfinden, weil die Größe der Wärme- und Kälteempfindung nur hiervon abhängt. Diese Differenz kann nun zu- und abnehmen, und die Frage des Weber'schen Gesetzes wird sein, ob eine gleich große relative Vergrößerung nicht der absoluten Temperatur, sondern dieser Temperaturdifferenz einen gleich merklichen oder allgemeiner gleich großen Zuwuchs der Temperaturempfindung bedinge.

Nach einigen, jedoch bei Weitem nicht hinreichenden, Versuchen, die ich über diese Frage angestellt, scheint dem so innerhalb gewisser Grenzen mittlerer Temperaturen zu sein, während es entschieden nicht mehr der Fall ist bei sehr kalten und sehr heißen Temperaturen.

Meine Versuche darüber sind an 6 Tagen (im Dez. 1855) nach der Methode der eben merklichen Unterschiede angestellt, indem ich dabei das Weber'sche Verfahren des abwechselnden Eintauchens zweier Finger derselben Hand immer bis zu gleicher Tiefe in zwei Gefäße mit ungleich warmem Wasser benutzte. Zur Beobachtung dienten ein paar sehr genaue und genau verglichene, in halbe Grade geteilte, Greiner'sche Thermometer mit Reaumur'scher Skale des Leipziger physikalischen Kabinets, an denen Zehnteile des halben, also Zwanzigstel eines ganzen, Grades noch sehr wohl geschätzt werden können. Da das eine derselben nach Hankel's Angabe, der die Güte hatte, mir dieselben zu den Versuchen zu überlassen, so wie nach eigener Konstatierung um 0°,05 oder ¹/ ₂₀ Grad höher als das andere stand, so ist jede Beobachtung deshalb korrigiert worden. Über die übrigen Verhältnisse der Versuchsreihe werde ich nach den Resultaten das Nötige anführen.

Innerhalb der Temperaturen von etwa 10° bis 20 ° R. fand ich die Empfindlichkeit für die Temperaturunterschiede so groß, daß die eben merklichen Unterschiede keine genaue Bestimmung zuließen. Ein Maximum der Empfindlichkeit, wo verschwindende oder fast verschwindende Unterschiede apperzipiert werden, liegt jedenfalls innerhalb dieser Grenzen, ohne eine genaue direkte Bestimmung zuzulassen. Über 20° bis zur Blutwärme, über die hinaus meine Versuche nicht erheblich gehen, fand ich die Ergebnisse dem Weber'schen Gesetze sehr wohl entsprechend, wenn ich (ganz empirisch) als Maß des Temperaturreizes den Temperaturüberschuß über die Mitteltemperatur zwischen Frostkälte und Blutwärme = 14°,77 R.Diese Temperatur basiert auf die Wärmebestimmungen des menschlichen Körpers durch Lichtenfels und Fröhlich in den Abhandl. der Wien. Akad. annahm, indem der eben merkliche Temperaturunterschied sich dieser Erhebung über die Mitteltemperatur proportional zeigte. Hier folgen die vor aller Berechnung als eben merklich aufgezeichneten, Temperaturunterschiede D mit den Temperaturen t, bei denen sie beobachtet wurden, diese als Mittel zwischen den zwei Temperaturen angegeben, zwischen welchen der Unterschied D beobachtet wurde, und den unter der Voraussetzung berechneten Werten von D, daß die eben merklichen Unterschiede den Temperaturüberschüssen über 14°,77 proportional gehen. Die erste Seite (I) dieser Tabelle fällt, weil die beobachteten Unterschiede hier überhaupt zu klein sind, außer Betracht, und kann bloß dienen, die Geringfügigkeit der eben merklichen Unterschiede in den Grenzen der Temperaturen dieses Teiles der Tabelle zu beweisen; wogegen man die zweite Seite (II) von 19°, 13 R. an nach ihrer Übereinstimmung zwischen Beobachtung und Rechnung in Betracht nehmen mag.

Man erhält die berechneten Werte der Tabelle, indem man den Temperaturüberschuß über 14°,77, also t - 14°,77 mit 0,03623 multipliziert. Diese Konstante ist bloß aus den Beobachtungen von t = 19°,13 bis 31°,35 abgeleitet; doch sind auch die beobachteten und die nach jener Konstante berechneten Werte von D über 14°,77 und unter 19°,13, welche, wie gesagt, nur Spuren sind, auf der ersten Seite der Tabelle beigefügt. Die Beobachtungen der Tabelle gehören nur 3 von den 6 Versuchstagen an; indem sich die Beobachtungen an den anderen 3 bloß auf Temperaturen unterhalb der Mitteltemperatur beziehen, die ich unten besonders gebe.

Was die mit Sternchen bezeichneten Werte von D der ersten Seite der Tabelle anlangt, so sind es solche, die nicht bloß als eben merklich, sondern als merklich (1 Sternchen) oder als deutlich (2 Sternchen) im Beobachtungsregister verzeichnet sind, was mehr als eben merklich gilt. Einer dieser für die Empfindung deutlichen Unterschiede (bei 17°) ließ sich am Thermometer (die erforderliche Korrektion um 0,05° dabei gemacht) nicht mehr erkennen. Überhaupt könnte man geneigt sein, die Mitteltemperatur größter Empfindlichkeit nach diesen Werten vielmehr bei 16° bis 17° als 14°,77 anzunehmen, und es ist möglich, daß sie da liegt. Aber man kann auf die fast verschwindenden Werte von D in der Nähe der Mitteltemperatur überhaupt nichts Sicheres bauen, wenn man bedenkt, daß abgesehen von den Schwankungen der Empfindlichkeit, des Maßstabes der Merklichkeit, den Irrtümern des Ablesens eine ganz geringe Abweichung zwischen der Temperatur des Wassers und Thermometers hinreicht, solche Unterschiede herbeizuführen oder zu verdecken, wenn auch möglichst Sorge getragen war, diese Quellen des Irrtums auf das Kleinste zu reduzieren. Der Ausgang der Berechnung von 14°,77 entspricht doch im Ganzen besser den Beobachtungen.

Im Übrigen, wenn schon jene Spuren von D unterhalb t = 20° fast in die Ordnung der Beobachtungsfehler treten, können sie nicht rein als solche selbst gelten, weil die Prüfung im Allgemeinen geschah, ohne daß ich wußte, für welches Wasser ein Übergewicht der Temperatur stattfand, und mich erst nach wiederholtem abwechselnden Eintauchen entschied, wenn ich des Resultates ganz sicher zu sein glaubte, was in dem Grade stattfand, daß ich mich bei einer sehr großen Anzahl Versuchen nur einmal in der Nähe der Mitteltemperatur getäuscht habe, wo die eben merklichen Differenzen fast verschwindend werden, indem bei der nachherigen Konstatierung der als eben merklich angenommene Unterschied sich in dem entgegengesetzten Gefäße fand, als wo ich ihn angenommen, wogegen sich sehr häufig Fälle darboten, wo ich keinen Unterschied zwischen beiden Wässern finden konnte, und nachher immer auch wirklich keinen oder einen unter der, dieser Gegend zukommenden, Grenze des Merklichen liegenden an den Thermometern fand, was durch eine Art gegenseitiger Kontrolle zugleich beweist, daß die Thermometerangaben und daß die Angaben des Gefühles im Allgemeinen verläßlich waren.

Mit dem aus der Tabelle ersichtlichen, dem Weber'schen Gesetze hinreichend entsprechenden, Gange der eben merklichen Unterschiede oberhalb der Mitteltemperatur, insoweit er sich wegen der Kleinheit der Unterschiede beurteilen läßt, fand jedoch keine Symmetrie unterhalb derselben statt. Bis etwa 10° abwärts waren die eben merklichen Unterschiede immer noch zu klein, um auf ihre Verhältnisse etwas zu geben, weiter abwärts aber stiegen sie ohne Vergleich rascher mit zunehmender Kälte, als mit dem Gange oberhalb und mit dem Weber'schen Gesetze verträglich ist; so daß sie empirisch ziemlich gut repräsentiert wurden, wenn man eine Proportionalität derselben mit der dritten Potenz von T - t annahm, wo T = 14°,77, t die Temperatur, bei welcher der eben merkliche Unterschied beobachtet wurde, und 0,002734 der Wert ist, mit dem man (T - t) ³ zu multiplizieren hat, um den eben merklichen Unterschied am Thermometer zu erhalten, was unstreitig auf einer starken Abnahme der Empfindlichkeit mit der Kälte beruht. Wahrscheinlich würde man eine ähnliche Abweichung finden, wenn man über die Blutwärme hinaus sich der Temperatur näherte, wo das Gefühl des Brennens eintritt, wobei jedoch immer auffallend bleibt, daß die Abweichung oberhalb der Mitteltemperatur erst in höheren Graden beginnt, indes sie unterhalb der Mitteltemperatur alsbald beginnt.

Hier folgen die nach der Formel

D =(14,77 - t) ^{3 .} 0,002734
berechneten Werte in Zusammenstellung mit den beobachteten innerhalb der Temperaturgrenze +10°,5 und +4°,5 R. Tiefer abwärts erhielt ich an ein paar Tagen zu sehr von einander abweichende Werte, um etwas darauf zu bauen.

Mit Rücksicht auf die mancherlei Schwierigkeiten, welche diese feinen Versuche darbieten und namentlich, daß die Werte von ganz verschiedenen Tagen darin zusammengenommen sind, wobei teils auf völlige Vergleichbarkeit der Empfindlichkeit, teils genaue Beibehaltung desselben subjektiven Maßstabes für das Ebenmerklichsein nicht sicher zu rechnen, bieten diese Ergebnisse eine Übereinstimmung der berechneten mit den beobachteten Werten und einen Wechsel der positiven und negativen Differenzen zwischen Beobachtung und Rechnung dar, womit man wohl zufrieden sein kann. Natürlich würde sich die Übereinstimmung noch sehr haben steigern lassen, wenn ich einige nicht sehr passende Werte hätte auslassen wollen, ich habe aber Alles gegeben, was als eben merklich vor der Berechnung verzeichnet war. Doch bin ich weit entfernt, die angegebene Formel für mehr als eine empirische, innerhalb gewisser Grenzen genügende, anzusehen. Der Vollständigkeit halber füge ich endlich noch die über 10°,5 bis zu 14°,20 beobachteten Werte von D bei, wenn schon nichts Anderes mit Sicherheit daraus zu ersehen, als daß sie sehr klein sind. Jedoch sind sie noch etwas größer, als sie nach der Berechnung sein sollten, wenn man die vorige Formel darauf anwendet, wie die Zusammenstellung der danach berechneten mit den beobachteten Werten zeigt.

Obwohl diese Versuche mit großer Aufmerksamkeit angestellt sind, lassen sie doch noch eine Wiederholung aus dem Gesichtspunkte wünschenswert erscheinen, daß die Versuche unter der Mitteltemperatur mit den Temperaturen bloß aufsteigend, über der Mitteltemperatur absteigend angestellt worden sind, was der Vergleichbarkeit einigen Eintrag tun kann. Auch wäre zur Sicherstellung des Weber'schen Gesetzes oberhalb der Mitteltemperatur noch eine viel größere Zahl Beobachtungen nötig, als hier vorliegen, so daß ich nach Allem das Resultat dieser Versuche nur als ein vorläufiges geben kann, was möglicherweise noch der Modifikation unterliegen mag. Ich bezeichne es ausdrücklich als ein solches, und halte das Weber'sche Gesetz innerhalb der angegebenen Grenzen dadurch zwar für ziemlich wahrscheinlich ge-macht, aber keineswegs erwiesen. Es war meine Absicht, die Versuche nach diesen Beziehun-gen noch zu vervollständigen oder zu erneuern. Doch bin ich darin unterbrochen worden und habe seitdem nicht Zeit gefunden, darauf zurückzukommen.

Über die Modalität der Versuche trage ich noch Folgendes nach:

Die beiden Gefäße, in welchen das Wasser von verschiedener Temperatur enthalten, waren große tönerne Häfen, um die Temperaturänderungen möglichst zu verlangsamen. Sie waren so weit mit Wasser gefüllt, daß bei Eintauchen des Zeige- und Mittelfingers der rechten Hand bis auf den Boden das Wasser gerade bis an das Gelenk zwischen 1. und 2. Glied des Zeigefingers (von der palma an gerechnet) reichte. So war stets dieselbe Berührungsgröße mit dem Wasser hergestellt. Die Thermometer, in geeigneten Gestellen befestigt, tauchten mit den Kugeln bis in die Mitte des Wassers, das vor jeder Beobachtung gut umgerührt ward. Die Temperatur der Wässer ward teils durch Umrühren mit Eis, teils mit Metall- oder Tongeschirren, welche auf dem heißen Ofen standen, abgeändert. Die zwei Finger, welche den Versuch vornahmen, wurden erst so lange in einem beider Gefäße, bis an den Boden eingetaucht, gelassen, bis sie eine konstante Temperatur angenommen, dann abwechselnd in das eine und andere Gefäß getaucht, bis sich ein Urteil gebildet hatte. War die Temperaturempfindung über der, die ich als eben merklich bezeichnete, so wurde die Temperatur durch umrühren in entgegengesetzter Richtung abgeändert, so daß ich nicht wußte, ob der Überschuß der Temperatur an das andere Gefäß übergegangen oder nicht, und die Beobachtung wiederholt, bis sich, meist erst nach mehrfacher Wiederholung dieser Abänderung, ein eben merklicher Unterschied einfand, ein Verfahren, das freilich ziemlich langwierig ist. Die Temperatur wurde sofort nach gefaßtem Urteile abgelesen.

Obwohl ich nur den Empfindungswert eben merklich als maßgebend angenommen habe, so habe ich doch in meinem Beobachtungsregister auch folgende, so viel wie möglich konstant festgehaltene, Empfindungswerte, nach der aufsteigenden Reihe ihrer Größe, verzeichnet.

Unmerklich, kaum merklich, eben merklich, merklich, deutlich, entschieden, stark, sehr stark. Natürlich ist auf scharfe Scheidung dieser Werte nicht zu rechnen. Die Werte kaum merklich waren solche, wo ich nicht ganz sicher war, mich nicht zu täuschen, und obwohl dies nach der Beobachtung kontrolliert werden konnte, so war doch eine zufällige Übereinstimmung dann möglich; daher ich solche Werte nur insofern benutzt habe, als ich, wenn kaum merklich mit merklich oder deutlich an demselben oder auch verschiedenen Beobachtungstagen nahe zusammentraf, das Mittel aus diesen Bestimmungen als eben merklich in Rechnung brachte, was einigemale geschehen ist.

Unstreitig wird es erwünscht sein, wenn auch in diesem Gebiete Versuche nach den anderen Methoden zu denen nach der Methode der eben merklichen Unterschiede hinzutreten.

Volkmann hat Herrn Lindemann, stud. med. veranlaßt, Versuche nach der Methode der mittleren Fehler anzustellen, und seine Doktordissertation darüber zu schreiben, welche derselbe unter dem Titel: ".De sensu caloris. Halis 1857" verteidigt hat. Aber aus diesen Versuchen läßt sich nicht viel schließen, weil die Temperaturskala dabei zwar respektiv von 7° und 14°,6 bis 45°,55 C. zweimal aufsteigend und zweimal absteigend durchlaufen ist, aber so, daß auf jedes Temperaturintervall nur wenige Versuche kommen, was keine Benutzung nach dem Prinzipe der Methode der mittleren Fehler gestattet. Die rechte Hand tauchte dabei bis zur Handwurzel ein, und zwar bei der aufsteigenden Reihe stets zuerst in das anfangs wärmere, bei der absteigenden stets zuerst in das anfangs kältere Wasser, was dann durch Zuguß respektiv von kälterem oder wärmerem Wasser dem anderen für die Empfindung gleich gemacht wurde.

Bei den zwei aufsteigenden Reihen, d. h. wo Lindemann die Ausgleichung der Temperaturen beider Wassermassen für die Empfindung sukzessiv in immer höheren Temperaturen bewirkte, wurde stets ein positiver Fehler begangen, bei den zwei absteigenden umgekehrt stets ein negativer Fehler. Man kann in Frage stellen, ob dies daher rührte, daß bei der aufsteigenden und absteigenden Reihe in umgekehrtem Sinne durch die Temperaturskala fortgeschritten wurde, oder daß bei jedem einzelnen Versuche der Übergang in umgekehrtem Sinne zwischen dem anfangs wärmeren und kälteren Wasser geschah. Aus dem Umstande aber, daß gleich die ersten Versuche jeder der 4 Reihen das angegebene Verhältnis zeigen, ist das Letztere zu schließen. Es fehlt übrigens hier, wie in manchen Hinsichten, an genaueren Angaben über die in Betracht kommenden Umstände.

Man hat hier also Resultate, die wesentlich mit konstanten Fehlern affiziert sind, und nach der Regelmäßigkeit, mit welcher die einzelnen Fehler bei jeder einzelnen Reihe sich im Aufsteigen oder Absteigen durch die Temperaturskala ändern, scheinen die ganzen Fehler fast bloß konstante zu sein, da variable Fehler notwendig große Unregelmäßigkeiten im Einzelnen zeigen müßten. Dabei ist die Geringfügigkeit derselben auffallend.

Zwischen 26º,4 und 38º,8 C.Ich führe hier stets nur die niedrigere beider Temperaturen an, zwischen welchen die Differenz bestand. (beides inclus.) gaben 23 Versuche der 1. aufsteigenden Reihe regelmäßig + 0,05 als Fehler mit Ausnahme bloß von 5 Versuchen. Bei höheren und tieferen Temperaturen wuchs der Fehler, doch wenig, und etwas unregelmäßig nach Oben, so daß im Intervalle von 39,4 bis 45,5 bloß Fehler 0, 5; 0,6; 0,7; 0,8 vorkommen, stärker nach unten (+ 0,5 bei 14,6, womit die aufsteigende Reihe begann, + 0,4 bei 16° und 18°,2 u.s.w.). Bei der zweiten aufsteigenden Reihe wurde von 31,35 bis 42°,9 in 14 aufsteigenden Versuchen ausnahmslos + 0,05 als Fehler gefunden; dieser stieg höher hinauf bis 0,1 bei 44,8 und 45, 1, und tiefer herab bis + 0,25 bei 7°,9 und 8,4. Bei der ersten absteigenden Reihe wurde der Fehler - 0,05 von 41,5 bis 19,5 in 22 absteigenden Versuchen mit Ausnahme dreier beobachtet, er stieg bis - 0,1 bei 44,7 und bis 0,29 bei 7°; bei der zweiten absteigenden Reihe war der Fehler - 0,05 von 41,65 bis 19,35 ausnahmslos in 21 absteigenden Versuchen beobachtet, und stieg bis - 0,1 bei 44,9 und - 0,25 bei 7,55.

Diese Versuche stimmen mit den meinigen darin überein, daß von einem Intervalle an, wo die Fehler fast verschwinden, die Fehler nach der Frostseite zu rascher oder in stärkerem Verhältnisse steigen als nach der Wärmeseite. Sie geben hier viel kleinere Fehler, als von mir und schon früher von Weber die eben merklichen Unterschiede gefunden wurden, was jedoch kein Widerspruch ist, da nach der Bemerkung (Kap. 8) die Fehler überall durchschnittlich kleiner als die eben merklichen Unterschiede ausfallen müssen; zum Teil auch mit daran hängen kann, daß von mir bloß zwei Glieder zweier Finger, von Lindemann die ganze Hand eingetaucht ward. Eine wesentlichere Abweichung liegt darin, daß Lindemann das Intervall kleinster Fehl er um die Blutwärme herum findet, statt daß bei mir das Intervall kleinster bemerkbarer Unterschiede um die mittlere Temperatur liegt. Inzwischen läßt sich, da seine Fehler offenbar in der Hauptsache konstante sind, nicht beurteilen, ob hierin ein wirklicher Widerspruch liegt; und es sind neue Versuche über diesen Gegenstand jedenfalls nötig. Aus den bisherigen Versuchen geht freilich schon hervor, daß die Geringfügigkeit der Unterschie-de, die noch erkannt werden können, so wie der Fehler, die durchschnittlich begangen werden, der genauen Meßbarkeit große Schwierigkeiten entgegensetzt.

Vielleicht am geeignetsten dürfte zu Versuchen über diesen Gegenstand eine analoge Anwendung der Methode der richtigen und falschen Fälle sein, als bei meinen Gewichtsversu-chen stattgefunden hat. Freilich wird man dabei nicht leicht so konstante Temperaturen und Temperaturunterschiede erhalten können, als sich Gewichte und Gewichtsunterschiede erhalten lassen; wenn man inzwischen die Ursachen der Temperaturveränderung möglichst vermindert, und z. B. nach je 10 Beobachtungen die Temperatur neu aufzeichnet und nötigenfalls reguliert, so scheint es doch, namentlich mit Rücksicht der Reduktionen, welche die Fundamentaltabelle gestattet, daß sich brauchbare Resultate müßten erhalten lassen.

5) Extensive Größen.

In Sachen 174–178. Über Augenmaß Revision S. 334–358. Über Tastmaß ebend. S. 423–427. Über die Maßbestimmungen des Raumsinns, Abhandl. der kgl. sächs. Ges. d.W. XXII, Nr. II. S. 111 ff. Über Gültigkeit des Weber'schen Gesetzes im Gebiet des Zeitsinns Revision S. 419–423, Abhandl. der kgl. sächs. Ges. d. W. XXII. Nr. I, S. 9 ff.

(Augenmaß und Tastmaß.)

Abgesehen von der allgemeinen Angabe Weber's, hat für das Augenmaß F. Hegelmayer,Vierordt's Arch. XI. p. 844. 853. stud. med. in Tübingen, eine ungefähre Bestätigung des Weber'schen Gesetzes nach der Methode der richtigen und falschen Fälle gegeben, die aber sowohl in Betreff der viel zu geringen Anzahl Versuche, als dem Mangel an Vergleichbarkeit, der zwischen mehreren, aus denen Mittel gezogen sind, obwaltete, zu viel zu wünschen übrig lassen, als daß sie als sehr maßgebend gelten könnten. Im Wesentlichen bestanden die Versuche darin, Linien von gegebener Länge, teils horizontale, teils vertikale, mit anderen zuvor gesehenen Linien zu vergleichen, die um gewisse größere oder kleinere Bruchteile davon verschieden waren, unter Abänderung der Zwischenzeit, deren Einfluß zu untersuchen die Hauptabsicht des Beobachters war, und zu zählen, wie oft die Schätzung, ob größer oder kleiner, zutraf, irrte oder in suspenso blieb. So viel seine Beobachtungen zu schließen gestatten, zeigte sich das Verhältnis der richtigen und falschen Fälle nicht wesentlich abhängig von der absoluten, sondern nur von der verhältnismäßigen Größe der Bruchteile, welches Resultat auch Hegelmayer selbst zieht; doch sind die Resultate überhaupt sehr unregelmäßig, und ich übergehe daher ihre speziellere Mitteilung.

Meine eigenen und Volkmann's Versuche nach der Methode der mittleren Fehler, wobei Distanzen zwischen kleinen Spitzen oder parallelen Fäden beobachtet wurden, geben eine sehr entschiedene Bestätigung des Gesetzes für alle irgends erhebliche Distanzen, d. i. von 10 bis 240 Millimeter bei einem Augenabstande von 1 Fuß bis 800 Millimeter, indem die reinen Fehlersummen oder mittleren Fehler, welche hierbei erhalten wurden, den Distanzen so genau proportional gehen, als man es nur immer erwarten kann. Hiergegen lassen Volkmann's Versuche so wie die von ihm veranlaßten Versuche Appel's (eines Studenten mit ganz besonders scharfen Augen) mit mikrometrischen Distanzen von 0,2 bis 3,6 Mill. bei Augenabständen, welche sich um die gewöhnliche Sehweite halten, diese Proportionalität nicht finden; es lassen sich aber die hierbei (nach Ausscheidung des konstanten Fehlers) erhaltenen reinen Fehlersummen oder mittleren Fehler in zwei Komponenten zerlegen, deren eine, die ich die Volkmannsche Konstante nenne,Sie ist nicht mit einem konstanten Fehler in dem Sinne von Kap. 8 zu verwechseln, sondern so gut aus variabeln Fehlern erwachsen, als die andere Komponente, und nur deshalb Konstante ihr gegenüber genannt, weil sie, in obiger Weise bestimmt, konstant bei Variation der Normaldistanz bleibt, nicht, wie die Weber'sche Variable, sich damit ändert. bei den verschiedenen Normaldistanzen konstant, die andere, die ich die Weber'sche Variable nenne, im Sinne des Weber'schen Gesetzes den Distanzen proportional geht. Wahrscheinlich ist erstere auch bei den Versuchen mit den größeren Distanzen im Spiele, aber sie ist so klein, daß sie gegen die letztere, den Distanzen proportionale, Komponente bei größeren Distanzen merklich verschwindet, und in der Unsicherheit von deren Bestimmung untergeht, indes sie bei ganz kleinen Distanzen den größeren Teil der variabeln Fehlersumme bildet. Bei den allerkleinsten Distanzen von 0,2 und 0,3 Millimeter war für Volkmann's Auge der Fehler auch wie es scheint durch Irradiation abnorm vergrößert.

Man sieht also, daß wir auch hier mit einer unteren Grenze des Gesetzes für den Versuch zu tun haben; und wahrscheinlich würden sehr große Distanzen auch eine obere finden lassen.

Die Hauptresultate sind in Folgendem enthalten. Sie beziehen sich sämtlich auf den reinen variabeln Fehler Δ in dem früher (Kap. 8) angegebenen Sinne, und geben überall die reine Fehlersumme ΣΔ, zumeist auch (wo ich sie bestimmt habe) die reine Fehlerquadratsumme Σ (Δ ²), für jede Distanz insbesondere abgeleitet aus μ nach der Zeitperiode gemachten Fraktionen von je m Beobachtungen ⁴⁶⁾, so daß die Totalzahl der Fehler, welche zu jeder Spezialsumme beigetragen haben, μ m ist. Die Zahlen μ und m sind für jede Beobachtungsreihe besonders angegeben. Für die horizontalen Summen spalten gilt das doppelte μ , sofern die Summen darin stets aus zwei Spezialsummen, respektiv für L. und R. oder O. und U. zusammengezogen sind. Es wurden nämlich immer gleich viel Beobachtungen bei linker und rechter Lage der Normaldistanz (L. und R.), wenn die Distanzen horizontal waren, oder bei oberer und unterer Lage (O. und U.), wenn sie vertikal waren, angestellt, wofür die Ergebnisse spezifiziert sind.

Es macht nach Kap. 8 einen gewissen Unterschied in dem absoluten Werte einer reinen Fehlersumme, ob sie aus Fraktionen oder aus der Totalität im Zusammenhange abgeleitet wird.
Nur die mikrometrische Reihe V ist mit vertikalen Distanzen, d. i. zwischen horizontalen Fäden, alle übrigen mit horizontalen Distanzen, d. i. zwischen vertikalen Fäden (wo Fäden angewendet wurden), angestellt.

Die Proportionalität mit den Distanzen kann man direkt an den einfachen Summen ΣΔ bewähren, ohne erst den mittleren Fehler daraus abzuleiten.

Die Fehlerquadratsummen können, wenn man will, zur Ableitung des quadratischen mittleren Fehlers dienen, wonach man sich von der Konstanz und dem Statthaben des Normalverhältnisses so weit es die Zufälligkeiten zulassen, überzeugen kann, welche Untersuchung ich jedoch hier übergehe. Eben so können sie dienen, zu beweisen, was leicht aus dem vorigen Verhältnisse zu folgern ist, und anderwärts ausführlicher von mir betrachtet wird, daß die Summe der Fehlerquadrate Σ (Δ ²), dividiert mit dem Quadrate der Fehlersumme (ΣΔ) ² und multipliziert mit der doppelten Zahl der Beobachtungen, also hier mit 2 μm, approximativ die Ludolf'sche Zahl π gibt. Nur daß die Beobachtungen der Reihe I und II bei der kleinsten Distanz wegen eines hier zu übergehenden Umstandes nicht wohl dazu taugen. Indes gehen uns diese Verhältnisse hier nicht näher an.

Alle Reihen, die hier angeführt werden, führten mehr oder weniger konstante Fehler mit, deren Angabe an diesem Orte kein Interesse hat, aber in meinen "Maßmethoden" stattfinden wird.

Reihe I Fechner (9. Dez. 1856 bis 17. Jan. 1857).

5 horizontale Distanzen, durch die wenig vorragenden (Nähnadel-) Spitzchen zweier übrigens verdeckter, von mir neben einander auf dem Tische liegender, Zirkel bestimmt, und aus deutlichster Sehweite von ungefähr 1 par. Fuß betrachtet. Distanzbestimmung mittelst eines Maßstabes mit Transversalen, der Zehnteile einer, hier die Einheit bildenden, halben par. Dezimallinie (die selbst gleich 0,72 Duodezimallinie) gibt. Die Bedeckung der Zirkel geschah, um den Einfluß des Winkels bei der Schätzung auszuschließen. Doch behält das Verfahren den kleinen Mangel, daß die vor der Decke vorragenden Zirkelspitzchen bei größeren Distanzen schiefer stehen, als bei kleineren, ein Mangel, der bei den folgenden Versuchsreihen durch die Anwendung paralleler Fäden vermieden ist. Es scheint aber dieser Mangel einen wesentlichen Einfluß vielmehr nur auf die konstanten Fehler, als den reinen variabeln Fehler geäußert zu haben, der sich, wie die folgende Tabelle zeigt, den Distanzen sehr genau proportional verhielt.

Um keinen Zweifel an der Deutung der Zahlen dieser Tabelle zu lassen, gebe ich die der ersten besonders an, wonach man alle übrigen leicht wird deuten können.

Bei der Distanz D = 10, welche nach Vorigem 10 halbe paris. Dezimallinien, = 3,6 duod. Linien betrug, wurde bei der Lage der Normaldistanz zur Linken (L.) eine reine Fehlersumme ΣΔ = 20,27 erhalten; d. h., wenn man alle (L.) bei D = 10 erhaltenen positiven und negativen der Summe nach gleichen reinen Fehler nach absolutem Werte zusammenrechnet, so kommt die Summe von 20,27 halben par. Dezimallinien heraus. Die Angabe m = 60, μ = 2 über der Tabelle bedeutet dann, daß diese Fehlersumme, eben so wie alle anderen in den Kolumnen L., R., sich aus 2 ^. 60 = 120 Einzelfehlern zusammensetzt; daß aber jede solche Fehlersumme nicht im Zusammenhange aus den 120 Beobachtungen abgeleitet ist, sondern aus zwei Fraktionen à 60 Beobachtungen besonders; für deren jede die mittlere Fehldistanz und hiergegen die reinen Fehler besonders bestimmt wurden.

m = 60, μ = 2. Einheit ½ par. Dezimallinie.

Reihe II Volkmann (22. März bis 1. April 1857).

8 horizontale Distanzen, bestimmt durch drei parallele, mittelst Gewichten gespannte, und an einem dagegen senkrechten, horizontalen Maßstabe verschiebbare weiße, gegen einen schwarzen Hintergrund betrachtete, Fäden von 220 Mill. Länge in 800 Mill. Abstand des Auges. Der Maßstab gibt direkt Millimeter, wozwischen geschätzt wird.

Ich gebe die Summen ΣΔ hier nach doppelter Berechnung, für m = 48, μ= 1, und m = 16, μ= 3, was Gelegenheit gibt, sich von dem hieran hängenden Unterschiede zu überzeugen (vgl. Kap. 8).

1) m = 48, μ= 1 . Einheit 1 Millimeter.

2) m = 16, μ = 3. Einheit 1 Millimeter.

Man sieht, daß der Unterschied beider Berechnungsweisen bei den meisten Werten sehr gering, bei D = 40 R. und D = 1 60 R. aber sehr bedeutend ist, was mit einer im Detail der Reihe nachweislichen starken Variation konstanter Fehler zusammenhängt, die hier stattgefunden hatte.Daß einige Werte der Tabelle 1 ein wenig kleiner sind als der Tabelle 2, hängt an besonderer Verteilungsweise der Fehler. Da diese Variation sich durch die Fraktionierung besser eliminiert, so verdient die Berechnung 2) vor 1) den Vorzug.

Dies ist eine spätere Wiederholung der vorigen Reihe unter gleichen Umständen, bloß mit Weglassung der beiden kleinsten Distanzen.

m == 16, μ Millimeter.

Nicht ohne Interesse wird man in vorigen Reihen die große Übereinstimmung zwischen L. und R. in den vertikalen Schlußsummenspalten erblicken; ein Beweis, daß die reinen variabeln Fehler von der Lage L. und R. unabhängig sind, indes die konstanten Fehler, die hier nicht mit angeführt sind, sich sehr davon abhängig zeigten, und große Verschiedenheiten in die rohen Fehlersummen L. und R. brachten.

Die drei Reihen zeigen übereinstimmend die Proportionalität von ΣΔ mit den Distanzen, welches sich am leichtesten übersieht, wenn man die Summen mit den Distanzen dividiert, wo jede Reihe eine merkliche Konstanz der Quotienten zeigt. Man erhält so aus den Summen für L. und R. (in der zweiten Reihe nach m =16, v = 3) folgende Werte für

in

Um den Durchschnittsfehler zu gewinnen, den man für die Einheit der Distanz bei einer Beobachtung begeht, oder den Bruchteil der Distanz, welchen der Fehler durchschnittlich bei einer Beobachtung bildet, kann man das Mittel aus vorigen Werten für jede Reihe mit der Zahl der Beobachtungen dividieren, die zu einem Werte beigetragen haben, wozu man das Produkt aus dem m und μüber den Beobachtungstabellen doppelt zu nehmen hat, da das μdaselbst für L. und R. besonders gilt, hier aber beide zusammengefaßt sind. Da indes die größeren Fehlersummen bei größeren Distanzen genauere Werte versprechen, als bei kleineren, wird man genauer verfahren,Die Methode der kleinsten Quadrate gibt eine prinzipiell noch etwas genauere, aber umständlichere Bestimmungsmethode an die Hand, deren Resultat aber so wenig von dem obigen abweicht, daß es nicht der Mühe lohnt, darauf einzugehen. wenn man sämtliche Fehlersummen addiert, welche Addition sich schon in den vertikalen Schlußsummenspalten vorgenommen findet, die Summe derselben mit der Summe sämtlicher Distanzen dividiert, wodurch man die Fehlersumme für die Distanzeinheit erhält, und diese mit 2 μ m dividiert. So erhält man

I.

II. 1)

2)

III.

Hiernach schätze ich selbst durchschnittlich eine Distanz um ungefähr ¹/ ₆₀

Man sieht, daß die Genauigkeit der Schätzung bei Volkmann erheblich größer war, als bei mir. Dies kann entweder daran gelegen haben, daß die Abstände zwischen drei parallelen Fäden sich leichter vergleichen lassen mögen, als zwischen den Spitzen zweier neben einander liegender Zirkel, oder an einer wirklich größeren Schärfe des Augenmaßes als bei mir, welche in der Tat stattzufinden scheint, oder an beidem zusammen; was zu entscheiden weitere vergleichende Versuche erfordert haben würde. Und unstreitig wird eine ausgedehntere Untersuchung über Extreme und Mittelwerte der Schärfe für eine größere Anzahl Individuen und für verschiedene Umstände der Beobachtung, je nachdem man den seitlichen Faden, wie bei Volkmann's Versuchen geschehen, oder den Mittelfaden verschiebt, je nachdem man bloß ein oder beide Augen bei der Beobachtung verwendet, je nachdem man vertikale, horizontale oder Winkel-Distanzen zwischen Punkten, zwischen Linien, und der Größe nach kreisförmige, quadratische Umringe und Flächen u. s. w. dem Versuche unterwirft, ein nicht geringes Interesse darbieten; wobei überall auf die Größe und Art der konstanten Fehler sorgfältig mit Rücksicht zu nehmen. Hier jedoch galt es bloß, den Gegenstand in Bezug auf das Gesetz, was uns jetzt beschäftigt, zu verfolgen.

Wenn die zweite Beobachtungsreihe Volkmann's einen nicht unerheblich geringeren Durchschnittsfehler, und mithin größere Präzision als die erste ergeben hat, so kann der Unterschied auf einen Erfolg der Übung geschrieben werden; da zwischen der l. und 2. Reihe gar manche Reihen Augenmaßversuche, u. a. alle folgends anzuführenden mikrometrischen, gelegen haben, obschon sich in der fraktionsweisen Behandlung der 1. Reihe für sich ein solcher Fortschritt nicht gezeigt hat, wie die Sonderuntersuchung der Fraktionen ergibt.

Vielleicht kann man es von Interesse finden, daß der Durchschnittsfehler Volkmann's für die extensive Seite der Gesichtsempfindung merklich mit dem eben merklichen Unterschiede der intensiven Seite bei ihm übereinstimmt; doch kann man in einer solchen Übereinstimmung nichts Allgemeingültiges sehen.

Ich habe die Zahlen ¹/ ₆₀, ¹/ ₉₀, ¹/ ₁₀₀ im Rohen angegeben, indem die vorher angegebenen genauer erscheinenden Zahlen ¹/ _62,5 u. s. f. selbst noch nicht als genau und als ganz vergleichbar gelten können, weil ein verschiedenes m bei ihrer Ableitung untergelegen hat, und dieses m überall ein endliches ist. Nach der Bemerkung (Kap. 8) aber erhält man um so kleinere Fehlersummen und mithin mittlere Fehler, aus einem je kleineren m man die Ableitung vornimmt. Den Beleg dazu gibt Reihe II, wo man nach 1) 0,01187 oder , nach 2) 0,010808 = als mittleren Fehler für die Distanzeinheit erhält. Beiden Bestimmungen liegen dieselben Beobachtungen unter, die aber bei 1) in Fraktionen von m = 48, bei 2) in Fraktionen von m = 16 Beobachtungen geteilt waren, aus welchen die Ableitung erfolgte. Man sieht, der Unterschied im Ergebnisse ist nicht bedeutend, aber immerhin vorhanden und zu berücksichtigen.

Um nun sämtliche Werte auf den Normalfall zurückzuführen, daß der Beobachtungen unendlich viele wären, hat man nach der Korrektionsformel, die ich (s. Kap. 8) kurz angegeben, und in meinen "Maßmethoden" theoretisch begründen werde, jeden der vorhin erhaltenen Werte mit zu multiplizieren, wodurch man, da m respektiv 60, 48, 16, 16 ist, erhält:

I.

II. 1)

2)

III.

Sollte diese Korrektion vollkommen ausreichen, so müßten bei Reihe II die Resultate l) und 2) dadurch zu vollkommener Übereinstimmung gebracht sein. In der Tat sieht man, daß sie sich so nahe kommen, daß man den Unterschied nicht mehr sehr beachtenswert finden wird, und geneigt sein könnte, ihn darauf zu schreiben, daß diese Korrektion keine absolut genaue und sichere, sondern nur eine auf Wahrscheinlichkeitsgesetzen fassende ist, welche nach Zufälligkeiten kleine Unterschiede übrig lassen kann. Jedoch ist der Unterschied in der Tat nicht zufällig, wie mich eine hinreichende Untersuchung anderer analoger Fälle gelehrt hat, indem er sich stets in derselben Richtung findetSollte man deshalb Mißtrauen in obige Korrektion setzen, so bemerke ich, daß die von allen Mathemati-kern und Astronomen akzeptierte Korrektion des quadratischen mittleren Fehlers, welche ich (s. Kap. 8) angab, dasselbe Ungenügen aus demselben Grunde zeigt, wie ich ebenfalls nach Erfahrungen hinreichend belegen kann und belegen werde und dies hängt, wie ich ebenfalls nachweisen kann und schon im 8. Kapitel kurz bemerkt habe, daran, daß unsere Korrektion die nie ganz fehlenden Variationen des konstanten Fehlers nicht mit trifft, welche bei größerem m den reinen variabeln Fehler verunreinigen. In dieser Hinsicht wird der korrigierte Wert bei m = 16 dem Werte bei m = 48 vorzuziehen sein.

Da der konstante Fehler bei meinen Beobachtungen in Reihe I keine beträchtliche Größe hatte, werden auch etwaige Variationen desselben das Resultat nicht sehr influiert haben, so daß man den korrigierten Wert als genau genug wird ansehen können. Auf eine ganz spezielle Untersuchung darüber bin ich nicht eingegangen.

Ich gehe jetzt über zur Darlegung der Resultate der mikrometrischen Reihen. Alle diese Reihen sind angestellt mit einem mikrometrischen Schraubenapparate, der durch Ablesungen am Schraubenkopfe Teile von 0,01 Millimeter gibt, wozwischen noch Zehnteile geschätzt worden, die in folgenden Tabellen die Einheit bilden, so daß also 0,001 Mill. folgends überall die Einheit ist, und z. B. eine Distanz gleich 300 eine wirkliche Distanz = 0,300 Millimeter, eine Fehlersumme gleich 265 eine solche gleich 0,265 Millimeter bedeutet. Wo noch Bruchteile vorkommen, die übrigens ziemlich müßig sind, sind sie durch Zurückführung der rohen Fehler auf reine entstanden.

Die Distanzen in diesem ApparateNäher beschrieben in den Berichten der sächs. Soc. 1858. p. 140. sind durch drei feine parallele Silberfäden von 0,445 Mill. Dicke und 11 Mill. Länge bestimmt, welche bei verschiedenen Sehweiten, die überall in ganzen Millimetern angegeben werden, gegen den Milchglasschirm einer Lampe oder den hellen Himmel betrachtet wurden.

In den Volkmann'schen Reihen findet man die Werte bei den allerkleinsten Distanzen eingeklammert, als solche, die aus dem Gesetze der Reihe heraustreten, daher bei der nachfolgenden Berechnung nicht mit in Rücksicht gezogen sind. Der Grund dieser Abweichung lag darin, daß die Irradiation sich hier so stark geltend machte, und die Fäden so nahe dem Verfließen kamen, daß Volkmann auch während der Versuche selbst die gegen die übrigen Distanzen unvergleichbare Unsicherheit der Schätzung empfand. Bei Appel's sehr scharfen und mit Irradiation sehr wenig behafteten Augen hat sich ein solcher Ausschluß nicht als nötig dargestellt.

Außer den hier mitgeteilten mikrometrischen Reihen liegen noch zwei dergleichen vor, die ich übergehe, weil sie mit zu wenigen und einander zu nahe liegenden Distanzen angestellt waren, und in sich zu discordante Werte enthalten.

Reihe IV. Volkmann (22. März bis 1. April 1857).

7 horizontale Distanzen. Sehweite 333 Mill.

m =30, μ = 4.

Reihe V. Volkmann (April bis im Juni 1857).

6 vertikale Distanzen. Sehweite 333 Mill. Diese Versuche mit vertikalen Distanzen sind mit der Brille angestellt, da bei der hier schwierigeren Schätzung sonst keine hinreichende Deutlichkeit stattfand, indes alle Versuche mit horizontalen Distanzen ohne Brille angestellt sind.

m = 96, μ = 1.

Reihe Vl. Appel (Mai und Juni 1857).

7 horizontale Distanzen. Sehweite 370 Mill.

m = 48, μ = 2.

Reihe VII. Appel (Oktober 1857).

6 horizontale Distanzen. Sehweite 300 Mill. Die Berechnung von ΣΔ folgt hier doppelt, für μ= 2 und μ = 6.

m = 33, μ = 2.

m = 11, μ = 6.

Überblickt man die Resultate dieser Reihen, wobei die eingeklammerten Werte aus angegebenem Grunde ein- für allemal außer Beachtung fallen mögen, so sieht man nicht nur zwischen den Reihen desselben Beobachters, sondern auch beider verschiedenen Beobachter den übereinstimmendsten Gang, d. h. ein Ansteigen der Fehlersummen mit den Distanzen, aber ein viel langsameres als in Proportion derselben, und auch die zwei hier übergangenen Reihen zeigen sich in diesem allgemeinen Resultate mit den übrigen ganz einstimmig. Wie bemerkt jedoch, kann man die Fehlersummen repräsentieren als Resultanten aus zwei Komponenten, deren eine konstant bei den verschiedenen Distanzen ist und unter dem Namen der Volkmann'schen Konstanten mit V bezeichnet werden soll, indes die andere den Distanzen proportional ist, und unter dem Namen der Weber'schen Variable für die Einheit der Distanz mit W bezeichnet werden soll, wonach W noch mit der Distanz D zu multiplizieren ist, um für jede Distanz den derselben proportionalen Wert WD zu geben.

Die Zusammensetzung der reinen Fehlersumme ΣΔ für jede gegebene Distanz aus beiden Komponenten V und WD ist jedoch nach der Theorie, wie sich die Wirkungen von Fehlerquellen kombinieren, nicht durch eine einfache Addition beider Komponenten zu repräsentieren, d. h. man kann nicht setzen

(ΣΔ) ² = V ² + (WD) ²

mithin

Da das Quadrat einer Fehlersumme, d. i. (ΣΔ) ² nach der Fehlertheorie ein a priori bestimmbares Verhältnis zur Summe der Fehlerquadrate Σ (Δ ²) hat, so kann man statt der Quadrate der Fehlersummen Summen der Fehlerquadrate in vorigen Gleichungen substituieren. Das physiologische Interesse, auf das ich unten komme, dürfte sich aber mehr an erstere Form knüpfen, die ich daher zunächst dem Folgenden zu Grunde gelegt habe.

In der Tat läßt sich leicht theoretisch nachweisen und dazu durch Erfahrung bewähren, daß, wenn zwei von einander unabhängige Fehlerquellen gegeben sind, deren eine für sich eine Fehlersumme A, die andere eine Fehlersumme B erzeugt haben würde, aus ihrem Zusammentreffen nicht eine Fehlersumme A + B hervorgehen kann, sondern nur eine kleinere Fehlersumme, weil durchschnittlich eben so oft Fehler von entgegengesetztem Vorzeichen als von gleichem Vorzeichen aus beiden Ursachen zusammentreffen, aber nur letztere einen resultierenden Fehler gleich ihrer Summe, erstere einen solchen gleich ihrer Differenz geben; die Theorie der Fehler aber zeigt, daß die Summe der Fehlerquadrate der Komponenten normalerweise (d. i. streng für eine unendliche Zahl unter vergleichbaren Umständen gewonnener Fehler) gleich der Summe der resultierenden Fehlerquadrate, so wie, daß die Summe der Quadrate der einfachen Fehlersummen normalerweise dem Quadrate der resultierenden Fehlersumme gleich ist, und eine Bestätigung dieses Resultates der Theorie durch Erfahrung kann man leicht finden, wenn man die Fehler zweier von einander unabhängiger irgendwie gewonnener Fehlerreihen als Komponenten durch algebraische Addition zu resultierenden Fehlern zusammensetzt, wodurch man ein Äquivalent für das Zusammentreffen des Erfolges von einander unabhängiger Fehlerquellen erhält. In der Tat habe ich mich auf diese Weise von der Bestätigung des theoretischen Resultates sowohl bezüglich der Fehlerquadratsumme als des Quadrates der Fehlersumme durch mehrfache Proben überzeugt und werde anderwärts die Belege dazu geben.

Insofern nun für das Auge eine von den Distanzen unabhängige und eine von den Distanzen im angegebenen Sinne abhängige Fehlerquelle existieren sollte, wird auch das Vorige auf die davon abhängigen Komponenten Anwendung finden müssen, und werden die obigen Gleichungen dadurch begründet werden. Ob aber die Voraussetzung solcher Fehlerquellen triftig sei, wird aus den Beobachtungen selbst zu ermitteln sein, sofern sich im Falle der Triftigkeit derartige Werte V, W daraus berechnen lassen müssen, daß die Beobachtungswerte rückwärts wieder dadurch nach obigen Formeln repräsentiert werden können.

Zu solcher Berechnung von V, W reichen an sich die Beobachtungen bei zwei verschiedenen Distanzen aus. Nehmen wir in Reihe IV die Fehlersummen für D = 800 und D = 1400, respektiv 1541,5 und 2275,7, indem wir L. und R. zusammenfassen, so haben wir anzusetzen

V ² + 1400 ² W ² = 2275,7 ² hieraus sind V ² und W ² leicht als zwei durch zwei Gleichungen bestimmte Unbekannte zu finden, wonach eine Wurzelausziehung V und W selbst gibt.

Insofern Versuche bei mehr als zwei Distanzen zur Bestimmung zu Gebote stehen, kann man V und W aus mehreren derartigen Kombinationen berechnen, wo dann die Statthaftigkeit der Voraussetzung sich auch noch vor Rückwärtsberechnung der Fehlersummen nach V und W dadurch rechtfertigen muß, daß die Werte von V, W, welche man aus den verschiedenen Kombinationen erhält, nahe genug übereinstimmen, um die Abweichungen, welche übrig bleiben, auf unausgeglichene Zufälligkeiten der Beobachtung schreiben zu können. Durch Mittelziehung aus mehreren so bestimmten Werten kann man dann V und W genauer bestimmen.

Dieses Verfahren hat nur den Übelstand, daß die Wahl zwischen den Beobachtungswerten, welche man zu je zwei kombinieren will, willkürlich ist, und jede andere Kombinationsweise ein etwas anderes Definitivmittel finden läßt; obschon, wenn die Beobachtungen wirklich genau genug zur Voraussetzung stimmen, die Unterschiede des Definitivresultates hiernach so klein sind, daß ein Wert so gut als der andere gebraucht werden kann. Inzwischen bleibt jedenfalls die Berechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate vorzuziehen, welche alle Willkür ausschließt, und das genauest mögliche Resultat finden läßt, was überhaupt aus der Beobachtungsreihe abzuleiten ist. Sie hat mir nach den vereinigten Summen für L. und R. ohne Reduktion auf gleiches m und auf gleiche Sehweite, welche erst unten folgt, unmittelbar folgende Resultate gegeben,Dieselbe wurde so angewandt, daß die Gleichungen in der Form V ² + D ² W ² = (ΣΔ) ² angesetzt wurden, welche unmittelbar linear ist, sofern V ², W ² als Unbekannte gesucht werden. Aus den so erhaltenen Werten V ² , W ² sind dann V, W durch Wurzelausziehung abgeleitet. Die wahrscheinlichen Fehler von V, W sind nach den Abweichungen der berechneten von den gefundenen (ΣΔ) ² für V ² und W ² berechnet, und nach den Prinzipien der Fehlerrechnung durch Division respektiv mit 2V, 2 W auf die von V, W reduziert. wobei der wahrscheinliche Fehler der Bestimmung mit +/- beigefügt ist, und das μ das für die Zusammenfassung von L. und R. gültige, also doppelt so groß als das μ über den Beobachtungstabellen ist.

Werte von V und W für die unreduzierten Fehlersummen, nach der Gleichung V ² + D ² W ² = (ΣΔ) ².

Um nun hiernach zu entscheiden, ob sich unsere Voraussetzung der Volkmann'schen Konstante und Weber'schen Variable im angegebenen Sinne bestätigt, können wir zuvörderst auf die wahrscheinlichen Fehler ihrer Bestimmung achten, die sich im Allgemeinen verhältnismäßig zu den Werten von V, W sehr gering zeigen. Zweitens können wir nach den Werten von V, W in voriger Tabelle die den verschiedenen D's der Versuchstabellen zugehörigen Werte von (ΣΔ) ² oder ΣΔ berechnen, ersteres nach der Gleichung V ² + D ² W ² = (ΣΔ)², letzteres nach der Gleichung , und können das Resultat der Rechnung und Beobachtung vergleichen, wo sich eine sehr befriedigende Übereinstimmung zeigt. Ich gebe folgends die Zusammenstellung für (ΣΔ) ², wobei ich der Kürze halber die Anführung der Distanzen übergehe, die unter Ausschluß derer mit eingeklammerten Werten aus den Beobachtungstabellen suppliert werden können.

Zusammenstellung der beobachteten und der nach den Werten von V und W in voriger Tabelle berechneten Werte (ΣΔ) ².

Die Übereinstimmung zwischen Rechnung und Beobachtung ist mit Ausnahme von ein paar etwas stark abweichenden Werten der Reihe VII sehr befriedigend. Und hiernach darf man sagen, daß das Weber'sche Gesetz sich im Gebiete des Augenmaßes bis zu den kleinsten Distanzen bestätigt, nur daß es einer Komplikation unterliegt, die man erst auflösen muß, um es zu erkennen.

Es hat mir von Interesse geschienen, die Berechnung der Beobachtungen noch in einigen abgeänderten Weisen vorzunehmen, welche zu keinen wesentlich anderen Werten führen, als die vorigen, aber eben damit dienen können, zu zeigen, wie die mögliche Wahl zwischen diesen verschiedenen Berechnungsweisen keinen wesentlichen Unterschied im Resultate begründet. Diese verschiedenen Berechnungsweisen wurden auf die Reihe IV angewandt.

1) Statt wie oben L. und R. vereinigt zu berechnen, habe ich beide getrennt, übrigens nach gleicher Form berechnet; so erhielt ich

2) Vielleicht halt man prinzipiell den Ansatz der Gleichung

für die Berechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate triftiger als den oben zu Grunde gelegten, da nicht (ΣΔ) ², sondern ΣΔ unmittelbar beobachtet ist. Aber hierdurch verliert die Gleichung ihre lineare Form, und man muß mit Korrektionen rechnen, was, wie der Sachverständige leicht finden wird, zu großer Weitläufigkeit führt. Inzwischen habe ich für die Reihe IV diese Rechnung für L. und R. besonders ausgeführt, was gegeben hat

Diese Werte unterscheiden sich nur ganz unerheblich von den unter 1) gefundenen, und es würde nicht der Mühe lohnen, sich an den umständlicheren Weg zu halten.

3) Anstatt das Quadrat der Fehlersumme (ΣΔ) ² habe ich die Summe der Fehlerquadrate Σ (Δ ²) zur Berechnung der Konstanten V', W'nach der Gleichung V'² + D'² W' ² = Σ(Δ ²) zu Grunde gelegt. So erhielt ich für L. und besonders

Nun ist nach der Fehlertheorie Σ (Δ ²) mit (ΣΔ)² durch die Gleichung

verknüpft, wo π die Ludolf'sche Zahl, was approximativ auf die vorigen Werte von V und W zurückführt.

Auch für die Reihe VI und VII habe ich die Rechnung nach dem zuerst (unter 1) gebrauchten Ansatze für L. und R. besonders vorgenommen. Ich erhielt für VI

für VII

Die Tabelle der Werte V, W, welche wir oben gegeben haben, gibt dieselben für die Fehlersummen, welche bei jeder Fehlerreihe in Spezie erhalten wurden, und hiemit proportional diesen Summen. Da aber den verschiedenen Reihen eine verschiedene Fehlerzahl für jede Distanz unterliegt, welche durch das Produkt μ m derselben Tabelle gegeben ist, so müssen die Werte der verschiedenen Reihen, um mit einander vergleichbar zu werden, mit ihrer Fehlerzahl, respektiv 120, 192, 192, 132 dividiert werden, wodurch man die Werte V, W so erhält, wie sie im Durchschnitte für 1 Beobachtung ausfallen. Weiter ist in Rücksicht zu ziehen, daß, da ein verschiedenes m bei den Beobachtungen stattfand, wegen der Endlichkeit des m noch die Korrektion durch Multiplikation mit anzubringen ist, welche übrigens nur sehr gering ist; endlich ist zu berücksichtigen, daß die Sehweite, aus welcher die Distanzen aufgefaßt wurden, nicht überall dieselbe war, welches zwar auf den Wert W keinen Einfluß haben kann, sofern die in größerem Abstande kleiner erscheinenden Distanzen doch immer denselben Verhältnisfehler W geben werden, wohl aber den Fehler V beteiligen muß, welcher eine für alle Distanzen gleiche absolute Fehlergröße ist, die, um bei Gewinnung aus verschiedener Sehweite vergleichbar zu werden, nach reziprokem Verhältnisse der jedesmal stattfindenden Sehweite auf dieselbe Sehweite reduziert werden muß; wobei aber jedem, in Bezug zur Hornhaut gemessenen, Augenabstande 7 Mill. als Abstand des Kreuzungspunktes der Richtungslinien von der Hornhaut zuzufügen, so daß z. B. für die Sehweite 333 Mill. in der Reihe IV. 340 Mill. bei der Reduktion zu nehmen ist, u. s. f.

Nimmt man diese drei Reduktionen oder respektiv Korrektionen vor, indem man alle Werte auf den Fall einer einzigen Beobachtung als Mittel aus unendlich vielen Beobachtungen bei 333 + 7 Mill.Weite reduziert, so erhält man statt der Werte der obigen Tabelle folgende.

Korrigierte und reduzierte Werte von V und W für einen Fehler bei 340 Mill. Abst. vom Kreuzungspunkte der Sehstrahlen.

Reihe.	V	W
IV. Volkm.	8,210	0,01265 =
V. Volkm. (vert.)	7,319	0,02220 =
VI. Appel	5,5331	0,00608 =
VII. Appel	8,5476	0,01172 =

Die Werte dieser Tabelle zeigen manches Interessante und manches Auffällige. Der Wert der Volkmann'schen Reihe IV mit mikrometrischen horizontalen Distanzen zeigt sich nicht sehr stark abweichend von dem kurz vorher von Volkmann an sehr viel größeren Distanzen erhaltenen Werte der Reihe II, welcher nichts anderes als ein Wert W ist, abgeleitet aus einer Reihe, wo die Komplikation mit V verschwindet. Der Unterschied, der zwischen beiden Werten noch besteht, kann sehr wohl auf die ausnehmend verschiedenen Versuchsumstände geschrieben werden.

Hiergegen besteht zwischen der mikrometrischen Reihe IV mit horizontalen Distanzen (zwischen vertikalen Fäden) und der mikrometrischen Reihe V mit vertikalen Distanzen (zwischen horizontalen Fäden) der auffälligste Unterschied im Werte von W, ungeachtet beide nicht sehr in der Zeit auseinander liegen, indem W bei vertikalen Distanzen fast noch einmal so groß ist, als bei horizontalen; also die Schätzung bei ersteren viel ungenauer, welches auch bei den Versuchen selbst unmittelbar empfunden wurde. Auch die, hier nicht mit aufgeführten, konstanten Fehler waren bei den vertikalen Distanzen viel größer als bei den horizontalen. Die Appel'schen Werte W in den beiden BeobachtungsreihenVI und VII für horizontale Distanzen weichen so weit von einander ab, und der Wert bei VI ist so klein, daß er Mißtrauen erweckt. In den Beobachtungen selbst aber findet sich nichts, was das Mißtrauen bestimmt begründet, oder den Unterschied erklärt. Der Wert in der Reihe VII stimmt sehr nahe mit dem Volkmann'schen überein; ohne daß eine Kenntnis der Volkmann'schen Ergebnisse obgewaltet und etwa zur Übereinstimmung mitgewirkt hat. Ein ganz besonderes Interesse nimmt die Volkmann'sche Konstante V in Anspruch. Abgesehen von der etwas stärker abweichenden Appel'schen Reihe VI, welche auch bezüglich W etwas Verdächtiges hat, stimmen die drei anderen Werte von V für zwei ganz verschiedene Beobachter, für vertikale und horizontale Distanzen so nahe überein, daß man vermuten kann, es liege hier eine in der Natur überhaupt begründete absolute Konstante vor; denn der Unterschied von 7,319 und 8,210 zwischen V bei horizontalen und bei vertikalen Distanzen ist nicht größer, als daß er nach Zufälligkeiten der Beobachtung und mit Rücksicht, daß die Komplikation der Größe V mit dem konstanten Fehler und mit W in den rohen FehlernDie rohen Fehler δ setzen sich aus dem reinen variabeln Fehler Δ und dem konstanten Fehler c als Komponenten zusammen, und V und W sind wieder Komponenten des reinen variabeln Fehlers Δ. eine genaue Ausscheidung desselben erschwert, wohl noch als zufällig gelten kann. Der Appel'sche Wert 8,546 stimmt überraschend mit dem Volkmann'schen 8,210. Eine vollkommene Sicherstellung der Konstanz dieser Größe bei verschiedenen Individuen und unter verschiedenen Beobachtungsumständen würde freilich eine noch größere Vervielfältigung und weitere Ausdehnung der Versuche fordern, als für jetzt vorliegen.

Es fragt sich, was für eine Bedeutung diese Größe haben kann. Ich will in Erwartung der künftigen eigenen Darstellung, welche Volkmann von seiner Untersuchung geben wird, den Gesichtspunkt hier kurz angeben, der Volkmann von vorn herein das Dasein einer solchen Konstante vermuten ließ, und bei Anstellung seiner mühsamen Versuche leitete. Denn in der Tat war das Dasein derselben ein im Voraus vermutetes, wenn schon noch fraglich geblieben ist, ob das, was gefunden worden ist, wirklich eben das ist, was vermutet worden ist.

Wenn die Weber'sche Ansicht richtig ist, daß die Größe einer Distanz nach der Anzahl Netzhautelemente geschätzt wird, die sie zwischen sich faßt, so muß eine Linie oder Distanz auf der Netzhaut gleich groß erscheinen, mögen ihre Enden die einander nächsten oder entferntesten Punkte zweier Netzhautelemente treffen, und eine kleinere Linie demnach unter Umständen gleich groß erscheinen, als eine größere; so bei den, durch folgendes Schema ausgedrückten, Fällen; wo die Kreise die als kreisförmig gedachten sensibeln Netzhautelemente vorstellen,

welches Schema leicht übersehen läßt, daß man eine Linie oder Distanz, welche um merklich zwei Diameter eines Netzhautelementes größer oder kleiner als eine andere ist, doch unter Umständen für ebenso groß halten kann, ein Irrtum, der bei größeren Linien oder Distanzen, welche viele Netzhautelemente in sich begreifen, allerdings zu vernachlässigen ist, nicht so aber bei mikrometrischen Linien und Distanzen. Bei mikrometrischen Versuchen nach der Methode der mittleren Fehler muß also hiervon ein spürbarer Irrtum in der Gleichschätzung der Distanzen abhängen; die Größe des hiervon abhängigen mittleren Fehlers muß eine Beziehung zu dem Durchmesser der Netzhautelemente haben; die Volkmann'sche Konstante könnte diesen mittleren Fehler repräsentieren, und hiernach einen Schluß auf die Dimensionen der Netzhautelemente gestatten, wenn das Abhängigkeitsverhältnis zwischen beiden bekannt wäre.

Um nun die Frage genauer zu untersuchen, ob dieser mittlere Fehler durch die Volkmann'sche Konstante repräsentiert werden kann, galt es, 1) die Größenbeziehung zu ermitteln, welche der aus dem angegebenen Umstande fließende mittlere Fehler zu dem Durchmesser eines Netzhautelementes haben muß; 2) zu untersuchen, ob derselbe auch wirklich für die verschiedenen Normaldistanzen genau oder hinreichend approximativ konstant sein kann, um eine Konstante, als was sich V dargestellt hat, damit identifizieren zu können, 3) ob die Größe dieser Konstante mit Rücksicht auf jene Beziehung hinreichend zu den anatomisch ermittelten Dimensionen der Netzhautelemente stimmt.

Die erste und zweite Frage sind an sich Sache der Wahrscheinlichkeitsrechnung, und das Prinzip der Berechnung zwar sehr wohl anzugeben, die Ausführung aber selbst für geübte Mathematiker zu schwierig.Abgesehen von meinem eigenen Urteile kann ich mich in dieser Hinsicht auf das Urteil von Prof. Möbius berufen Man kann jedoch durch einen Versuchsweg supplieren, welcher die Verhältnisse, die im Auge voraussetzlich stattfinden, außerhalb herstellt, und welchen Volkmann eingeschlagen hat. Die dritte Frage leidet an der Schwierigkeit, daß die letzten perzipierenden Netzhautelemente vielleicht noch nicht genau bekannt sind. Ich gehe aber über diesen ganzen Gegenstand hier in keine weiteren Erörterungen ein, um der eigenen Mitteilung Volkmann's, dessen Eigentum diese Untersuchung ist, nicht zu weit vorzugreifen. Das Vorige dürfte hingereicht haben, das Interesse auf die betreffende Konstante zu lenken.

Zum Abschlusse der vorigen Betrachtung über die Volkmann'sche Konstante möge nur noch die Berechnung erwähnt werden, mittelst deren die bei den Versuchen beobachtete Größe derselben auf diejenige zurückzuführen ist, welche sie auf der Netzhaut selbst repräsentiert, eine Reduktion, die natürlich nötig ist, wenn man die Frage ihrer Beziehung zur Größe der Netzhautelemente untersuchen will.

Nach der Tabelle (Pkt. V) betrug die Volkmann'sche Konstante bei einer Sehweite = 340 Millim., diese bezüglich des Kreuzungspunktes der Richtungslinien gerechnet, 8,210 d. i. 0,008210 Millim., sofern die Einheit, in der alle Resultate der mikrometrischen Versuche ausgedrückt sind, 0,001 Mill. ist. Nimmt man nun den Abstand des Kreuzungspunktes der Richtungslinien von der Netzhaut in runder Zahl zu 15 Mill. an, so verhält sich die Größe, welche V auf der Netzhaut repräsentiert, zu dem Beobachtungs-V wie 15 : 340, d. i. die Konstante V in der angegebenen Reihe repräsentiert auf der Netzhaut eine Größe = 0,0003621 Mill. Dies unter Voraussetzung, daß die Lineargröße, welche das Bild einer gesehenen Strecke auf der Netzhaut einnimmt, durch die Strecke der Netzhaut gegeben ist, welche die von den Grenzen der äußeren Strecke durch den Kreuzungspunkt der Richtungslinien gezogenen Strahlen zwischen sich fassen. So ist die gewöhnliche Rechnung.

Es fragt sich freilich, – eine Bemerkung, die ich E. H. Weber verdanke, – ob der Kreuzungspunkt der Richtungslinien hierbei bestimmend ist. Im Allgemeinen messen wir Distanzen mit Hilfe der Augenbewegung, indem wir die Augenachse von einem Grenzpunkte zum anderen führen, und hiernach scheint vielmehr der Drehpunkt des Auges als der anzunehmen, durch welchen die Strahlen von den Grenzen der äußeren Strecke gezogen werden müssen, um die Strecke, welche das Bild derselben auf der Netzhaut einnimmt, zu bestimmen. Dieser aber liegtNach Volkmann in Wagner's Wörterb. Art. Sehen. S. 234. 5,6 Lin. = 14,224 Mill. hinter dem vordersten Punkte der Hornhaut, das wäre 7,778 Mill. vor der Netzhaut, wodurch sich die vorhin berechnete Größe ungefähr auf die Hälfte reduzieren würde. Ich muß die Entscheidung dieser Frage meinerseits dahinstellen.

Man könnte daran denken, die Volkmann'sche Konstante hinge davon ab, daß bei Schätzung der Teilung ein Fehler begangen werde, der natürlich nicht von der Größe der beobachteten Distanz abhängen könne, und daher einen bei allen Distanzen konstanten Mittelfehler gebe. Aber unser V ist hierzu viel zu groß, denn die direkte Ablesung an der Mikrometerschraube gab 0,01 oder 10 Tausendtel Mill.; V aber betrug im Mittel ungefähr 8 Tausendstel Mill. Um so viel kann im Mittel bei Weitem nicht durch die Schätzung geirrt werden. Unstreitig aber hat die Volkmann'sche Konstante einen kleinen Zuwachs durch diese Quelle erhalten.

Sollte sie wirklich in der Hauptsache einen festen organischen Grund im Auge haben, so zeigte sich uns hier im Gebiete der extensiven Lichtempfindung eine bemerkenswerte Analogie zu dem, was wir im Gebiete der intensiven gefunden haben, sofern auch hier das Weber'sche Gesetz sich nur insofern bestätigt, als wir auf eine durch innere organische Gründe der äußeren veränderlichen Einwirkung hinzugefügte konstante Größe mit Rücksicht nehmen.

Vor Anwendung der Methode der mittleren Fehler habe ich auch einige Versuche nach der Methode der eben merklichen Unterschiede über das Distanzmaß mit dem Auge angestellt, die ich, obwohl sie durch die genaueren und sicheren nach jener Methode eigentlich antiquiert sind, hier nur deshalb mit anführen will, weil sonst keine bestimmten nach dieser Methode darüber vorliegen.

Nach einigen vorläufigen Versuchen über die Schärfe meines Augenmaßes wurde einem Zirkel eine Spannweite von l par. Duod. Zoll, einem anderen von 1 plus ¹/ ₄₀ Zoll gegeben, und die Zirkel so verwechselt, daß ich nicht wußte, welcher der weitergestellte war. Nun suchte ich mittelst des bloßen Augenmaßes zu entdecken, welcher der weitere war. Ich entschied mich jedesmal richtig, aber erst nach längerer Prüfung für den weiteren. Die Zirkel wurden hierbei neben einander in deutlichster Sehweite vor dem Auge gehalten, so daß die zu vergleichenden Distanzen den Zirkelspitzen in derselben horizontal waren. Ganz dieselbe schwierige aber definitiv richtige Entscheidung fällte ich aber auch, nachdem die Spannweite samt der Differenz einmal verdoppelt, das anderemal vervierfacht war, so daß letzten Falles die Spannweite des einen Zirkels 4,0, die des anderen 4,1 Zoll betrug. Diese kleine Reihe von drei Versuchen ist von mir dreimal mit gleichem Erfolge wiederholt worden, zweimal an einem Tage, einmal am Tage darauf. Auch machte es im Gefühle der Differenz der Spannweite keinen Unterschied, ob ich die Zirkel in größerer oder kleinerer Entfernung von den Augen hielt, nur daß die Accommodationsgrenzen des Auges nicht überschritten wurden. Wahrscheinlich würde ich noch etwas feiner als ¹/ ₄₀ jedesmal richtig unterschieden haben. Aber ich habe schon bemerkt, daß, wenn man die Grenze des eben Merklichen nicht ein wenig hoch nimmt, man in die bei zahlreichen Beobachtungen allerdings genauere, aber langwierige und bei wenig Versuchen unsichere Methode der richtigen und falschen Fälle hineingerät. Der Unterschied war doch klein genug, daß, wenn ich ihn halbierte, keine zuverlässige Entscheidung mehr stattfand, und erforderte mit meinem damals übrigens noch ungeübten Auge große Aufmerksamkeit, um erkannt zu werden.

So gut sich auch das Weber'sche Gesetz im Gebiete des Augenmaßes bestätigt hat, so muß man doch die Frage aufwerten, was diese Bestätigung eigentlich für die extensiven Empfindungen bedeutet. Im Sinne der Weber'schen Ansicht über die Vermittelung der Größe der extensiven Empfindung wäre die Fundamentalfrage, die wir bezüglich der Bedeutung des Weber'schen Gesetzes in diesem Felde beantwortet wissen möchten, die, ob Unterschiede räumlicher Distanzen gleich groß oder gleich merklich erscheinen, wenn die Zahlen der in den Distanzen begriffenen Empfindungskreise sich verhältnismäßig um gleich viel unterscheiden, und ob demgemäß die Größe des Reizes bei intensiven Empfindungen durch die Zahl tätiger Empfindungskreise bei extensiven für unser Gesetz vertreten werden könne. Aber hierüber geben alle angeführten Versuche über das Augenmaß keinen Aufschluß, da sie nach der natürlichen Gebrauchsweise unseres Auges alle unter dem Einflusse der Bewegung des Auges ausgeführt sind, wobei die kleineren und größeren Distanzen nicht nach der verschiedenen Zahl Empfindungskreise, die sie in sich gefaßt haben, verglichen worden sind, sondern nach dem Umstande, daß derselbe Punkt deutlichsten Sehens durch eine größere oder kleinere Strecke geführt worden ist. Ja bei der, vom Achsenpunkte der Netzhaut an abnehmenden, Dichtigkeit der Nervenverteilung würde man nicht einmal die direkte Bestätigung des Gesetzes durch unsere Versuche haben erwarten dürfen, wenn sie nicht mit Bewegung ausgeführt worden.

Hiernach könnte man vermuten, daß unsere Bestätigung eher auf das, bei der Bewegung tätige, Muskelgefühl, insofern dieses die Distanzschätzung mit vermitteln hilft, als die Zahl der Empfindungskreise, welche von der geschätzten Distanz befaßt werden, zu beziehen sei, und auch in dieser Beziehung, sollte sie sich wirklich begründen lassen, würde die für das Gesetz gewonnene Bewährung immer wichtig bleiben; aber jedenfalls bleibt die obige Grundfrage damit unerledigt, und auch die Beziehung auf das Muskelgefühl unterliegt Schwierigkeiten, worauf ich für jetzt nicht näher eingehen will.

Es bietet sich nun der Weg dar, die Beantwortung jener Frage an der Haut zu versuchen, deren Analogie mit dem Gesichtsorgane in Betreff der Auffassung extensiver Größen von E. H. Weber so gut hervorgehoben worden ist, und wo man mit dem Einflusse der Bewegung nichts zu tun hat. Nur daß man auch hier nirgends auf eine gleichförmige Nervenverteilung zu rechnen hat. Indes schien es doch nützlich, zu sehen, wie sich die Erfolge in dieser Hinsicht auf verschiedenen Hautstellen stellen, und es sind demgemäße Versuche von mir selbst an der Stirn, welche wegen ihrer großen glatten Fläche mit harter Unterlage das günstigste Beobachtungsfeld darzubieten scheint, von Volkmann am Vordergliede des linken Mittelfingers und am Handrücken nach der Methode der mittleren Fehler angestellt worden. Das übereinstimmende Resultat dieser Versuche aber ist, daß keine auch nur approximative Proportionalität der reinen Fehler mit den Distanzen stattfindet, sondern im Allgemeinen nehmen sie viel langsamer, und über gewisse Grenzen hinaus oder in größeren Intervallen gar nicht mit den Distanzen zu, so daß auch nicht etwa daran zu denken ist, daß sie nach Analogie dessen, was bei den mikrometrischen Augenmaßversuchen gefunden war, durch Zusammensetzung aus einer den Distanzen proportionalen und einer bezüglich der Distanzen konstanten Komponente repräsentiert werden können. Wonach diese Versuche, wenn sie auch wegen der Ungleichförmigkeit der Nervenverteilung nicht als scharf bezüglich der Untersuchung unserer Frage gelten können, doch nicht die geringste Wahrscheinlichkeit für das Bestehen des Gesetzes in diesem Gebiete übrig lassen, wenn man es auf diesem Wege sucht.

Inzwischen entsteht die neue Frage, ob man es im Gebiete der extensiven Empfindungen wirklich auf diesem Wege zu suchen habe; was freilich für den ersten Anblick selbstverständlich scheint, wenn man eine analoge Geltung des Gesetzes im Gebiete der extensiven als intensiven Empfindungen verlangt, sofern es in letzterem auf diesem Wege gefunden ist. Aber man muß nicht übersehen, daß die Distanzen, die wir im Auge und auf der Haut bestimmen, bloß in dem gegebenen Gesichts- und Tastfelde abgegrenzte sind, und der Ausdehnung dieses Feldes hierdurch nichts zuwächst, wogegen der intensive Lichtreiz nicht bloß Grenzen in einer vorgegebenen Intensität bestimmt, sondern eine vorher nicht vorhandene Intensität der Reizung erst erzeugt, was die Verhältnisse anders stellt. In einem Kapitel des folgenden Teiles, wo ich mit einigen Bemerkungen auf die extensiven Empfindungen insbesondere zurückkomme, werde ich auch auf diesen Punkt zurückkommen; die Versuchsreihen aber, auf denen das oben ausgesprochene negative Resultat beruht, werde ich in den "Maßmethoden" mitteilen.

6) Fortune physique et morale.

Man kann das Weber'sche Gesetz noch in ein allgemeineres Gebiet hinein verfolgen. Die physischen Güter, die wir besitzen (fortune physique), haben keinen Wert und keine Bedeutung für uns als tote Massen, sondern nur, sofern es äußere Mittel sind, eine Summe wertvoller Empfindungen (fortune morale) in uns zu erzeugen; bezüglich deren sie hiernach die Stelle des Reizes einnehmen. Ein Taler nun hat in dieser Hinsicht viel weniger Wert für den Reichen, als Armen, und wenn er einen Bettler einen Tag lang glücklich macht, so wird er als Zuwachs zum Vermögen eines Millionärs gar nicht merklich von ihm gespürt. Dies läßt sich dem Weber'schen Gesetze unterordnen. Um einen gleichen Zuwachs zu dem, was Laplace die fortune morale nennt, zu gewähren, muß der Zuwachs zu der fortune physique im Verhältnisse dieser fortune physique stehen.

Dies Prinzip findet sich zuerst aufgestellt in einer Abhandlung von Daniel Bernoulli in den Comment. Acad. scient. imp. Petropolit. T. V. 1738, welche den Titel führt: "Specimen theoriae novae de mensura sortis." Später ist es von Laplace in s. Theorie analytique des probabilités p. 187. 432 reproduziert und in Folgerungen weiter entwickelt, und von Poisson in s. Recherches sur la probabilité mit seinen Folgerungen erwähnt und akzeptiert worden.

Die Ausdrücke fortune physique und fortune morale werden noch nicht von Bernoulli, sondern erst von Laplace gebraucht. Bernoulli sagt nach einigen Vorerörterungen: "Nempe valor non est aestimandus ex pretio rei, sed ex emolumento, quod unusquisque inde capessit. Pretium ex re ipsa aestimatur omnibusque idem est, emolumentum ex conditione personae. Ita procul dubio pauperis magis refert lucrum facere mille ducatorum, quam divitis, etsi pretium utrique idem sit;" und weiter (p. 177) "Ita vero valde probabile est, lucrulum quodvis semper emolumentum afferre summae bonorum reciprocae proportionale." Hierauf gründet er p. 181 die Differenzialformel und p. 182 die logarithmische Formel, welche wir später allgemeiner auf das Weber'sche Gesetz stützen.

Laplace sagt (p. 187):« On doit distinguer dans le tuen espéré, sa valeur relative, de sa valeur absolue: celle-ci est indépendante des motifs, qui le font désirer, au lieu que la première croit avec ces motifs. On ne peut donner de regle génerale pour apprécier cette valeur relative; cependant il est naturel de supposer la valeur relative d'une somme innniment petite, en raison directe de sa valeur absolue, en raison inverse du bien total de la personne intéressée. En effet, il est clair qu'un franc a très-peu de prix pour celui qui en possède un grand nombre, et que la manière la plus naturelle d'estimer sa valeur relative, est de la supposer en raison inverse de ce nombre.« p. 432: »D'après ce principe, x étant la fortune physique d'un individu, i'accroissement dx, qu'elle recoit, produit à l' individu un bien moral réciproque à cette fortune; I'accroissement de sa fortune morale peut donc être exprimé par , k étant une constante. Ainsi en décignant par y la fortune morale correspondante à la fortune physique x, on aura

y = k log x + log h,

h étant une constante arbitraire, que l'on déterminera au moyen d'une valeur de y correspondante à une valeur donnée de x. Sur cela, nous observerons, que l'on ne peut jamais supposer x et y nuls ou negatifs, dans l'ordre naturel des choses; car l'homme, qui ne possede rien, regarde son existence comme un bien inoral, qui peut etre comparé à l'avantage, que ceci procurerait une fortune physique, dont il est bien difficile d'assigner la valeur, mais que l'on ne peut fixer au-dessous de ce, qui lui serait rigoureu-sement nécessaire pour exister; car on contoit, qu'il ne consentirait point à recevoir une somme modique, telle que cent francs, avec la condition de ne prétendre à rien, lorsqu'il l'aurait dépensée.»

Poisson sagt p. 72:«Comme l'avantage, qu'un gain procure à quelqu'un dépend de l'état de sa fortune, on a distingué cet avantage relatif, de l'espérance mathématique, et on l'a nommé espérance morale. Lorsqu'il est une quantité infiniment petite, on prend son rapport à la fortune actuelle de la personne, pour la mesure de l'espérance morale, qui peut d'ailleurs être positive ou négative, selon qu'il s'agit d'une augmentation ou d'une diminution éventuelle de cette fortune. Par le calcul intégral, on déduit ensuite de cette mesure des conséquences, qui s'accordent avec les règles, que la prudence indique sur la manière, dont chacun doit diriger ses spéculât! ons.«