Wissenschaft der Logik

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Zweites Kapitel. Quantum

Das Quantum, zunächst Quantität mit einer Bestimmtheit oder Grenze überhaupt, ist in seiner vollkommenen Bestimmtheit die Zahl. Das Quantum unterscheidet sich

zweitens zunächst in extensives, an dem die Grenze als Beschränkung der daseyenden Vielheit ist, alsdann indem dieses Daseyn ins Fürsichseyn übergeht, in intensives Quantum, Grad, welches als fürsich und darin als gleichgültige Grenze ebenso unmittelbar außersich, seine Bestimmtheit an einem anderen hat. Als dieser gesetzte Widerspruch, so einfach in sich bestimmt zu seyn und seine Bestimmtheit außer sich zu haben und für sie außer sich zu weisen, geht das Quantum

drittens, als das an sich selbst äußerliche Gesetzte in die quantitative Unendlichkeit über.

Die Quantität ist Quantum, oder hat eine Grenze; sowohl als kontinuirliche wie als diskrete Größe. Der Unterschied dieser Arten hat hier zunächst keine Bedeutung.

Die Quantität ist als das aufgehobene Fürsichseyn schon an und für sich selbst gegen ihre Grenze gleichgültig. Aber damit ist ihr ebenso die Grenze, oder ein Quantum zu seyn, nicht gleichgültig; denn sie enthält das Eins, das absolute Bestimmtseyn, in sich als ihr eigenes Moment, das also als gesetzt an ihrer Kontinuität oder Einheit ihre Grenze ist, die aber als Eins, zu dein sie überhaupt geworden, bleibt.

Dieß Eins ist also das Princip des Quantums, aber das Eins als der Quantität. Dadurch ist es erstlich kontinuirlich, es ist Einheit; zweitens ist es diskret, an sich seyende (wie in der kontinuirlichen) oder gesetzte (wie in der diskreten Größe) Vielheit der Eins, welche die Gleichheit miteinander, jene Kontinuität, dieselbe Einheit haben. Drittens ist die ß Eins auch Negation der vielen Eins als einfache Grenze, ein Ausschließen seines Andersseyns aus sich, eine Bestimmung seiner gegen andere Quanta. Das Eins ist insofern sich à) auf sich beziehende, (ß) umschließende, und (ç) Anderes ausschließende Grenze.

Das Quantum in diesen Bestimmungen vollständig gesetzt, ist die Zahl. Das vollständige Gesetztseyn liegt in dem Daseyn der Grenze als Vielheit und damit ihrem Unterschiedenseyn von der Einheit. Die Zahl erscheint, deswegen als diskrete Größe, aber sie hat an der Einheit ebenso die Kontinuität. Sie ist darum auch das Quantum in vollkommener Bestimmtheit; indem in ihr die Grenze als bestimmte Vielheit, die das Eins, das schlechthin bestimmte, zu seinem Principe hat. Die Kontinuität, als in der das Eins nur an sich, als Aufgehobenes ist, gesetzt als Einheit, ist die Form der Unbestimmtheit.

Das Quantum nur als solches ist begrenzt überhaupt, seine Grenze ist abstrakte, einfache Bestimmtheit desselben. Indem es aber Zahl ist, ist diese Grenze als in sich selbst mannigfaltig gesetzt. Sie enthält die vielen Eins, die ihr Daseyn ausmachen, enthält sie aber nicht auf unbestimmte Weise, sondern die Bestimmtheit der Grenze fällt in sie; die Grenze schließt anderes Daseyn, d. i. andere Viele aus, und die von ihr umschlossenen Eins sind eine bestimmte Menge, die Anzahl, zu welcher als der Diskretion, wie sie in der Zahl ist, das andere die Einheit, die Kontinuität derselben, ist. Anzahl und Einheit machen die Momente der Zahl aus.

Von der Anzahl ist noch näher zu sehen, wie die vielen Eins, aus denen sie besteht, in der Grenze sind; von der Anzahl ist der Ausdruck richtig, daß sie aus den Vielen besteht, denn die Eins sind in ihr nicht als aufgehoben, sondern sind in ihr, nur mit der ausschließenden Grenze gesetzt, gegen welche sie gleichgültig sind. Aber diese ist es nicht gegen sie. Beim Daseyn hatte sich zunächst das Verhältniß der Grenze zu demselben so gestellt, daß das Daseyn als das affirmative diesseits seiner Grenze bestehen blieb, und diese, die Negation, außerhalb an seinem Rande sich befand; ebenso erscheint an den vielen Eins das Abbrechen derselben und das Ausschließen anderer Eins als eine Bestimmung, die außerhalb der umschlossenen Eins fällt. Aber es hat sich dort ergeben, daß die Grenze das Daseyn durchdringt, soweit geht als dieses, und daß Etwas dadurch seiner Bestimmung nach begrenzt, d. i. endlich ist. So stellt man im Quantitativen der Zahl etwa Hundert so vor, daß das hundertste Eins allein die Vielen so begrenze, daß sie Hundert seyen. Einer Seits ist dieß richtig; anderer Seits aber hat unter den hundert Eins keines einen Vorzug, da sie nur gleich sind; jedes ist ebenso das Hundertste; sie gehören also alle der Grenze an, wodurch die Zahl Hundert ist; diese kann für ihre Bestimmtheit keines entbehren; die anderen machen somit gegen das hundertste Eins kein Daseyn aus, das außerhalb der Grenze oder nur innerhalb ihrer, überhaupt verschieden von ihr wäre. Die Anzahl ist daher nicht eine Vielheit gegen das umschließende, begrenzende Eins, sondern macht selbst diese Begrenzung aus, welche ein bestimmtes Quantum ist; die Vielen machen eine Zahl, Ein Zwei, Ein Zehn, Ein Hundert u.s.f. aus.

Das begrenzende Eins ist nun das Bestimmtseyn gegen Anderes, Unterscheidung der Zahl von andern. Aber diese Unterscheidung wird nicht qualitative Bestimmtheit, sondern bleibt quantitativ, fällt nur in die vergleichende äußerliche Reflexion; die Zahl bleibt als Eins in sich zurückgekehrt, und gleichgültig gegen Andere. Diese Gleichgültigkeit der Zahl gegen Andere ist wesentliche Bestimmung derselben; sie macht ihr An-sich-bestimmtseyn, aber zugleich ihre eigene Aeußerlichkeit aus. Sie ist so ein numerisches Eins, als das absolut bestimmte, das zugleich die Form der einfachen Unmittelbarkeit hat, und dem daher die Beziehung auf anderes völlig äußerlich ist. Als Eins, das Zahl ist, hat es ferner die Bestimmtheit, insofern sie Beziehung auf Anderes ist, als seine Momente in ihm selbst, in seinem Unterschiede der Einheit und der Anzahl, und die Anzahl ist selbst Vielheit der Eins d. i. es ist in ihm selbst diese absolute Aeußerlichkeit. Dieser Widerspruch der Zahl oder des Quantums überhaupt in sich ist die Qualität des Quantums, in deren weitern Bestimmungen sich dieser Widerspruch entwickelt.

Die Raumgröße und Zahlgröße pflegen so als zwei Arten betrachtet zu werden, daß die Raumgröße für sich so sehr bestimmte Größe als die Zahlgröße wäre; ihr Unterschied bestünde nur in den verschiedenen Bestimmungen der Kontinuität und Diskretion; als Quantum aber stünden sie auf derselben Stufe. Die Geometrie hat im Allgemeinen in der Raumgröße die kontinuirliche, und die Arithmetik in der Zahlgröße die diskrete Größe zum Gegenstande. Aber mit dieser Ungleichheit des Gegenstandes haben sie auch nicht eine gleiche Weise und Vollkommenheit der Begrenzung oder des Bestimmtseyns. Die Raumgröße hat nur die Begrenzung überhaupt; insofern sie als ein schlechthin bestimmtes Quantum betrachtet werden soll, hat sie die Zahl nöthig. Die Geometrie als solche mißt die Raumfiguren nicht, ist nicht Meßkunst; sondern vergleicht sie nur. Auch bei ihren Definitionen sind die Bestimmungen zum Theil von der Gleichheit der Seiten, Winkel, der gleichen Entfernung hergenommen. So bedarf der Kreis, weil er allein auf die Gleichheit der Entfernung aller in ihm möglichen Punkte von einem Mittelpunkte beruht, zu seiner Bestimmung keiner Zahl. Diese auf Gleichheit oder Ungleichheit beruhenden Bestimmungen sind ächt geometrisch. Aber sie reichen nicht aus, und zu andern z.B. Dreieck, Viereck, ist die Zahl erforderlich, die in ihrem Princip, dem Eins das Für-sich-bestimmtseyn, nicht das Bestimmtseyn durch Hülfe eines Andern, also nicht durch Vergleichung enthält. Die Raumgröße hat zwar an dem Punkte die dem Eins entsprechende Bestimmtheit; der Punkt aber wird, insofern er außer sich kommt, ein Anderes, er wird zur Linie; weil er wesentlich nur als Eins des Raumes ist, wird er in der Beziehung, zu einer Kontinuität, in der die Punktualität, das Für-sich-Bestimmtseyn, das Eins, aufgehoben ist. Insofern das Für-sich-Bestimmtseyn im Außersichseyn sich erhalten soll, muß die Linie als eine Menge von Eins vorgestellt werden, und die Grenze, die Bestimmung der vielen Eins, in sich bekommen, d. h. die Größe der Linie eben so der anderen Raum-Bestimmungen muß als Zahl genommen werden.

Die Arithmetik betrachtet die Zahl und deren Figuren, oder vielmehr betrachtet sie nicht, sondern operirt mit denselben. Denn die Zahl ist die gleichgültige Bestimmtheit, träge; sie muß von außen bethätigt und in Beziehung gebracht werden. Die Beziehungsweisen sind die Rechnungsarten. Sie werden in der Arithmetik nach einander aufgeführt, und es erhellt, daß eine von der andern abhängt. Der Faden, der ihren Fortgang leitet, wird jedoch in der Arithmetik nicht herausgehoben.

Aus der Begriffsbestimmung der Zahl selbst aber ergiebt sich leicht die systematische Zusammenstellung, auf welche der Vortrag dieser Elemente in den Lehrbüchern einen gerechten Anspruch hat. Diese leitenden Bestimmungen sollen hier kurz bemerklich gemacht werden.

Die Zahl ist um ihres Principes, des Eins, willen ein äußerlich Zusammengefaßtes überhaupt, eine schlechthin analytische Figur, die keinen inneren Zusammenhang enthält. Weil sie so nur ein äußerlich Erzeugtes ist, ist alles Rechnen das Hervorbringen von Zahlen, ein Zählen oder bestimmter: Zusammenzählen. Eine Verschiedenheit dieses äußerlichen Hervorbringens, das nur iminer dasselbe thut, kann allein in einem Unterschiede der Zahlen gegeneinander, die zusammengezählt werden sollen, liegen; solcher Unterschied muß selbst anderswoher und aus äußerlicher Bestimmung genommen werden.

Der qualitative Unterschied, der die Bestimmtheit der Zahl ausmacht, ist der, den wir gesehen, der Einheit und der Anzahl; auf diesen reducirt sich daher alle Begriffsbestimmtheit, die in den Rechnungsarten vorkommen kann. Der Unterschied aber, der den Zahlen als Quantis zukommt, ist die äußerliche Identität und der äußerliche Unterschied, die Gleichheit und Ungleichheit, welches Reflexionsmomente, und unter den Bestimmungen des Wesens beim Unterschiede, abzuhandeln sind.

Ferner ist noch vorauszuschicken, daß Zahlen im Allgemeinen auf zwei Weisen hervorgebracht werden können, entweder durch Zusammenfassen oder durch Trennen bereits zusammengefaßter; indem beides bei einer auf dieselbe Weise bestimmten Art von Zählen Statt findet, so entspricht einem Zusammenfassen von Zahlen, was man positive Rechnungsart, ein Trennen, was man negative Rechnungsart nennen kann; die Bestimmung der Rechnungsart selbst, ist von diesem Gegensatze unabhängig.

Nach diesen Bemerkungen folgt hiermit die Angabe der Rechnungsweisen. Das erste Erzeugen der Zahl ist das Zusammenfassen von Vielen als solchen, d. i. deren jedes nur als Eins gesetzt ist, das Numeriren. Da die Eins äußerliche gegeneinander sind, stellen sie sich unter einem sinnlichen Bilde dar, und die Operation, durch welche die Zahl erzeugt wird, ist ein Abzählen an den Fingern, an Punkten u.s.f. Was Vier, Fünf u.s.f. ist, kann nur gewiesen werden. Das Abbrechen, wie viel zugefaßt werden soll, ist, indem die Grenze äußerlich ist, etwas Zufälliges, Beliebiges. Der Unterschied von Anzahl und Einheit, der im Fortgange der Rechnungsarten eintritt, begründet ein System, dyadisches, dekadisches u.s.f. von Zahlen; ein solches beruht im Ganzen auf der Beliebigkeit, welche Anzahl konstant wieder als Einheit genommen werden soll.

Die durch das Numeriren entstandenen Zahlen werden wieder numerirt; und indem sie so unmittelbar gesetzt sind, sind sie noch ohne alle Beziehung auf einander bestimmt, gleichgültig gegen Gleichheit und Ungleichheit, von zufälliger Grösse gegen einander, daher ungleiche überhaupt; Addiren. Daß 7 und 5 Zwölfe ausmacht, erfährt man dadurch, daß zu den 7 noch 5 Eins an den Fingern oder sonst hinzunumerirt werden, wovon das Resultat nachher im Gedächtnisse, auswendig, behalten wird; denn Innerliches ist nichts dabei. Ebenso daß 7 x 5 = 35 ist, weiß man durch das Abzählen an den Fingern u.s.f., daß zu einem Sieben noch eins hinzu numerirt, dieß fünf Mal bewerkstelligt, und das Resultat gleichfalls auswendig behalten wird. Die Mühe dieses Numerirens, der Erfindung der Summen, Produkte, ist durch die fertigen Eins und Eins oder Eins mal Eins, die man nur auswendig zu lernen hat, abgethan.

Kant hat (in der Einleitung zur Kritik der reinen Vernunft V.) den Satz: 7 + 5 = 12, als einen synthetischen Satz betrachtet. "Man sollte," sagt er, "anfänglich zwar denken, (gewiß!) er sey ein bloß analytischer Satz, der aus dem Begriffe einer Summe von Sieben und Fünf nach dem Satz des Widerspruchs erfolge." Der Begriff der Summe heißt weiter nichts, als die abstrakte Bestimmung, daß diese zwei Zahlen zusammengefaßt werden sollen, und zwar als Zahlen auf eine äußerliche, d. i. begrifflose Weise, daß von Sieben weiter numerirt werden soll, bis die hinzuzufügenden Eins, deren Anzahl auf Fünf bestimmt ist, erschöpft worden; das Resultat führt den sonst bekannten Nahmen Zwölfe. "Allein," fährt Kant fort, "wenn man es näher betrachtet, so findet man, daß der Begriff der Summe von 7 + 5 nichts weiter enthalte, als die Vereinigung beider Zahlen in eine einzige, wodurch ganz und gar nicht gedacht wird, welches diese einzige Zahl sey, die beide zusammenfaßt;" "ich mag meinen Begriff von einer solchen möglichen Summe noch so sehr zergliedern, so werde ich doch darin die Zwölfe nicht antreffen." Mit dem Denken der Summe, Zergliederung des Begriffs, hat der Uebergang von jener Aufgabe zu dem Resultat allerdings nichts [zu] thun; "man muß über diese Begriffe hinausgehen und die Anschauung, fünf Finger u.s.f. zu Hülfe nehmen und so die Einheiten der in der Anschauung gegebenen Fünf zu dem Begriffe von Sieben hinzuthun," fügt er hinzu. Fünf ist allerdings in der Anschauung gegeben, d. h. ein ganz äußerliches Zusammengefügtseyn des beliebig wiederholten Gedankens, Eins; aber Sieben ist ebenso wenig ein Begriff; es sind keine Begriffe vorhanden, über die man hinausgeht. Die Summe von 5 und 7 heißt die begrifflose Verbindung beider Zahlen, das so begrifflos fortgesetzte Numeriren von Sieben an, bis die Fünfe erschöpft sind, kann man ein Zusammenfügen, ein Synthesiren, gerade wie das Numeriren von Eins an, nennen ein Synthesiren, das aber gänzlich analytischer Natur ist, indem der Zusammenhang ein ganz gemachter, nichts darin ist noch hineinkommt, was nicht ganz äußerlich vorliegt. Das Postulat 5 zu 7 zu addiren verhält sich zu dem Postulate, überhaupt zu numeriren, wie das Postulat eine gerade Linie zu verlängern, zu dem, eine gerade Linie zu ziehen.

So leer als der Ausdruck Synthesiren ist, ist die Bestimmung, daß es a priori geschehe. Zählen ist allerdings keine Empfindungsbestimmung, die für das a posteriori nach der kantischen Bestimmung von Anschauung allein übrig bleibt, und Zählen ist wohl eine Beschäftigung auf dem Boden des abstrakten Anschauens, d. i. welches durch die Kategorie des Eins bestimmt und wobei von allen anderen Empfindungsbestimmungen, ebenso sehr als auch von Begriffen abstrahirt ist. Das a priori ist überhaupt etwas nur Vages; die Gefühlsbestimmung hat als Trieb, Sinn u.s.f. ebenso sehr das Moment der Aprioritaet in ihr, als Raum und Zeit als existirend, Zeitliches und Räumliches, a posteriori bestimmt ist.

Im Zusammenhange hiermit kann hinzugefügt werden, daß Kants Behauptung von der synthetischen Beschaffenheit der Grundsätze der reinen Geometrie ebenso wenig etwas Gründliches enthält. Indem er angiebt, daß mehrere wirklich analytisch seyen, so ist allein der Grundsatz, daß die gerade Linie zwischen zwei Punkten die kürzeste ist, für jene Vorstellung angeführt. "Mein Begriff vom Geraden enthalte nämlich nichts von Größe, sondern nur eine Qualität; der Begriff des Kürzesten komme also gänzlich hinzu, und könne durch keine Zergliederung aus dem Begriffe der geraden Linie gezogen werden; Anschauung müsse also hier zu Hülfe genommen werden, vermittelst deren allein die Synthesis möglich sey." Es handelt sich aber auch hier nicht von einem Begriffe des Geraden überhaupt, sondern von gerader Linie, und dieselbe ist bereits ein Räumliches, Angeschautes. Die Bestimmung (oder wenn man will, der Begriff) der geraden Linie ist doch wohl keine anderes als daß sie die schlechthin einfache Linie ist, d. i. in dem Außersichkommen (der sogenannten Bewegung des Punktes) schlechthin sich auf sich bezieht, in deren Ausdehnung keine Art von Verschiedenheit der Bestimmung, keine Beziehung auf einen anderen Punkt, oder Linie außerhalb ihrer gesetzt ist, hält; die schlechthin in sich einfache Richtung. Diese Einfachheit ist allerdings ihre Qualität, und wenn die gerade Linie schwer analytisch zu definiren scheinen sollte, so wäre es nur um der Bestimmung der Einfachheit oder Beziehung auf sich selbst willen, und bloß weil die Reflexion beim Bestimmen zunächst vornehmlich eine Mehrheit, ein Bestimmen durch andere, vor sich hat; es ist aber für sich schlechthin nichts Schweres, diese Bestimmung der Einfachheit der Ausdehnung in sich, ihrer Bestimmungslosigkeit durch Anderes, zu fassen; Euklids Definition enthält nichts Anderes als diese Einfachheit. Der Uebergang nun aber dieser Qualität zur quantitativen Bestimmung (des Kürzesten), welcher das Synthetische ausmachen sollte, ist ganz nur analytisch. Die Linie ist als räumlich, Quantität überhaupt; das Einfachste, vom Quantum gesagt, ist das Wenigste, und dieß von einer Linie gesagt, ist das Kürzeste. Die Geometrie kann diese Bestimmungen als Corollarium zur Definition aufnehmen; aber Archimedes in seinen Büchern über Kugel und Cylinder (s. Haubers Uebers. S. ) hat am zweckmäßigsten gethan, jene Bestimmung der geraden Linie als Grundsatz hinzustellen, in ebenso richtigem Sinne, als Euklides die Bestimmung, die Parallellinien betreffend, unter die Grundsätze gestellt hat, da die Entwickelung dieser Bestimmung, um zu einer Definition zu werden, gleichfalls nicht der Räumlichkeit unmittelbar angehörige, sondern abstraktere qualitative Bestimmungen, wie vorhin Einfachheit, Gleichheit der Richtung und dergleichen erfordert hätte. Diese Alten haben auch ihren Wissenschaften plastischen Charakter gegeben, ihre Darstellung streng in der Eigenthümlichkeit ihres Stoffes gehalten, daher das ausgeschlossen, was für denselben heterogener Art gewesen wäre.

Der Begriff, den Kant in den synthetischen Urtheilen a priori aufgestellt hat, der Begriff von Unterschiedenem, das ebenso untrennbar ist, einem Identischen, das an ihm selbst ungetrennt Unterschied ist, gehört zu dem Grossen und Unsterblichen seiner Philosophie. Im Anschauen ist dieser Begriffe da er der Begriff selbst und Alles an sich der Begriff ist, freilich gleichfalls vorhanden; aber die Bestimmungen, die in jenen Beispielen herausgenommen sind, stellen ihn nicht dar; vielmehr ist die Zahl und das Zählen eine Identität und Hervorbringen einer Identität, die schlechthin nur äußerlich, nur oberflächliche Synthese ist, eine Einheit von Eins, solchen, die vielmehr als an ihnen nicht identisch mit einander, sondern äußerliche, für sich getrennte, gesetzt sind; in der geraden Linie hat die Bestimmung, die kleinste zwischen zwei Punkten zu seyn, vielmehr nur das Moment des abstrakt Identischen, ohne Unterschied an ihm selbst, zu Grunde zu liegen.

Ich kehre von dieser Unterbrechung zum Addiren selbst zurück. Die ihm entsprechende, negative Rechnungsart, das Subtrahiren, ist das ebenso ganz analytische Trennen in Zahlen, die wie im Addiren, nur als Ungleiche überhaupt gegeneinander bestimmt sind.

2. Die nächste Bestimmung ist die Gleichheit der Zahlen, die numerirt werden sollen. Durch diese Gleichheit sind sie eine Einheit, und es tritt hiermit an der Zahl der Unterschied von Einheit und Anzahl ein. Die Multiplikation ist die Aufgabe, eine Anzahl von Einheiten, die selbst eine Anzahl sind, zusammenzuzählen. Es ist dabei gleichgültig, welche von den beiden Zahlen als Einheit und welche als Anzahl angegeben, ob viermal drei, wo Vier die Anzahl, und drei die Einheit ist, oder umgekehrt dreimal vier, gesagt wird. Es ist oben schon angegeben, daß das ursprüngliche Finden des Produkts durch das einfache Numeriren, d. i. das Abzählen an den Fingern u.s.f. bewerkstelligt wird; das spätere unmittelbare Angebenkönnen des Produkts beruht auf der Sammlung jener Produkte, dem Einmaleins, und dem Auswendig-Wissen desselben.

Die Division ist die negative Rechnungsart nach derselben Bestimmung des Unterschieds. Es ist ebenso gleichgültig, welcher von beiden Faktoren, der Divisor oder der Quotient, als Einheit oder als Anzahl bestimmt wird. Der Divisor wird als Einheit und der Quotient als Anzahl bestimmt, wenn die Aufgabe der Division ausgesprochen wird, daß man sehen wolle, wie oft (Anzahl) eine Zahl (Einheit) in einer gegebenen enthalten sey; umgekehrt wird der Divisor als Anzahl und der Quotient als Einheit genommen, wenn gesagt wird, man soll eine Zahl in eine gegebene Anzahl gleicher Theile theilen und die Grösse solchen Theils (der Einheit) finden.

3. Die beiden Zahlen, welche als Einheit und Anzahl gegeneinander bestimmt sind, sind als Zahl noch unmittelbar gegeneinander, und daher überhaupt ungleich. Die weitere Gleichheit ist die der Einheit und der Anzahl selbst; so ist der Fortgang zur Gleichheit der Bestimmungen, die in der Bestimmung der Zahl liegen, vollendet. Das Zählen, nach dieser vollständigen Gleichheit ist das Potenziren, (die negative Rechnungsart das Wurzelausziehen) und zwar zunächst das Erheben einer Zahl ins Quadrat, das vollkommene Bestimmtseyn des Numerirens in sich selbst, wo 1) die vielen Zahlen, die addirt werden, dieselben sind, und 2) deren Vielheit oder Anzahl selbst dieselbe ist mit der Zahl, die vielmal gesetzt wird, die Einheit ist. Es sind sonst keine Bestimmungen in dem Begriffe der Zahl, die einen Unterschied darbieten könnten; noch kann ein weiteres Ausgleichen des Unterschiedes, der in in der Zahl liegt, Statt finden. Erhebung in höhere Potenzen als in das Quadrat, ist eine formelle Fortsetzung Theils bei den geraden Exponenten, nur eine Wiederholung des Quadrirens, Theils bei den ungeraden Potenzen tritt wieder die Ungleichheit ein; bei der nämlich formellen Gleichheit (z.B. zunächst beim Kubus) des neuen Faktors mit der Anzahl sowohl als mit der Einheit, ist er als Einheit, gegen die Anzahl (das Quadrat, 3 gegen 3. 3) ein Ungleiches; noch mehr beim Kubus von Vier, wo die Anzahl, 3, nach der die Zahl, die die Einheit ist, mit sich multiplicirt werden soll, von dieser selbst verschieden ist. Es sind an sich diese Bestimmungen als der wesentliche Unterschied des Begriffs, die Anzahl und die Einheit, vorhanden, welche für das vollständige In-sich-Zurückgehen des Außer-sich-gehens auszugleichen sind. In dem so eben Dargestellten liegt weiter der Grund, warum Theils die Auflösung der höheren Gleichungen in der Zurückführung auf die quadratische bestehen muß, Theils warum die Gleichungen von ungeraden Exponenten sich nur formell bestimmen, und gerade wenn die Wurzeln rational sind, diese sich nicht anders als durch einen imaginären Ausdruck, d. h. der das Gegentheil dessen ist, was die Wurzeln sind und ausdrücken, finden lassen. Das Quadrat der Arithmetik enthält nach dem Angegebenen, allein das Schlechthin-Bestimmtseyn in sich; weswegen die Gleichungen mit weitern formellen Potenzen darauf zurückgeführt werden müssen, gerade wie das rechtwinklichte Dreieck in der Geometrie das Schlechthin-in-sich-Bestimmtseyn enthält, das im pythagoräischen Lehrsatz exponirt ist, weswegen auch darauf für die totale Bestimmung alle anderen geometrischen Figurationen reducirt werden müssen.

Ein nach einem logisch gebildetem Urtheile fortschreitender Unterricht handelt die Lehre von den Potenzen vor der Lehre über die Proportionen ab; diese schließen sich zwar an den Unterschied von Einheit und Anzahl an, der die Bestimmung der zweiten Rechnungsart ausmacht, aber sie treten aus dem Eins des unmittelbaren Quantums, in welchem Einheit und Anzahl nur Momente sind, heraus; die Fortbestimmung nach demselben bleibt ihm selbst auch noch äußerlich. Die Zahl im Verhältnisse ist nicht mehr als unmittelbares Quantum; es hat seine Bestimmtheit dann als Vermittelung; das quantitative Verhältniß wird im Nachfolgenden betrachtet.

Von der angegebenen Fortbestimmung der Rechnungsarten kann gesagt werden, daß sie keine Philosophie über dieselben, keine Darlegung etwa ihrer innern Bedeutung sey, weil sie in der That nicht eine immanente Entwickelung des Begriffes ist. Aber die Philosophie muß dieß zu unterscheiden wissen, was seiner Natur nach ein sich selbst äußerlicher Stoff ist, daß dann an einem solchen der Fortgang des Begriffs nur auf äußerliche Weise geschehen, und dessen Momente auch nur in der eigenthümlichen Form ihrer Aeußerlichkeit, wie hier Gleichheit und Ungleichheit, seyn können. Die Unterscheidung der Sphären, in welche eine bestimmte Form des Begriffs gehört, d. h. als Existenz vorhanden ist, ist ein wesentliches Erforderniß zum Philosophiren über reale Gegenstände, um nicht das Aeußerliche und Zufällige durch Ideen in seiner Eigenthümlichkeit zu stören, wie diese Ideen durch die Unangemessenheit des Stoffes zu entstellen und formell zu machen. Jene Aeußerlichkeit aber, in welcher die Begriffsmomente an jenem äußerlichen Stoffe, der Zahl, erscheinen, ist hier die angemessene Form; indem sie den Gegenstand in seinem Verstande darstellen, auch da sie keine spekulative Anforderung enthalten und daher leicht erscheinen, verdienen sie in den Lehrbüchern der Elemente angewendet zu werden.

Bekanntlich hat Pythagoras Vernunftverhältnisse oder Philosopheme in Zahlen dargestellt, auch in neueren Zeiten ist von ihnen und Formen ihrer Beziehungen, wie Potenzen u.s.f. in der Philosophie Gebrauch gemacht worden, um die Gedanken darnach zu reguliren oder damit auszudrücken. In pädagogischer Rücksicht ist die Zahl für den geeignetsten Gegenstand des innern Anschauens, und die rechnende Beschäftigung mit Verhältnissen derselben für die Thätigkeit des Geistes gehalten worden, worin er seine eigensten Verhältnisse und überhaupt die Grundverhältnisse des Wesens zur Anschauung bringe. Wiefern der Zahl dieser hohe Werth beikommen könne, geht aus ihrem Begriffe hervor, wie er sich ergeben hat.

Die Zahl sahen wir als die absolute Bestimmtheit der Quantität, und ihr Element als den gleichgültig gewordenen Unterschied; die Bestimmtheit an sich, die zugleich völlig nur äußerlich gesetzt ist. Die Arithmetik ist analytische Wissenschaft, weil alle Verknüpfungen und Unterschiede, die an ihrem Gegenstande vorkommen, nicht in ihm selbst liegen, sondern ihm völlig äußerlich angethan sind. Sie hat keinen konkreten Gegenstand, welcher innere Verhältnisse an sich hätte, die zunächst für das Wissen verborgen, nicht in der unmittelbaren Vorstellung von ihm gegeben, sondern erst durch die Bemühung des Erkennens herauszubringen wären. Sie enthält nicht nur den Begriff und damit die Aufgabe für das begreifende Denken nicht, sondern ist das Gegentheil desselben. Um der Gleichgültigkeit des Verknüpften gegen die Verknüpfung, der die Nothwendigkeit fehlt, willen, befindet sich das Denken hier in einer Thätigkeit, die zugleich die äußerste Entäußerung seiner selbst ist, in der gewaltsamen Thätigkeit, sich in der Gedankenlosigkeit zu bewegen und das keiner Nothwendigkeit Fähige zu verknüpfen. Der Gegenstand ist der abstrakte Gedanke der Aeußerlichkeit selbst.

Als dieser Gedanke der Aeußerlichkeit ist die Zahl zugleich die Abstraktion von der sinnlichen Mannigfaltigkeit; sie hat von dem Sinnlichen nichts als die abstrakte Bestimmung der Aeußerlichkeit selbst behalten; hierdurch ist dieses in ihr dem Gedanken am nächsten gebracht; sie ist der reine Gedanke der eignen Entäußerung des Gedankens.

Der Geist, der sich über die sinnliche Welt erhebt, und sein Wesen erkennt, indem er ein Element für seine reine Vorstellung, für den Ausdruck seines Wesens sucht, kann daher, ehe er den Gedanken selbst als dieß Element faßt, und für dessen Darstellung den rein geistigen Ausdruck gewinnt, darauf verfallen, die Zahl, diese innerliche, abstrakte Aeußerlichkeit zu wählen. Darum sehen wir in der Geschichte der Wissenschaft früh die Zahl zum Ausdruck von Philosophemen gebraucht werden. Sie macht die letzte Stufe der Unvollkommenheit aus, das Allgemeine mit Sinnlichem behaftet zu fassen. Die Alten haben das bestimmte Bewußtseyn darüber gehabt, daß die Zahl zwischen dem Sinnlichen und dem Gedanken in der Mitte stehe. Aristoteles führt es von Plato an (Metaphys. I,5) daß derselbe sage, daß außer dem Sinnlichen und den Ideen die mathematischen Bestimmungen der Dinge dazwischen stehen, von dem Sinnlichen dadurch unterschieden sey, daß sie unsichtbar (ewig) und unbewegt seyen, von den Ideen aber, daß sie ein Vieles und ein Aehnliches seyen, die Idee aber schlechthin nur identisch mit sich und in sich Eines sey. Eine ausführlichere gründlich gedachte Reflexion hierüber von Moderatus aus Cadix wird in Malchi Vita Pythagorae ed. Ritterhus. p. 30f. angeführt; daß die Pythagoräer auf die Zahlen gefallen seyen, schreibt er dem zu, daß sie noch nicht vermocht haben, die Grundideen und ersten Principien deutlich in der Vernunft zu fassen, weil diese Principien schwer zu denken und schwer auszusprechen seyen; die Zahlen dienen zur Bezeichnung gut beim Unterrichte; sie haben darin unter anderem die Geometer nachgeahmt, welche das Körperliche nicht in Gedanken ausdrücken können, die Figuren gebrauchen, und sagen, dieß sey ein Dreieck, wobei sie aber wollen, daß nicht die in die Augen fallende Zeichnung für das Dreieck genommen, sondern damit nur der Gedanke desselben vorgestellt sey. So haben die Pythagoräer den Gedanken der Einheit, der Dieselbigkeit und Gleichheit und den Grund der Uebereinstimmung, des Zusammenhangs und der Erhaltung von Allem, des mit sich selbst Identischen, als Eins ausgesprochen u.s.f. Es ist überflüssig zu bemerken, daß die Pythagoräer von dem Zahlen- auch zum Gedanken-Ausdruck, zu den ausdrücklichen Kategorien des Gleichen und Ungleichen, der Grenze und der Unendlichkeit übergegangen sind, es wird schon in Ansehung jener Zahlausdrücke (ebend. in den Anm. zu p. 31 l.s. aus einem Leben des Pythagoras bei Photius p. 772) angeführt, daß die Pythagoräer zwischen der Monas und dem Eins unterschieden haben; die Monas haben sie als den Gedanken genommen, das Eins aber als die Zahl; ebenso die Zwei für das Arithmetische, die Dyas (denn so soll es daselbst wohl heißen) für den Gedanken des Unbestimmten. Diese Alten sahen vors Erste das Ungenügende der Zahlformen für Gedankenbestimmungen sehr richtig ein, und ebenso richtig forderten sie ferner stattjenes ersten Nothbehelfs für Gedanken den eigenthümlichen Ausdruck; um wie viel weiter waren sie in ihrem Nachdenken gekommen, als die, welche heutigestages wieder Zahlen selbst und Zahlbestimmungen, wie Potenzen, dann das Unendlichgroße, Unendlichkleine, Eins dividirt durch das Unendliche und sonstige solche Bestimmungen, die selbst auch oft ein verkehrter mathematischer Formalismus sind, an die Stelle von Gedankenbestimmungen zu setzen und zu jener unvermögenden Kindheit zurückzukehren, für etwas Löbliches, ja Gründliches und Tiefes halten.

Wenn vorhin der Ausdruck angeführt worden, daß die Zahl zwischen dem Sinnlichen und dem Gedanken stehe, indem sie zugleich von jenem dieß habe, das Viele, das Außereinander, an ihr zu seyn, so ist zu bemerken, daß dieses Viele selbst, das in den Gedanken aufgenommene Sinnliche, die ihm angehörige Kategorie des an ihm selbst Aeußerlichen ist. Die weiteren, konkreten, wahren Gedanken, das Lebendigste, Beweglichste, nur im Beziehen Begriffene, in dieses Element des Außersichseyns selbst versetzt, werden zu todten, bewegungslosen Bestimmungen. Je reicher an Bestimmtheit und damit an Beziehung die Gedanken werden, desto verworrener einer Seits und desto willkürlicher und sinnleerer anderer Seits wird ihre Darstellung in solchen Formen, als die Zahlen sind. Das Eins, das Zwei, das Drei, das Vier, Henas oder Monas, Dyas, Trias, Tetraktys, liegen noch den ganz einfachen abstrakten Begriffen nahe; aber wenn Zahlen zu konkreten Verhältnissen übergehen sollen, so ist es vergeblich, sie noch dem Begriffe nahe erhalten zu wollen,

Wenn nun aber die Denkbestimmungen durch Eins, Zwei, Drei, Vier für die Bewegung des Begriffs, als durch welche er allein Begriff ist, bezeichnet werden, so ist dieß das Härteste, was dem Denken zugemuthet wird. Es bewegt sich im Elemente seines Gegentheils, der Beziehungslosigkeit; sein Geschäfte ist die Arbeit der Verrücktheit. Daß z.B. Eins Drei, und Drei Eins ist, zu begreifen, ist darum diese harte Zumuthung, weil das Eins das Beziehungslose ist, also nicht an ihm selbst die Bestimmung zeigt, wodurch es in sein Entgegengesetztes übergeht, sondern vielmehr dieß ist, eine solche Beziehung schlechthin auszuschließen und zu verweigern. Umgekehrt benutzt dieß der Verstand gegen die spekulative Wahrheit (wie z.B. gegen die in der Lehre, welche die der Dreieinigkeit genannt wird, niedergelegte) und zählt die Bestimmungen derselben, welche Eine Einheit ausmachen, um sie als klaren Widersinn aufzuzeigen, d. h. er selbst begeht den Widersinn, das, was schlechthin Beziehung ist, zum Beziehungslosen zu machen. Bei dem Namen Dreieinigkeit ist freilich nicht darauf gerechnet worden, daß vom Verstand das Eins und die Zahl als die wesentliche Bestimmtheit des Inhalts betrachtet werden würde. Jener Name drückt die Verachtung gegen den Verstand aus, der aber seine Eitelkeit, am Eins und der Zahl als solcher zu halten, festgestellt und sie gegen die Vernunft gestellt hat.

Zahlen, geometrische Figuren, wie dieß viel vom Kreis, Dreieck u.s.f. geschen ist, als bloße Symbole (des Kreises, z.B. von der Ewigkeit, des Dreiecks von der Dreieinigkeit) zu nehmen ist einer Seits etwas Unverfängliches; aber thöricht ist es anderer Seits, zu meinen, daß dadurch mehr ausgedrückt sey, als der Gedanke zu fassen und auszudrücken vermöge. Wenn in solchen Symbolen, wie in andern, die von der Phantasie in den Mythologien der Völker und in der Dichtkunst überhaupt erzeugt werden, gegen welche die phantasielosen geometrischen Figuren ohnehin dürftig sind, wie auch in diesen eine tiefe Weisheit, tiefe Bedeutung liegen soll, so ist es eben dem Denken allein darum zu thun, die Weisheit, die nur darin liegt, und nicht nur in Symbolen, sondern in der Natur und im Geiste, heraus zu Tage zu fördern; in Symbolen ist die Wahrheit durch das sinnliche Element noch getrübt und verhüllt; ganz offenbar wird sie allein dem Bewußtseyn in der Form des Gedanken; die Bedeutung ist nur der Gedanke selbst.

Aber mathematische Kategorien herbeizunehmen, um daraus für die Methode oder den Inhalt philosophischer Wissenschaft etwas bestimmen zu wollen, zeigt sich wesentlich dadurch als etwas Verkehrtes, daß insofern mathematische Formeln Gedanken und Begriffsunterschiede bedeuten, diese ihre Bedeutung sich vielmehr zuerst in der Philosophie anzugeben, zu bestimmen und zu rechtfertigen hat. In ihren konkreten Wissenschaften hat diese das Logische aus der Logik, nicht aus der Mathematik zu nehmen; es kann nur ein Nothbehelf der philosophischen Unvermögenheit seyn, zu den Gestaltungen, die das Logische in anderen Wissenschaften annimmt, und deren viele nur Ahnungen, andere auch Verkümmerungen desselben sind, für das Logische der Philosophie seine Zuflucht zu nehmen. Die bloße Anwendung solcher entlehnten Formeln ist ohnehin ein äußerliches Verhalten; der Anwendung selbst müßte ein Bewußtseyn über ihren Werth wie über ihre Bedeutung vorangehen; ein solches Bewußtseyn aber giebt nur die denkende Betrachtung, nicht die Autorität derselben aus der Mathematik. Solches Bewußtseyn über sie ist die Logik selbst, und dieß Bewußtseyn streift ihre partikulare Form ab, macht diese überflüssig und unnütz, berichtigt sie und verschafft ihnen allein ihre Berechtigung, Sinn und Werth.

Was es mit dem Gebrauche der Zahl und des Rechnens auf sich hat, insofern er eine pädagogische Hauptgrundlage ausmachen soll, geht aus dem Bisherigen von selbst hervor. Die Zahl ist ein unsinnlicher Gegenstand, und die Beschäftigung mit ihr und ihren Verbindungen, ein unsinnliches Geschäft; der Geist wird somit dadurch zur Reflexion in sich und einer innerlichen abstrakten Arbeit angehalten, was eine große, jedoch einseitige Wichtigkeit hat. Denn auf der anderen Seite, da der Zahl nur der äußerliche, gedankenlose Unterschied zu Grunde liegt, wird jenes Geschäfte ein gedankenloses, mechanisches. Die Kraftanstrengung besteht vornehmlich darin, Begriffloses festzuhalten, und begrifflos es zu verbinden. Der Inhalt ist das leere Eins; der gediegene Gehalt des sittlichen und geistigen Lebens und der individuellen Gestaltungen desselben, mit welchem als der edelsten Nahrung die Erziehung den jugendlichen Geist großziehen soll, sollte von dem inhaltslosen Eins verdrängt werden; die Wirkung, wenn jene Uebungen zur Hauptsache und Hauptbeschäftigung gemacht werden, kann keine andere seyn, als den Geist nach Form und Inhalt auszuhöhlen und abzustumpfen. Weil das Rechnen ein so sehr äußerliches, somit mechanisches Geschäft ist, haben sich Maschinen verfertigen lassen, welche die arithmetischen Operationen aufs vollkommenste vollführen. Wenn man über die Natur des Rechnens nur diesen Umstand allein kennte, so läge darin die Entscheidung, was es mit dem Einfalle für eine Bewandniß hatte, das Rechnen zum Hauptbildungsmittel des Geistes zu machen, und ihn auf die Folter, sich zur Maschine zu vervollkommnen, zu legen.

1. Das Quantum hat, wie sich vorhin ergeben, seine Bestimmtheit als Grenze in der Anzahl. Es ist ein in sich Diskretes, ein Vieles, das nicht ein Seyn hat, welches verschieden wäre von seiner Grenze und sie außer ihm hätte. Das Quantum so mit seiner Grenze, die ein Vielfaches an ihr selbst ist, ist extensive Größe.

Die extensive Größe ist von der kontinuirlichen zu unterscheiden; jener steht direkt nicht die diskrete, sondern die intensive gegenüber. Extensive und intensive Größe sind Bestimmtheiten der quantitativen Grenze selbst, das Quantum aber ist identisch mit seiner Grenze; kontinuirliche und diskrete Größe sind dagegen Bestimmungen der Größe an sich, d. i. der Quantität als solcher, insofern beim Quantum von der Grenze abstrahirt wird. Die extensive Größe hat das Moment der Kontinuität an ihr selbst und in ihrer Grenze, indem ihr Vieles überhaupt Kontinuirliches ist; die Grenze als Negation erscheint insofern an dieser Gleichheit der Vielen, als Begrenzung der Einheit. Die kontinuirliche Größe ist die sich fortsetzende Quantität ohne Rücksicht auf eine Grenze, und insofern sie mit einer solchen vorgesstellt wird, ist diese eine Begrenzung überhaupt, ohne daß die Diskretion an ihr gesetzt sey. Das Quantum nur als kontinuirliche Größe ist noch nicht wahrhaft für sich bestimmt, weil sie des Eins, worin das Für-sich-bestimmtseyn liegt, und der Zahl entbehrt. Eben so ist die diskrete Größe unmittelbar nur unterschiedenes Vieles überhaupt, das, insofern es als solches eine Grenze haben sollte, nur eine Menge, d. h. ein unbestimmt Begrenztes wäre; daß es als bestimmtes Quantum sey, dazu gehört das Zusammenfassen des Vielen in Eins, wodurch sie mit der Grenze identisch gesetzt werden. Jede, die kontinuirliche und diskrete Größe, als Quantum überhaupt hat nur eine der beiden Seiten an ihr gesetzt, wodurch es vollkommen bestimmt und als Zahl ist. Diese ist unmittelbar extensives Quantum, die einfache Bestimmtheit, die wesentlich als Anzahl, jedoch als Anzahl einer und derselben Einheit ist; es ist von der Zahl nur dadurch unterschieden, daß ausdrücklich die Bestimmtheit als Vielheit in dieser gesetzt ist.

2. Die Bestimmtheit jedoch, wie groß etwas ist, durch die Zahl, bedarf nicht des Unterschiedes von etwas Anderem Großem, so daß zur Bestimmtheit dieses Großen es selbst und ein Anderes Großes gehörte, indem die Bestimmtheit der Größe überhaupt für-sich-bestimmte, gleichgültige, einfach auf sich bezogene Grenze ist; und in der Zahl ist sie gesetzt als eingeschlossen in das für-sich-seyende Eins, und hat die Aeußerlichkeit, die Beziehung-auf-Anderes innerhalb ihrer selbst. Dieses Viele der Grenze selbst ferner, ist wie das Viele überhaupt, nicht ein in sich Ungleiches, sondern ein Kontinuirliches jedes der Vielen ist was das Andere ist; es als vieles Außereinanderseyendes oder Diskretes macht daher die Bestimmtheit als solche nicht aus. dieß Viele fällt also für sich selbst in seine Kontinuität zusammen und wird einfache Einheit. Die Anzahl ist nur Moment der Zahl; aber macht nicht als eine Menge von numerischen Eins die Bestimmtheit der Zahl aus, sondern diese Eins als gleichgültige, sich Aeußerliche, sind im Zurückgekehrtseyn der Zahl in sich aufgehoben; die Aeußerlichkeit, welche die Eins der Vielheit ausmachte, verschwindet in dem Eins, als Beziehung der Zahl auf sich selbst.

Die Grenze des Quantums, das als extensives seine daseyende Bestimmtheit als die sich selbst äußerliche Anzahl hatte, geht also in einfache Bestimmtheit über. In dieser einfachen Bestimmung der Grenze ist es intensive Größe; und die Grenze oder Bestimmtheit, die mit dem Quantum identisch ist, ist nun auch so als Einfaches gesetzt, der Grad.

Der Grad ist also bestimmte Größe, Quantum, aber nicht zugleich Menge, oder Mehreres innerhalb seiner selbst; er ist nur eine Mehrheit; die Mehrheit ist das Mehrere in die einfache Bestimmung zusammengenommen, das Daseyn in das Fürsichseyn zurückgegangen. Seine Bestimmtheit muß zwar durch eine Zahl ausgedrückt werden als dem vollkommenen Bestimmtseyn des Quantums, aber ist nicht als Anzahl, sondern einfach, nur Ein Grad. Wenn von 10, 20 Graden gesprochen wird, ist das Quantum, das so viele Grade hat, der zehente, zwanzigste Grad, nicht die Anzahl und Summe derselben; so wäre es ein extensives; sondern es ist nur Einer, der zehnte, zwanzigste Grad. Er enthält die Bestimmtheit, welche in der Anzahl zehn, zwanzig liegt, aber enthält sie nicht als Mehrere, sondern ist die Zahl als aufgehobene Anzahl, als einfache Bestimmtheit.

3. In der Zahl ist das Quantum in seiner vollständigen Bestimmtheit gesetzt; als intensives Quantum aber als in ihrem Fürsichseyn, ist es gesetzt, wie es seinem Begriffe nach oder an sich ist. Die Form nämlich der Beziehung auf sich, welche es im Grade hat, ist zugleich das Sich-Aeußerlichseyn desselben. Die Zahl ist als extensives Quantum numerische Vielheit, und hat so die Aeußerlichkeit innerhalb ihrer. Diese, als Vieles überhaupt, fällt in die Ununterschiedenheit zusammen, und hebt sich auf in dem Eins der Zahl, ihrer Beziehung auf sich selbst. Das Quantum hat aber seine Bestimmtheit als Anzahl; es enthält, wie vorhin gezeigt worden, sie, ob sie gleich nicht mehr an ihm gesetzt ist. Der Grad also, der als in sich selbst einfach dieß äußerliche Andersseyn nicht mehr in ihm hat, hat es außer ihm, und bezieht sich darauf als auf seine Bestimmtheit. Eine ihm äußerliche Vielheit macht die Bestimmtheit der einfachen Grenze, welche er für sich ist, aus.

Daß die Anzahl, insofern sie sich innerhalb der Zahl im extensiven Quantum befinden sollte, sich darin aufhob, bestimmt sich somit dahin, daß sie außerhalb derselben gesetzt ist. Indem die Zahl als Eins, in sich reflektirte Beziehung auf sich selbst gesetzt ist, schheßt sie die Gleichgültigkeit und Aeußerlichkeit der Anzahl aus sich aus, und ist Beziehung auf sich als Beziehung durch sich selbst auf ein Aeußerliches.

Hierin hat das Quantum die seinem Begriffe gemäße Realität. Die Gleichgültigkeit der Bestimmtheit macht seine Qualität aus; d. i. die Bestimmtheit, die an ihr selbst als die sich äußerliche Bestimmtheit ist. Sonach ist der Grad einfache Größenbestimmtheit unter einer Mehrheit solcher Intensitäten, die verschieden, jede nur einfache Beziehung auf sich selbst, zugleich aber in wesentlicher Beziehung auf einander sind, so daß jede in dieser Kontinuität mit den anderen ihre Bestimmtheit hat. Diese Beziehung des Grades durch sich selbst auf sein Anderes, macht das Auf- und Absteigen an der Skale der Grade zu einem stätigen Fortgang, einem Fließen, das eine ununterbrochene, untheilbare Veränderung ist; jedes der Mehrern, die darin unterschieden werden, ist nicht getrennt von den Anderen, sondern hat sein Bestimmtseyn nur in diesen. Als sich auf sich beziehende Größebestimmung ist jeder der Grade gleichgültig gegen die andern; aber er ist eben so sehr an sich auf diese Aeußerlichkeit bezogen, er ist nur vermittelst derselben, was er ist, seine Beziehung auf sich ist in einem die nicht gleichgültige Beziehung auf das Aeußerliche, hat in dieser seine Qualität.

Der Grad ist nicht innerhalb seiner ein sich Aeußerliches. Allein er ist nicht das unbestimmte Eins, das Princip der Zahl überhaupt, das nicht Anzahl ist, als nur die negative, keine Anzahl zu sein. Die intensive Größe ist zunächst ein einfaches Eins der Mehrern; es sind mehrere Grade; bestimmt sind sie aber nicht, weder als einfaches Eins, noch als Mehrere, sondern nur in der Beziehung dieses Außersichseyns, oder in der Identität des Eins und der Mehrheit. Wenn also die Mehreren als solche zwar außer dem einfachen Grade sind, so besteht in seiner Beziehung auf sie seine Bestimmtheit; er enthält also die Anzahl. Wie zwanzig als extensive Größe die zwanzig Eins als diskrete in sich enthält, so enthält der bestimmte Grad sie als Kontinuität, welche diese bestimmte Mehrheit einfach ist; er ist der zwanzigste Grad; und ist der zwanzigste Grad nur vermittelst dieser Anzahl, die als solche außer ihm ist.

Die Bestimmtheit der intensiven Größe ist daher von doppelter Seite zu betrachten. Sie ist bestimmt durch andere intensive Quanta, und ist in Kontinuität mit ihrem Andersseyn, so daß in dieser Beziehung auf dasselbe ihre Bestimmtheit besteht. Insofern sie nun erstens die einfache Bestimmtheit ist, ist sie bestimmt gegen andere Grade; sie schließt dieselben aus sich aus, und hat ihre Bestimmtheit in diesem Ausschließen. Aber zweitens ist sie an ihr selbst bestimmt; sie ist dieß in der Anzahl, als in ihrer Anzahl, nicht in ihr als ausgeschlossener, oder nicht in der Anzahl anderer Grade. Der zwanzigste Grad enthält die zwanzig an ihm selbst; er ist nicht nur bestimmt als unterschieden vom neunzehnten, ein und zwanzigsten u.s.f. sondern seine Bestimmtheit ist seine Anzahl. Aber insofern die Anzahl die seinige ist, und die Bestimmtheit ist zugleich wesentlich als Anzahl, so ist er extensives Quantum.

Extensive und intensive Größe sind also eine und dieselbe Bestimmtheit des Quantums; sie sind nur dadurch unterschieden, daß die eine die Anzahl als innerhalb ihrer, die andere dasselbe, die Anzahl als außer ihr hat. Die extensive Größe geht in intensive Größe über, weil ihr Vieles an und für sich in die Einheit zusammenfällt, außer welcher das Viele tritt. Aber umgekehrt hat dieses Einfache seine Bestimmtheit nur an der Anzahl und zwar als seiner; als gleichgültig gegen die anders bestimmten Intensitäten hat es die Aeußerlichkeit der Anzahl an ihm selbst; so ist die intensive Größe eben so wesentlich extensive Größe.

Mit dieser Identität tritt das qualitative Etwas ein; denn sie ist sich durch die Negation ihrer Unterschiede auf sich beziehende Einheit, diese Unterschiede aber machen die daseyende Größe-Bestimmtheit aus; diese negative Identität ist also Etwas, und zwar das gegen seine quantitative Bestimmtheit gleichgültig ist. Etwas ist ein Quantum, aber nun ist das qualitative Daseyn, wie es an sich ist, als gleichgültig dagegen gesetzt. Es konnte vom Quantum, der Zahl als solcher u.s.f. ohne ein Etwas, das deren Substrat wäre, gesprochen werden. Aber nun tritt Etwas diesen seinen Bestimmungen, durch deren Negation init sich vermittelt, als für sich daseyend gegenüber, und, indem es ein Quantum hat, als dasselbe, welches ein extensives und intensives Quantum habe. Seine Eine Bestimmtheit, die es als Quantum hat, ist in den unterschiedenen Momenten der Einheit und der Anzahl gesetzt; sie ist nicht nur an sich Eine und dieselbe, sondern ihr Setzen in diesen Unterschieden, als extensives und intensives Quantum, ist das Zurückgehen in diese Einheit, die als negative das gegen sie gleichgültig gesetzte Etwas ist.

In der gewöhnlichen Vorstellung pflegen extensives und intensives Quantum so als Arten von Größen unterschieden zu werden, als ob es Gegenstände gäbe, die nur intensive, andere, die nur extensive Größe hätten. Ferner ist die Vorstellung einer philosophischen Naturwissenschaft hinzugekommen, welche das Mehrere, das Extensive, z.B. in der Grundbestimmung der Materie, einen Raum zu erfüllen, so wie in anderen Begriffen, in ein Intensives verwandelte, in dem Sinne, daß das Intensive, als das Dynamische die wahrhafte Bestimmung sey, und z.B. die Dichtigkeit oder specifische Raumerfüllung wesentlich nicht als eine gewisse Menge und Anzahl materieller Theile in einem Quantum Raum, sondern als ein gewisser Grad der raumerfüllenden Kraft der Materie gefaßt werden müsse.

Es sind hierbei zweierlei Bestimmungen zu unterscheiden. Bei dem, was man die Umwandlung der mechanischen Betrachtungsweise in die dynamische genannt hat, kommt der Begriff von außereinander bestehenden selbstständigen Theilen, die nur äußerlich in ein Ganzes verbunden sind, und der davon verschiedene Begriff von Kraft vor. Was in der Raumerfüllung einer Seits nur als eine Menge einander äußerlichen Atome angesehen wird, wird anderer Seits als die Aeußerung einer zu Grunde liegenden einfachen Kraft betrachtet. Diese Verhältnisse voll Ganzen und Theilen, der Kraft und ihrer Aeußerung, die hier einander gegenüber treten, gehören aber noch nicht hierher, sondern werden weiterhin betrachtet werden. Soviel läßt sich sogleich erinnern, daß das Verhältniß von Kraft und ihrer Aeußerung, das dem Intensiven entspricht, zwar zunächst das wahrhaftere ist gegen das Verhältniß von Ganzen und Theilen; aber daß darum die Kraft nicht weniger einseitig als das Intensive, und die Aeußerung, die Aeußerlichkeit des Extensiven, ebenso untrennbar von der Kraft ist, so daß ein und derselbe Inhalt ebenso sehr in beiden Formen, des Intensiven und des Extensiven, vorhanden ist.

Die andere Bestimmtheit, die dabei vorkommt, ist die quantitative als solche, die als extensives Quantum aufgehoben und in den Grad, als die wahrhaft seyn sollende Bestimmung, verwandelt wird; es ist aber gezeigt worden, daß dieser ebenso die erstere enthält, so daß die eine Form für die andere wesentlich ist, somit jedes Daseyn seine Größebestimmung eben so sehr als extensives wie als intensives Quantum darstellt.

Als Beispiel hiervon dient daher alles, insofern es in einer Größebestimmung erscheint. Selbst die Zahl hat diese gedoppelte Form nothwendig unmittelbar an ihr. Sie ist eine Anzahl, insofern ist sie extensive Größe; aber sie ist auch Eins, ein Zehen, ein Hundert; insofern steht sie auf dem Uebergange zur intensiven Größe, indem in dieser Einheit das Vielfache in Einfaches zusammengeht. Eins ist extensive Größe an sich, es kann als eine beliebige Anzahl von Theilen vorgestellt werden. So das Zehnte, das Hundertste ist dieß Einfache, Intensive, das seine Bestimmtheit an dem außer ihm fallenden Mehrern d. i. am Extensiven hat. Die Zahl ist Zehen, Hundert, und zugleich die Zehnte, Hundertste im Zahlensystem; beides ist dieselbe Bestimmtheit.

Das Eins im Kreise heißt Grad, weil der Theil des Kreises wesentlich seine Bestimmtheit in dem Mehrern außer ihm hat, als eines nur einer geschlossenen Anzahl solcher Eins bestimmt ist. Der Grad des Kreises ist als bloße Raumgröße nur eine gewöhnliche Zahl; als Grad angesehen ist er die intensive Größe, die einen Sinn nur hat, als bestimmt durch die Anzahl von Graden, in die der Kreis getheilt ist, wie die Zahl überhaupt ihren Sinn nur hat in der Zahlenreihe.

Die Größe eines konkretern Gegenstandes stellt ihre gedoppelte Seite, extensiv und intensiv zu seyn, an den gedoppelten Bestimmungen seines Daseyns dar, in deren einer er als ein Aeußerliches, in der andern aber als ein Innerliches erscheint. So ist z.B. eine Masse als Gewicht, ein extensiv-Großes, insofern sie eine Anzahl von Pfunden, Centnern u.s.f. ausmacht; ein intensiv-Großes, insofern sie einen gewissen Druck ausübt; die Größe des Drucks ist ein Einfaches, ein Grad, der seine Bestimmtheit an einer Scale von Graden des Druckes hat. Als drückend erscheint die Masse als ein In-sich-seyn, als Subjekt, dem der intensive Größenunterschied zukommt. Umgekehrt was diesen Grad des Drucks ausübt, ist vermögend, eine gewisse Anzahl von Pfunden u.s.f. von der Stelle zu bewegen, und mißt seine Größe hieran.

Oder die Wärme hat einen Grad; der Wärmegrad, er sey der l0te, 20ste u.s.f. ist eine einfache Empfindung, ein Subjektives. Aber dieser Grad ist eben so sehr vorhanden als extensive Größe, als die Ausdehnung einer Flüssigkeit, des Quecksilbers im Thermometer, der Luft oder des Thons u.s.f. Ein höherer Grad der Temperatur drückt sich aus als eine längere Quecksilbersäule, oder als ein schmälerer Thoncylinder; er erwärmt einen größern Raum auf dieselbe Weise als ein geringerer Grad nur den kleinern Raum.

Der höhere Ton ist als der intensivere, zugleich eine größere Menge von Schwingungen, oder ein lauterer Ton, dem ein höherer Grad zugeschrieben wird, macht sich in einem größern Raume hörbar. Mit der intensivern Farbe läßt sich eine größere Fläche, als mit einer schwächern, auf gleiche Weise färben; oder das Hellere, eine andere Art von Intensität, ist weiter sichtbar als das weniger Helle u.s.f.

Eben so im Geistigen ist die hohe Intensität des Charakters, Talents, Genies, von eben so weitgreifendem Daseyn, ausgedehnter Wirkung und vielseitiger Berührung. Der tiefste Begriff hat die allgemeinste Bedeutung und Anwendung.

Kant hat einen eigenthümlichen Gebrauch von der Anwendung der Bestimmtheit des intensiven Quantums auf eine metaphysische Bestimmung der Seele gemacht. In der Kritik der metaphysischen Sätze von der Seele, die er Paralogismen der reinen Vernunft nennt, kommt er auf die Betrachtung des Schlusses von der Einfachheit der Seele auf die Beharrlichkeit derselben. Er setzt diesem Schlusse entgegen, (Kr. d. r. Vern. S. 414), "daß, wenn wir gleich der Seele diese einfache Natur einräumen, da sie nämlich kein Mannigfaltiges außer einander, mithin keine extensive Größe enthält, man ihr doch so wenig wie irgend einem Existirenden, intensive Größe, d. i. einen Grad der Realität in Ansehung aller ihrer Vermögen, ja überhaupt alles dessen, was das Daseyn ausmacht, abläugnen könne, welcher durch alle unendlich viele kleinere Grade abnehmen, und so die vorgebliche Substanz obgleich nicht durch Vertheilung, doch durch allmälige Nachlassung (remissio) ihrer Kräfte, in nichts verwandelt werden könne; denn selbst das Bewußtseyn hatjederzeit einen Grad, der immer noch vermindert werden kann, folglich auch das Vermögen sich seiner bewußt zu seyn, und so alle übrige Vermögen." Die Seele wird in der rationellen Psychologie, wie diese abstrakte Metaphysik war, nicht als Geist, sondern als ein nur unmittelbar Seyendes, als Seelending betrachtet. So hat Kant das Recht, die Kategorie des Quantums, "wie auf irgend ein Existirendes" und insofern dieß Seyende als einfach bestimmt ist, die des intensiven Quantums auf dasselbe anzuwenden. Dem Geiste kommt allerdings Seyn zu, aber von ganz anderer Intensität, als die des intensiven Quantums ist, vielmehr einer solchen Intensität, in welcher die Form des nur unmittelbaren Seyns und alle Kategorie desselben als aufgehoben sind. Es war nicht nur die Entfernung der Kategorie des extensiven Quantums zuzugeben, sondern die des Quantums überhaupt zu entfernen. Ein Weiteres aber ist noch, zu erkennen, wie in der ewigen Natur des Geistes Daseyn, Bewußtseyn, Endlichkeit ist und daraus hervorgeht, ohne daß er dadurch ein Ding würde.

Der Unterschied des extensiven und intensiven Quantums ist der Bestimmtheit des Quantums als solcher gleichgültig. Aber überhaupt ist das Quantum die als aufgehoben gesetzte Bestimmtheit, die gleichgültige Grenze, die Bestimmtheit, welche eben so sehr die Negation ihrer selbst ist. In der extensiven Größe ist dieser Unterschied entwickelt, aber die intensive Größe ist das Daseyn dieser Aeußerlichkeit, die das Quantum in sich ist. Er ist als sein Widerspruch in sich selbst gesetzt, die einfache sich auf sich beziehende Bestimmtheit zu seyn, welche die Negation ihrer selbst ist, ihre Bestimmtheit nicht an ihr, sondern in einem anderen Quantum zu haben.

Ein Quantum ist also seiner Qualität nach in absoluter Kontinuität mit seiner Aeußerlichkeit, mit seinem Andersseyn, gesetzt. Es kann daher nicht nur über jede Größebestimmtheit hinausgegangen, sie kann nicht nur verändert werden, sondern es ist dieß gesetzt, daß sie sich verändern muß. Die Größebestimmung kontinuirt sich so in ihr Andersseyn, daß sie ihr Seyn nur in dieser Kontinuität mit einem anderen hat; sie ist nicht eine seyende, sondern eine werdende Grenze.

Das Eins ist unendlich oder die sich auf sich beziehende Negation, daher die Repulsion seiner von sich selbst. Das Quantum ist gleichfalls unendlich, gesetzt als die sich auf sich beziehende Negativität; es repellirt sich von sich selbst. Aber es ist ein bestimmtes Eins, das Eins welches in Daseyn und in die Grenze übergegangen ist, also die Repulsion der Bestimmtheit von sich selbst, nicht das Erzeugen des sich selbst Gleichen, wie die Repulsion des Eins, sondern seines Andersseyns, es ist nun an ihm selbst gesetzt, über sich hinaus zu schicken, und ein Anderes zu werden. Es besteht darin, sich zu vermehren oder zu verhindern; es ist die Aeußerlichkeit der Bestimmtheit an ihm selbst.

Das Quantum schickt sich also selbst über sich hinaus; dieß Andere, zu dem es wird, ist zunächst selbst ein Quantum; aber ebenso als eine nicht seyende, sondern sich über sich selbst hinaustreibende Grenze. Die in diesem Hinausgehen wieder entstandene Grenze ist also schlechthin nur eine solche, die sich wieder aufhebt und zu einer fernern schickt, und so fort ins Unendliche.

Das Quantum verändert sich und wird ein anderes Quantum; die weitere Bestimmung dieser Veränderung, daß sie ins Unendliche fortgeht, liegt darin, daß das Quantum als an ihm selbst sich widersprechend gestellt ist. Das Quantum wird ein Anderes; es kontinuirt sich aber in sein Andersseyn; das Andere ist also auch ein Quantum. Aber dieses ist das Andere nicht nur eines Quantums, sondern des Quantums selbst, das Negative seiner als eines Begrenzten, somit seine Unbegrenztheit, Unendlichkeit. Das Quantum ist ein Sollen; es enthält, Für-sich-bestimmt zu seyn, und dieses Für-sich-bestimmtseyn ist vielmehr das Bestimmtseyn in einem Anderen; und umgekehrt ist es das aufgehobene Bestimmtseyn in einem Andern, ist gleichgültiges Bestehen-für-sich.

Die Endlichkeit und Unendlichkeit erhalten dadurch sogleich jede an ihr selbst eine gedoppelte, und zwar entgegengesetzte Bedeutung. Endlich ist das Quantum erstens als Begrenztes überhaupt, zweitens, als das Hinausschicken über sich selbst, als das Bestimmtseyn in einem Anderen. Die Unendlichkeit desselben aber ist erstens sein Nichtbegrenztseyn; zweitens sein Zurückgekehrtseyn-in-sich, das gleichgültige Fürsichseyn. Vergleichen wir sogleich diese Momente mit einander, so ergiebt sich, daß die Bestimmung der Endlichkeit des Quantums, das Hinausschicken über sich zu einem Anderen, in dem seine Bestimmung liege, ebenso Bestimmung des Unendlichen ist; die Negation der Grenze ist dasselbe Hinaus über die Bestimmtheit, so daß das Quantum in dieser Negation, dem Unendlichen, seine letzte Bestimmtheit habe. Das andere Moment der Unendlichkeit ist das gegen die Grenze gleichgültige Fürsichseyn; das Quantum selbst aber ist so das Begrenzte, daß es das für sich Gleichgültige gegen seine Grenze, damit gegen andere Quanta und sein Hinaus, ist. Die Endlichkeit und die (von ihr getrennt seyn sollende, schlechte) Unendlichkeit haben beim Quantum jede das Moment der anderen bereits an ihr.

Das qualitative und quantitative Unendliche unterscheiden sich dadurch, daß im ersten der Gegensatz des Endlichen und Unendlichen qualitativ ist, und der Uebergang des Endlichen in das Unendliche, oder die Beziehung beider auf einander nur im Ansich, in ihrem Begriffe liegt. Die qualitative Bestimmtheit ist als unmittelbar, und bezieht sich auf das Andersseyn wesentlich als auf ein ihr anderes Seyn, sie ist nicht gesetzt, ihre Negation, ihr Anderes an ihr selbst zu haben. Die Größe hingegen ist, als solche, aufgehobene Bestimmtheit; sie ist gesetzt, ungleich mit sich und gleichgültig gegen sich selbst, daher das Veränderliche zu seyn. Das qualitative Endliche und Unendliche stehen sich daher absolut d. h. abstrakt gegeneinander über; ihre Einheit ist, die zu Grunde liegende innerliche Beziehung; das Endliche kontinuirt sich daher nur an sich, aber nicht an ihm, in sein Anderes. Hingegen das quantitative Endliche bezieht sich an ihm selbst in sein Unendliches, an dem es seine absolute Bestimmtheit habe. Diese ihre Beziehung stellt zunächst der quantitativ-unendliche Progreß dar.

Der Progreß ins Unendliche ist überhaupt der Ausdruck des Widerspruchs, hier desjenigen, den das quantitativ-Endliche oder das Quantum überhaupt enthält. Er ist die Wechselbestimmung des Endlichen und Unendlichen, die in der qualitativen Sphäre betrachtet worden ist, mit dem Unterschiede, daß wie so eben erinnert, im Quantitativen sich die Grenze an ihr selbst in ihr Jenseits fortschickt und fortsetzt, somit umgekehrt auch das quantitativ-Unendliche gesetzt ist, das Quantum an ihm selbst zu haben, denn das Quantum ist in seinem Außersichseyn zugleich es selbst; seine Aeußerlichkeit gehört seiner Bestimmung an.

Der unendliche Progreß ist nun nur der Ausdruck dieses Widerspruchs, nicht die Auflösung desselben, aber um der Kontinuität willen der einen Bestimmtheit in ihre andere führt er eine scheinbare Auflösung in einer Vereinigung beider herbei. Wie er zunächst gesetzt ist, ist er die Aufgabe des Unendlichen, nicht die Erreichung desselben; das perennirende Erzeugen desselben, ohne über das Quantum selbst hinauszukommen, und ohne daß das Unendliche ein Positives und Gegenwärtiges würde. Das Quantum hat es in seinem Begriffe ein Jenseits seiner zu haben. Dieß Jenseits ist erstlich das abstrakte Moment des Nichtseyns des Quantums; dieses löst sich an sich selbst auf; so bezieht es sich auf sein Jenseits als auf seine Unendlichkeit, nach dem qualitativen Momente des Gegensatzes. Aber zweitens steht das Quantum in Kontinuität mit diesem Jenseits; das Quantum besteht eben darin, das Andere seiner selbst, sich selbst äußerlich zu seyn; also ist dieß Aeußerliche eben so sehr nicht ein Anderes als das Quantum; das Jenseits oder das Unendliche ist also selbst ein Quantum. Das Jenseits ist auf diese Weise aus seiner Flucht zurückgerufen, und das Unendliche erreicht. Aber weil dieß zum Diesseits gewordene wieder ein Quantum ist, ist nur wieder eine neue Grenze gesetzt worden; diese, als Quantum, ist auch wieder von sich selbst geflohen, ist als solches über sich hinaus, und hat sich in sein Nichtseyn, in sein Jenseits von sich selbst repellirt, das ebenso perennirend zum Quantum wird, als dieses sich von sich selbst zum Jenseits abstößt.

Die Kontinuität des Quantums in sein Anderes bringt die Verbindung beider in dem Ausdruck eines Unendlich-Großen oder Unendlich-Kleinen hervor. Da beide die Bestimmung des Quantums noch an ihnen haben, bleiben sie veränderliche und die absolute Bestimmtheit, die ein Für-sichseyn wäre, ist also nicht erreicht. Dieß Außersichseyn der Bestimmung ist in dem gedoppelten Unendlichen, das sich nach dem Mehr und Weniger entgegengesetzt ist, dem Unendlich-großen und Kleinen, gesetzt. An jedem selbst ist das Quantum im perennirenden Gegensatze gegen sein Jenseits erhalten. Das Große noch so sehr erweitert, schwindet zur Unbeträchtlichkeit zusammen; indem es sich auf das Unendliche als auf sein Nichtseyn bezieht, ist der Gegensatz qualitativ; das erweiterte Quantum hat daher dem Unendlichen nichts abgewonnen; dieses ist vor wie nach das Nichtseyn desselben. Oder, die Vergrößerung des Quantums ist keine Näherung zum Unendlichen, denn der Unterschied des Quantums und seiner Unendlichkeit hat wesentlich auch das Moment ein nicht quantitativer Unterschied zu seyn. Es ist nur der ins Engere gebrachte Ausdruck des Widerspruchs; es soll ein Großes d. i. ein Quantum, und unendlich, d. i. kein Quantum seyn. Eben so das Unendlichkleine ist als Kleines ein Quantum und bleibt daher absolut d. h. qualitativ zu groß für das Unendliche, und ist diesem entgegengesetzt. Es bleibt in beiden der Widerspruch des unendlichen Progresses erhalten der in ihnen sein Ziel gefunden haben sollte.

Diese Unendlichkeit, welche als das Jenseits des Endlichen beharrlich bestimmt ist, ist als die schlechte quantitative Unendlichkeit zu bezeichnen. Sie ist wie die qualitative schlechte Unendlichkeit, das perennirende Herüber- und Hinübergehen von dem einen Gliede des bleibenden Widerspruchs zum andern, von der Grenze zu ihrem Nichtseyn, von diesem aufs neue zurück zu ebenderselben, zur Grenze. Im Progresse des Quantitativen ist das, zu dem fortgegangen wird, zwar nicht ein abstrakt Anderes überhaupt, sondern ein als verschieden gesetztes Quantum; aber es bleibt auf gleiche Weise im Gegensatze gegen seine Negation. Der Progreß ist daher gleichfalls nicht ein Fortgehen und Weiterkommen, sondern ein Wiederholen von einem und eben demselben, Setzen, Aufheben, und Wiedersetzen und Wiederaufheben; eine Ohnmacht des Negativen, dem das, was es aufhebt, durch sein Aufheben selbst als ein Kontinuirliches wiederkehrt. Es sind zwei so zusammengeknüpft, daß sie sich schlechthin fliehen; und indem sie sich fliehen, können sie sich nicht trennen, sondern sind in ihrer gegenseitigen Flucht verknüpft.

Die schlechte Unendlichkeit pflegt vornehmlich in der Form des Progresses des Quantitativen ins Unendliche, dieß fortgehende Ueberfliegen der Grenze, das die Ohnmacht ist, sie aufzuheben, und der perennirende Rückfall in dieselbe, für etwas Erhabenes und für eine Art von Gottesdienst gehalten zu werden, so wie derselbe in der Philosophie als ein Letztes angesehen worden ist. Dieser Progreß hat vielfach zu Tiraden gedient, die als erhabene Produktionen bewundert worden sind. In der That aber macht diese moderne Erhabenheit nicht den Gegenstand groß, welcher vielmehr entflieht, sondern nur das Subjekt, das so große Quantitäten in sich verschlingt. Die Dürftigkeit dieser subjektiv bleibenden Erhebung, die an der Leiter des Quantitativen hinaufsteigt, thut sich selbst damit kund, daß sie in vergeblicher Arbeit dem unendlichen Ziele nicht näher zu kommen eingesteht, welches zu erreichen freilich ganz anders anzugreifen ist.

Bei folgenden Tiraden dieser Art ist zugleich ausgedrückt, in was solche Erhebung übergeht und aufhört. Kant z.B. führt es als erhaben auf, (Kr. d. prakt. V. Schl.)

"wenn das Subjekt mit dem Gedanken sich über den Platz erhebt, den es in der Sinnenwelt einnimmt, und die Verknüpfung ins unendlich Große erweitert, eine Verknüpfung mit Sternen über Sternen, mit Welten über Welten, Systemen über Systemen, überdem noch in grenzenlose Zeiten ihrer periodischen Bewegung, deren Anfang und Fortdauer. Das Vorstellen erliegt diesem Fortgehen ins Unermeßlich-Ferne, wo die fernste Welt immer noch eine fernere hat, die so weit zurückgeführte Vergangenheit noch eine weitere hinter sich, die noch so weit hinausgeführte Zukunft immer noch eine andere vor sich; der Gedanke erliegt dieser Vorstellung des Unermeßlichen; wie ein Traum, daß einer einen langen Gang immer weiter und unabsehbar weiter fortgehe, ohne ein Ende abzusehen, mit Fallen oder mit Schwindel endet."

Diese Darstellung, außerdem daß sie den Inhalt des quantitativen Erhebens in einen Reichthum der Schilderung zusammendrängt, verdient wegen der Wahrhaftigkeit vornehmlich Lob, mit der sie es angiebt, wie es dieser Erhebung am Ende ergeht: der Gedanke erliegt, das Ende ist Fallen und Schwindel. Was den Gedanken erliegen macht, und das Fallen desselben und den Schwindel hervorbringt, ist nichts anderes, als die Langeweile der Wiederholung, welche eine Grenze verschwinden und wieder auftreten und wieder verschwinden, so immer das eine um das andere, und eins im andern, in dem Jenseits das Diesseits, in dem Diesseits das Jenseits perennierend entstehen und vergehen läßt, und nur das Gefühl der Ohnmacht dieses Unendlichen oder dieses Sollens giebt, das über das Endliche Meister werden will und nicht kann.

Auch die hallersche, von Kant sogenannte schauderhafte Beschreibung der Ewigkeit pflegt besonders bewundert zu werden, aber oft gerade nicht wegen derjenigen Seite, die das wahrhafte Verdienst derselben ausmacht:

Wenn auf jenes Aufbürgen und Aufthürmen von Zahlen und Welten als auf eine Beschreibung der Ewigkeit der Werth gelegt wird, so wird übersehen, daß der Dichter selbst dieses sogenannte schauderhafte Hinausgehen für etwas Vergebliches und Hohles erklärt, und daß er damit schließt, daß nur durch das Aufgeben dieses leeren unendlichen Progresses das wahrhafte Unendliche selbst zur Gegenwart vor ihn komme.

Es hat Astronomen gegeben, die sich auf das Erhabene ihrer Wissenschaft gern darum viel zu Gute thaten, weil sie mit einer unermeßlichen Menge von Sternen, mit so unermeßlichen Räumen und Zeiten zu thun habe, in denen Entfernungen und Perioden, die für sich schon groß sind, zu Einheiten dienen, welche noch so vielmal genommen, sich wieder zur Unbedeutenheit verkürzen. Das schaale Erstaunen, dem sie sich dabei überlassen, die abgeschmackten Hoffnungen, erst noch in jenem Leben von einem Sterne zum anderen zu reisen und ins Unermeßliche fort dergleichen neue Kenntnisse zu erwerben, gaben sie für ein Hauptmoment der Vortreflichkeit ihrer Wissenschaft aus, welche bewundernswürdig ist, nicht um solcher quantitativen Unendlichkeit willen, sondern im Gegentheil um der Maaßverhältnisse und der Gesetze willen, welche die Vernunft in diesen Gegenständen erkennt, und die das vernünftige Unendliche gegen jene unvernünftige Unendlichkeit sind.

Der Unendlichkeit, die sich auf die äußere sinnliche Anschauung bezieht, setzt Kant die andere Unendlichkeit gegenüber, wenn

"das Individuum auf sein unsichtbares Ich zurückgeht, und die absolute Freiheit seines Willens als ein reines Ich allen Schrecken des Schicksals und der Thyrannei entgegenstellt, von seinen nächsten Umgebungen anfangend, sie für sich verschwinden, eben so das, was als dauernd erscheint, Welten über Welten in Trümmer zusammenstürzen läßt, und einsam sich als sich selbst gleich erkennt."

Ich in dieser Einsamkeit mit sich ist zwar das erreichte Jenseits, es ist zu sich selbst gekommen, ist bei sich, diesseits; im reinen Selbstbewußtseyn ist die absolute Negativität zur Affirmation und Gegenwart gebracht, welche in jenem Fortgehen über das sinnliche Quantum nur flieht. Aber indem dieß reine Ich in seiner Abstraktion und Inhaltslosigkeit sich fixirt, hat es das Daseyn überhaupt, die Fülle des natürlichen und geistigen Universums, als ein Jenseits sich gegenüber. Es stellt sich derselbe Widerspruch dar, der dem unendlichen Progresse zu Grunde liegt; nämlich ein Zurückgekehrtseyn in sich, das unmittelbar zugleich Außersichseyn, Beziehung auf sein Anderes als auf sein Nichtseyn, ist; welche Beziehung eine Sehnsucht bleibt, weil Ich sich seine gehaltlose und unhaltbare Leere einer Seits, und die in der Negation doch präsent bleibende Fülle als sein Jenseits fixirt hat.

Kant fügt diesen beiden Erhabenheiten die Bemerkung bei, "daß Bewunderung (für die erstere, äußerliche) und Achtung (für die zweite, innerliche) Erhabenheit, zwar zur Nachforschung reizen, aber den Mangel derselben nicht ersetzen können". Er erklärt damit jene Erhebungen als unbefriedigend für die Vernunft, welche bei ihnen und den damit verbundenen Empfindungen nicht stehen bleiben, und das Jenseits und Leere nicht für das Letzte gelten lassen kann.

Als ein Letztes aber ist der unendliche Progreß vornehmlich in seiner Anwendung auf die Moralität genommen worden. Der so eben angeführte zweite Gegensatz des Endlichen und Unendlichen, als der mannigfaltigen Welt und des in seine Freiheit erhobenen Ichs, ist zunächst qualitativ. Das Selbstbestimmen des Ich geht zugleich darauf, die Natur zu bestimmen und sich von ihr zu befreien; so bezieht es sich durch sich selbst auf sein Anderes, welches als äußerliches Daseyn ein Vielfältiges und auch Quantitatives ist. Die Beziehung auf ein Quantitatives wird selbst quantitativ; die negative Beziehung des Ich darauf, die Macht des Ich über das Nicht-Ich, über die Sinnlichkeit und äußere Natur, wird daher so vorgestellt, daß die Moralität immer größer, die Macht der Sinnlichkeit aber immer kleiner werden könne und solle. Die völlige Angemessenheit aber des Willens zum moralischen Gesetze wird in den ins Unendliche gehenden Progreß verlegt, das heißt, als ein absolutes unerreichbares Jenseits vorgestellt, und eben dieß solle der wahre Anker und der rechte Trost seyn, daß es ein Unerreichbares ist; denn die Moralität soll als Kampf seyn; dieser aber ist nur unter der Unangemessenheit des Willens zum Gesetze, dieses damit schlechthin ein Jenseits für ihn.

In diesem Gegensatze werden Ich und Nicht-Ich oder der reine Wille und das moralische Gesetz, und die Natur und Sinnlichkeit des Willens als vollkommen selbstständig und gleichgültig gegeneinander vorausgesetzt. Der reine Wille hat sein eigenthümliches Gesetz, das in wesentlicher Beziehung auf die Sinnlichkeit steht; und die Natur und Sinnlichkeit hat ihrer Seits Gesetze, die weder aus dem Willen genommen und ihm entsprechend sind, noch auch nur, wenn gleich verschieden davon, an sich eine wesentliche Beziehung auf ihn hätten, sondern sie sind überhaupt für sich bestimmt, in sich fertig und geschlossen. Zugleich sind beide aber Momente eines und desselben einfachen Wesens, des Ich; der Wille ist als das Negative gegen die Natur bestimmt, so daß er nur ist, insofern ein solches von ihm verschiedenes ist, das von ihm aufgehoben werde, von dem er aber hierin berührt und selbst afficirt ist. Der Natur und ihr als Sinnlichkeit des Menschen ist als einem selbstständigen System von Gesetzen das Beschränken durch ein anderes gleichgültig; sie erhält sich in diesem Begrenztwerden, tritt selbstständig in die Beziehung ein, und begrenzt den Willen des Gesetzes eben so sehr, als er sie begrenzt. Es ist Ein Act, daß der Wille sich bestimmt und das Andersseyn einer Natur aufhebt, und daß dieß Andersseyn als daseyend gesetzt ist, sich in sein Aufgehobenwerden kontinuirt, und nicht aufgehoben ist. Der Widerspruch, der hierin liegt, wird im unendlichen Progresse nicht aufgelöst, sondern im Gegentheil als unaufgelöst und unauflösbar dargestellt und behauptet; der Kampf der Moralität und der Sinnlichkeit wird vorgestellt, als das an und für sich seyende, absolute Verhältniß.

Die Ohnmacht über den qualitativen Gegensatz des Endlichen und Unendlichen Meister zu werden und die Idee des wahrhaften Willens, die substantielle Freiheit, zu fassen, nimmt zur Größe ihre Zuflucht, um sie als die Mittlerin zu gebrauchen, weil sie das aufgehobene Qualitative, der gleichgültig gewordene Unterschied, ist. Allein indem beide Glieder des Gegensatzes als qualitativ verschieden zu Grunde liegen bleiben, so wird vielmehr dadurch, daß sie sich in ihrer gegenseitigen Beziehung als Quanta verhalten, jedes sogleich als gegen diese Veränderung gleichgültig gesetzt. Die Natur wird durch Ich, die Sinnlichkeit durch den Willen des Guten bestimmt, die durch denselben an ihr hervorgebrachte Veränderung ist nur ein quantitativer Unterschied, ein solcher, der sie als das bestehen läßt, was sie ist.

In der abstraktern Darstellung der kantischen Philosophie oder wenigstens ihrer Principien, nämlich in der fichteschen Wissenschaftslehre, macht der unendliche Progreß auf dieselbe Weise die Grundlage und das Letzte aus. Auf den ersten Grundsatz dieser Darstellung, Ich=Ich, folgt ein zweiter davon unabhängiger, die Entgegensetzung des Nicht-Ich; die Beziehung beider wird sogleich auch als quantitativer Unterschied angenommen, daß Nicht-Ich zum Theil durch Ich bestimmt werde, zum Theil auch nicht. Das Nicht-Ich kontinuirt sich auf diese Weise in sein Nichtseyn so, daß es seinem Nichtseyn entgegengesetzt bleibt, als ein nicht Aufgehobenes. Nachdem daher die Widersprüche, die darin liegen, im System entwickelt worden sind, so ist das schließliche Resultat dasjenige Verhältniß, welches der Anfang war; das Nicht-Ich bleibt ein unendlicher Anstoß, ein absolut-Anderes; die letzte Beziehung seiner und des Ich aufeinander ist der unendliche Progreß, Sehnsucht und Streben, derselbe Widerspruch, mit welchem angefangen wurde.

Weil das Quantitative die als aufgehoben gesetzte Bestimmtheit ist, so glaubte man für die Einheit des Absoluten, für die Eine Substantialität, Viel oder vielmehr Alles gewonnen zu haben, indem man den Gegensatz überhaupt zu einem nur quantitativen Unterschiede herabsetzte. Aller Gegensatz ist nur quantitativ, war einige Zeit ein Hauptsatz neuerer Philosophie; die entgegengesetzten Bestimmungen haben dasselbe Wesen, denselben Inhalt, sie sind reale Seiten des Gegensatzes, insofern jede derselben seine beiden Bestimmungen, beide Faktoren, in ihr hat, nur daß auf der einen Seite der eine Faktor, auf der anderen der andere überwiegend, in der einen Seite der eine Faktor, eine Materie oder Thätigkeit, in größerer Menge oder in stärkerem Grade vorhanden sey, als in der andern. Insofern verschiedene Stoffe oder Thätigkeiten vorausgesetzt werden, bestätigt und vollendet der quantitative Unterschied vielmehr deren Aeußerlichkeit und Gleichgültigkeit gegeneinander und gegen ihre Einheit. Der Unterschied der absoluten Einheit soll nur quantitativ seyn; das Quantitative ist zwar die aufgehobene unmittelbare Bestimmtheit, aber die nur unvollkommene, erst die erste Negation, nicht die unendliche, nicht die Negation der Negation. Indem Seyn und Denken als quantitative Bestimmungen der absoluten Substanz vorgestellt werden, werden auch sie, als Quanta, wie in untergeordneter Sphäre, der Kohlenstoff, Stickstoff u.s.f. sich vollkommen äußerlich und beziehungslos. Es ist ein Drittes, eine äußerliche Reflexion, welche von ihrem Unterschiede abstrahirt, und ihre innere, nur ansichseyende, nicht ebenso für-sich-seyende, Einheit erkennt. Diese Einheit, wird dann in der That nur als erste unmittelbare vorgestellt, oder nur als Seyn, welches in seinem quantitativen Unterschiede sich gleich bleibt, aber nicht sich durch sich selbst gleich setzt; es ist somit nicht begriffen, als Negation der Negation, als unendliche Einheit. Nur im qualitativen Gegensatze geht die gesetzte Unendlichkeit, das Fürsichseyn, hervor, und die quantitative Bestimmung selbst geht, wie sich sogleich näher ergeben wird, in das Qualitative über.

Es ist oben erinnert worden, daß die kantischen Antinomien Darstellungen des Gegensatzes des Endlichen und Unendlichen, in einer konkreteren Gestalt, auf speciellere Substrate der Vorstellung angewendet, sind. Die daselbst betrachtete Antinomie enthielt den Gegensatz der qualitativen Endlichkeit und Unendlichkeit. In einer andern, der ersten der vier kosmologischen Antinomien, ist es mehr die quantitative Grenze, die in ihrem Widerstreite betrachtet wird. Ich will die Untersuchung dieser Antinomie daher hier anstellen.

Sie betrifft die Begrenztheit oder Unbegrenztheit der Welt in Zeit und Raum. Es konnte eben so gut dieser Gegensatz auch in Rücksicht auf Zeit und Raum selbst betrachtet werden, denn ob Zeit und Raum Verhältnisse der Dinge selbst, oder aber nur Formen der Anschauung sind, ändert nichts für das Antinomische der Begrenztheit oder Unbegrenztheit in ihnen.

Die nähere Auseinanderlegung dieser Antinomie wird gleichfalls zeigen, daß die beiden Sätze und eben so ihre Beweise, die wie bei der oben betrachteten apogogisch geführt sind, auf nichts, als auf die zwei einfachen, entgegengesetzten Behauptungen hinauslaufen: es ist eine Grenze, und: es muß über die Grenze hinausgegangen werden.

" Die Welt hat einen Anfang in der Zeit, und ist dem Raume nach auch in Grenzen eingeschlossen."

Der eine Theil des Beweises, die Zeit betreffend, nimmt das Gegentheil an, "die Welt habe der Zeit nach keinen Anfang, so ist bis zu jedem gegebenen Zeitpunkt eine Ewigkeit abgelaufen, und mithin eine unendliche Reihe auf einander folgender Zustände der Dinge in der Welt verflossen. Nun besteht aber eben darin die Unendlichkeit einer Reihe, daß sie durch successive Synthesis niemals vollendet seyn kann. Also ist eine unendliche verflossene Weltreihe unmöglich, mithin ein Anfang der Welt eine nothwendige Bedingung ihres Daseyns; welches zu erweisen war."

Der andere Theil des Beweises, der den Raum betrifft, wird auf die Zeit zurückgeführt. Das Zusammenfassen der Theile einer im Raume unendlichen Welt erforderte eine unendliche Zeit, welche als abgelaufen angesehen werden müßte, insofern die Welt im Raume nicht als ein Werdendes, sondern als ein vollendetes Gegebenes anzusehen ist. Von der Zeit aber wurde im ersten Theile des Beweises gezeigt, daß eine unendliche Zeit als abgelaufen anzunehmen unmöglich sey.

Man sieht aber sogleich, daß es unnöthig war, den Beweis apagogisch zu machen, oder überhaupt einen Beweis zu führen, indem in ihm selbst unmittelbar die Behauptung dessen zu Grunde liegt, was bewiesen werden sollte. Es wird nämlich irgend ein oder jeder gegebene Zeitpunkt angenommen, bis zu welchem eine Ewigkeit ( Ewigkeit hat hier nur den geringen Sinii einer schlecht-unendlichen Zeit) abgelaufen sey. Ein gegebener Zeitpunkt heißt nun nichts Anders, als eine bestimmte Grenze in der Zeit. Im Beweise wird also eine Grenze der Zeit als wirklich vorausgesetzt; sie ist aber eben das, was bewiesen werden sollte. Denn die Thesis besteht darin, daß die Welt einen Anfang in der Zeit habe.

Nur der Unterschied findet Statt, daß die angenommene Zeitgrenze ein Jetzt, als Ende der vorher verflossenen, die zu beweisende aber Jetzt als Anfang einer Zukunft ist. Allein dieser Unterschied ist unwesentlich. Jetzt wird als der Punkt angenommen, in welchem eine unendliche Reihe auf einander folgender Zustände der Dinge in der Zeit verflossen seyn soll, also als Ende, als qualitative Grenze. Würde dieß Jetzt nur als quantitative Grenze betrachtet, welche fließend und über die nicht nur hinaus zu gehen sondern die vielmehr nur dieß sey, über sich hinauszugehen, so wäre die unendliche Zeitreihe in ihr nicht verflossen, sondern führe fort zu fließen, und das Raisonnement des Beweises fiele weg. Dagegen ist der Zeitpunkt als qualitative Grenze für die Vergangenheit angenommen, aber ist so zugleich Anfang für die Zukunft, denn an sich ist jeder Zeitpunkt die Beziehung der Vergangenheit und der Zukunft, auch ist er absoluter d. h. abstrakter Anfang für dieselbe, d. i. das, was bewiesen werden sollte. Es thut nichts zur Sache, daß vor seiner Zukunft und diesem ihrem Anfange schon eine Vergangenheit ist; indem dieser Zeitpunkt qualitative Grenze ist, und als qualitative ihn anzunehmen, liegt in der Bestimmung des Vollendeten, Abgelaufenen, also sich nicht Kontinuirenden, so ist die Zeit in ihm abgebrochen, und jene Vergangenheit, ohne Beziehung auf diejenige Zeit, welche nur Zukunft in Rücksicht auf diese Vergangenheit genannt werden konnte, und daher ohne solche Beziehung nur Zeit überhaupt ist, die einen absoluten Anfang hat. Stünde sie aber, (wie sie es denn tut ) durch das Jetzt, den gegebenen Zeitpunkt, in einer Beziehung auf die Vergangenheit, wäre sie somit als Zukunft bestimmt, so wäre auch dieser Zeitpunkt von der anderen Seite keine Grenze, die unendliche Zeitreihe kontinuirte sich in dem, was Zukunft hieß, und wäre nicht, wie angenommen worden, vollendet.

In Wahrheit ist die Zeit reine Quantität; der im Beweise gebrauchte Zeitpunkt, in welchem sie unterbrochen seyn sollte, ist vielmehr nur das sich selbst aufhebende Fürsichseyn des Jetzt. Der Beweis leistet nichts, als daß er die in der Thesis behauptete absolute Grenze der Zeit als einen gegebenen Zeitpunkt vorstellig macht und ihn als vollendeten, d. i. abstrakten Punkt, geradezu annimmt, eine populare Bestimmung, welche das sinnliche Vorstellen leicht als eine Grenze passiren, somit im Beweise dieß als Annahme gelten läßt, was vorher als das zu Beweisende aufgestellt wurde.

" Die Welt hat keinen Anfang und keine Grenzen im Raume, sondern ist sowohl in Ansehung der Zeit als des Raumes unendlich."

"Die Welt habe einen Anfang. Da der Anfang ein Daseyn ist, wovor eine Zeit vorhergeht, darin das Ding nicht ist, so muß eine Zeit vorhergegangen seyn, darin die Welt nicht war, d. i. eine leere Zeit. Nun ist aber in einer leeren Zeit kein Entstehen irgend eines Dings möglich; weil kein Theil einer solchen Zeit vor einem anderen irgend eine unterscheidende Bedingung des Daseyns vor der des Nichtdaseyns an sich hat. Also kann zwar in der Welt manche Reihe der Dinge anfangen, die Welt selbst aber keinen Anfang nehmen, und ist in Ansehung der vergangenen Zeit unendlich."

Dieser apogogische Beweis enthält, wie die andern, die direkte und unbewiesene Behauptung dessen, was er beweisen sollte. Er nimmt neihlich zuerst ein Jenseits des weltlichen Daseyns, eine leere Zeit, an; aber kontinuirt alsdann auch das weltliche Daseyn ebenso sehr über sich hinaus in diese leere Zeit hinein, hebt diese dadurch auf, und setzt somit das Daseyn ins Unendliche fort. Die Welt ist ein Daseyn; der Beweis setzt voraus, daß dieß Daseyn entstehe, und das Entstehen eine in der Zeit vorhergehende Bedingung habe. Darin aber eben besteht die Antithesis selbst, daß es kein unbedingtes Daseyn, keine absolute Grenze gebe, sondern das weltliche Daseyn immer eine vorhergehende Bedingung fordere. Das zu Erweisende findet sich somit als Annahme in dem Beweise. Die Bedingung wird dann ferner in der leeren Zeit gesucht, was so viel heißt, als daß sie als zeitlich und somit als Daseyn, und Beschränktes angenommen wird. Ueberhaupt also ist die Annahme gemacht, daß die Welt als Daseyn ein anderes bedingtes Daseyn in der Zeit voraussetze und hiermit sofort ins Unendliche.

Der Beweis in Ansehung der Unendlichkeit der Welt im Raume ist dasselbe. Apogogischer Weise wird die räumliche Endlichkeit der Welt gesetzt; "diese befände sich somit in einem leeren unbegrenzten Raume, und hätte ein Verhältniß zu ihm; ein solches Verhältniß der Welt zu keinem Gegenstande aber ist Nichts."

Was bewiesen werden sollte, ist hier ebenso im Beweise direkt vorausgesetzt. Es wird direkt angenommen, daß die begrenzte räumliche Welt sich in einem leeren Raume befinden und ein Verhältniß zu ihm haben sollte, das heißt, daß über sie hinausgegangen werden müsse, einer Seits in das Leere, in das Jenseits und Nichtseyn derselben, anderer Seits aber daß sie damit im Verhältniß stehe, d. i. sich darein hinein kontinuire, das Jenseits hiermit mit weltlichem Daseyn erfüllt vorzustellen sey. Die Unendlichkeit der Welt im Raume, die in der Antithesis behauptet wird, ist nichts anderes, als einer Seits der leere Raum, anderer Seits das Verhältniß der Welt zu ihm, das heißt Kontinuität derselben in ihm, oder die Erfüllung desselben; welcher Widerspruch, der Raum zugleich als leer und zugleich als erfüllt, der unendliche Progreß des Daseyns im Raume ist. Dieser Widerspruch selbst, das Verhältniß der Welt zum leeren Raume, ist im Beweise direkt zur Grundlage gemacht.

Die Thesis und Antithesis und die Beweise derselben stellen daher nichts dar, als die entgegengesetzten Behauptungen, daß eine Grenze ist, und daß die Grenze eben so sehr nur eine aufgehobene ist; daß die Grenze ein Jenseits hat, mit dem sie aber in Beziehung steht, wohin über sie hinauszugehen ist, worin aber wieder eine solche Grenze entsteht, die keine ist.

Die Auflösung dieser Antinomien ist, wie die der obigen, transcendental, das heißt, sie besteht in der Behauptung der Idealität des Raums und der Zeit, als Formen der Anschauung, in dem Sinne, daß die Welt an ihr selbst nicht im Widerspruch mit sich, nicht ein sich Aufhebendes, sondern nur das Bewußtseyn in seinem Anschauen und in der Beziehung der Anschauung auf Verstand und Vernunft, ein sich selbst widersprechendes Wesen sey. Es ist dieß eine zu große Zärtlichkeit für die Welt, von ihr den Widerspruch zu entfernen, ihn dagegen in den Geist, in die Vernunft, zu verlegen und darin unaufgelöst bestehen zu lassen. In der That ist es der Geist, der so stark ist, den Widerspruch ertragen zu können, aber er ist es auch, der ihn aufzulösen weiß. Die sogenannte Welt aber (sie heiße objektive, reale Welt, oder nach dem transcendentalen Idealismus subjektives Anschauen, und durch die Verstandes-Kategorie bestimmte Sinnlichkeit), entbehrt darum des Widerspruchs nicht und nirgends, vermag ihn aber nicht zu ertragen und ist darum dem Entstehen und Vergehen preisgegeben.

Das unendliche Quantum, als Unendlichgroßes oder Unendlichkleines, ist selbst an sich der unendliche Progreß; es ist Quantum als ein Großes oder Kleines, und ist zugleich Nichtseyn des Quantums. Das Unendlichgroße und Unendlichkleine sind daher Bilder der Vorstellung, die bei näherer Betrachtung sich als nichtiger Nebel und Schatten zeigen. Im unendlichen Progreß aber ist dieser Widerspruch explicite vorhanden, und damit das, was die Natur des Quantums ist, das als intensive Größe seine Realität erreicht hat, und in seinem Daseyn nun gesetzt, wie es in seinem Begriffe ist. Diese Identität ist es, die zu betrachten ist.

Das Quantum als Grad ist einfach, auf sich bezogen und als an ihm selbst bestimmt. Indem durch diese Einfachheit das Andersseyn und die Bestimmtheit an ihm aufgehoben ist, ist diese ihm äußerlich; es hat seine Bestimmtheit außer ihm. Dieß sein Außersichseyn ist zunächst das abstrakte Nichtseyn des Quantums überhaupt, die schlechte Unendlichkeit. Aber ferner ist dieß Nichtseyn auch ein Großes, das Quantum kontinuirt sich in sein Nichtseyn, denn es hat eben seine Bestimmtheit in seiner Aeußerlichkeit; diese seine Aeußerlichkeit ist daher eben so sehr selbst Quantum; jenes sein Nichtseyn, die Unendlichkeit, wird so begrenzt, d. h. dieß Jenseits wird aufgehoben, dieses ist selbst als Quantum bestimmt, das hiermit in seiner Negation bei sich selbst ist.

Dieß ist aber das, was das Quantum als solches an sich ist. Denn es ist eben es selbst durch sein Aeußerlichseyn; die Aeußerlichkeit macht das aus, wodurch es Quantum, bei sich selbst, ist. Es ist also im unendlichen Progresse der Begriff des Quantums gesetzt.

Nehmen wir ihn zunächst in seinen abstrakten Bestimmungen wie sie vorliegen, so ist in ihm das Aufheben des Quantums, aber eben so sehr seines Jenseits, also die Negation des Quantums sowohl, als die Negation dieser Negation vorhanden. Seine Wahrheit ist ihre Einheit, worin sie, aber als Momente, sind. Sie ist die Auflösung des Widerspruchs, dessen Ausdruck er ist, und ihr nächster Sinn somit die Wiederherstellung des Begriffs der Größe, daß sie gleichgültige oder äußerliche Grenze ist. Im unendlichen Progresse als solchem pflegt nur darauf reflektirt zu werden, daß jedes Quantum, es sey noch so groß oder klein, verschwinden, daß über dasselbe muß hinausgegangen werden können; aber nicht darauf, daß dieß sein Aufheben, das Jenseits, das schlecht-Unendliche selbst auch verschwindet.

Schon das erste Aufheben, die Negation der Qualität überhaupt, wodurch das Quantum gesetzt wird, ist an sich das Aufheben der Negation, das Quantum ist aufgehobene qualitative Grenze, somit aufgehobene Negation, aber es ist zugleich nur an sich dieß; gesetzt ist es als ein Daseyn, und dann ist seine Negation als das Unendliche fixirt, als das Jenseits des Quantums, welches als ein Diesseits steht, als ein Unmittelbares; so ist das Unendliche nur als erste Negation bestimmt, und so erscheint es im unendlichen Progresse. Es ist gezeigt worden, daß aber in diesem mehr vorhanden ist, die Negation der Negation, oder das, was das Unendliche in Wahrheit ist. Es ist dieß vorhin so angesehen worden, daß der Begriff des Quantums damit wieder hergestellt ist; diese Wiederherstellung heißt zunächst, daß sein Daseyn seine nähere Bestimmung erhalten hat; es ist nämlich das nach seinem Begriff bestimmte Quantum entstanden, was verschieden ist, von dem unmittelbaren Quantum, die Aeußerlichkeit ist nun das Gegentheil ihrer selbst, als Moment der Größe selbst gesetzt, das Quantum so, daß es vermittelst seines Nichtseyns, der Unendlichkeit, in einem anderen Quantum seine Bestimmtheit habe, d. i. qualitativ das ist, was es ist. Jedoch gehört diese Vergleichung des Begriffs des Quantums mit seinem Daseyn mehr unserer Reflexion, einem Verhältniß, das hier noch nicht vorhanden ist, an. Die zunächst liegende Bestimmung ist, daß das Quantum zur Qualität zurückgekehrt, nunmehr qualitativ bestimmt ist. Denn seine Eigenthümlichkeit, Qualität, ist die Aeußerlichkeit, Gleichgültigkeit der Bestimmtheit; und es ist nun gesetzt, als in seiner Aeußerlichkeit vielmehr es selbst zu seyn, darin sich auf sich selbst zu beziehen, in einfacher Einheit mit sich, d. i. qualitativ bestimmt zu seyn. dieß Qualitative ist noch näher bestimmt, nämlich als Fürsichseyn; denn die Beziehung auf sich selbst, zu der es gekommen, ist aus der Vermittelung, der Negation der Negation, hervorgegangen. Das Quantum hat die Unendlichkeit, das Fürsichbestimmtseyn nicht mehr außer ihm, sondern an ihm selbst.

Das Unendliche, welches im unendlichen Progresse nur die leere Bedeutung eines Nichtsseyns, eines unerreichten, aber gesuchten Jenseits hat, ist in der That nicht anderes als die Qualität. Das Quantum geht als gleichgültige Grenze über sich hinaus ins Unendliche; es sucht damit nichts Anderes, als das Fürsichbestimmtseyn, das qualitative Moment, das aber so nur ein Sollen ist. Seine Gleichgültigkeit gegen die Grenze, damit sein Mangel an fürsichseyender Bestimmtheit und sein Hinausgehen über sich ist, was das Quantum zum Quantum macht; jenes sein Hinausgehen soll negirt werden und im Unendlichen sich seine absolute Bestimmtheit finden.

Ganz überhaupt: das Quantum ist die aufgehobene Qualität; aber das Quantum ist unendlich, geht über sich hinaus, es ist die Negation seiner; dieß sein Hinausgehen ist also an sich die Negation der negirten Qualität, die Wiederherstellung derselben; und gesetzt ist dieß, daß die Aeußerlichkeit, welche als Jenseits erschien, als das eigene Moment des Quantums bestimmt ist.

Das Quantum ist hiermit gesetzt als von sich repellirt, womit also zwei Quanta sind, diejedoch aufgehoben, nur als Momente einer Einheit sind, und diese Einheit ist die Bestimmtheit des Quantums. Dieses so in seiner Aeußerlichkeit als gleichgültige Grenze auf sich bezogen, hiermit qualitativ gesetzt, ist das quantitative Verhältniß. Im Verhältnisse ist das Quantum sich äußerlich, von sich selbst verschieden; diese seine Aeußerlichkeit ist die Beziehung eines Quantums auf ein anderes Quantum, deren jedes nur gilt in dieser seiner Beziehung auf sein Anderes; und diese Beziehunng macht die Bestimmtheit des Quantums aus, das als solche Einheit ist.

Es hat darin nicht eine gleichgültige, sondern qualitative Bestimmung; ist in dieser seiner Aeußerlichkeit in sich zurückgekehrt, ist in derselben, das was es ist.

Das mathematische Unendliche ist eines Theils interessant durch die Erweiterung der Mathematik und die großen Resultate, welche seine Einführung in dieselbe hervorgebracht hat; andern Theils aber ist es dadurch merkwürdig, daß es dieser Wissenschaft noch nicht gelungen ist, sich über den Gebrauch desselben durch den Begriff (Begriff im eigentlichen Sinne genommen) zu rechtfertigen. Die Rechtfertigungen beruhen am Ende auf der Richtigkeit der mit Hülfe jener Bestimmung sich ergebenden Resultate, welche aus sonstigen Gründen erwiesen ist; nicht aber auf der Klarheit des Gegenstandes und der Operation, durch welche die Resultate herausgebracht werden, sogar daß die Operation vielmehr selbst als unrichtig zugegeben wird.

Dieß ist schon ein Mißstand an und für sich; ein solches Verfahren ist unwissenschaftlich. Es führt aber auch den Nachtheil mit sich, daß die Mathematik, indem sie die Natur dieses ihres Instruments nicht kennt, weil sie mit der Metaphysik und Kritik desselben nicht fertig ist, den Umfang seiner Anwendung nicht bestimmen, und von Misbräuchen desselben sich nicht sichern konnte.

In philosophischer Rücksicht aber ist das mathematische Unendliche darum wichtig, weil ihm in der That der Begriff des wahrhaften Unendlichen zu Grunde liegt und es viel höher steht, als das gewöhnlich sogenannte metaphysische Unendliche, von dem aus die Einwürfe gegen ersteres gemacht werden. Gegen diese Einwürfe weiß sich die Wissenschaft der Mathematik häufig nur dadurch zu retten, daß sie die Kompetenz der Metaphysik verwirft, indem sie behauptet, mit dieser Wissenschaft nichts zu schaffen und sich um deren Begriffe nicht zu bekümmern zu haben, wenn sie nur auf ihrem eigenen Boden konsequent verfahre. Sie habe nicht zu betrachten, was an sich, sondern was auf ihrem Felde das Wahre sey. Die Metaphysik weiß die glänzenden Resultate des Gebrauchs des mathematischen Unendlichen bei ihrem Widerspruche gegen dasselbe nicht zu läugnen oder umzustoßen, und die Mathematik weiß mit der Metaphysik ihres eigenen Begriffs und daher auch mit der Ableitung der Verfahrensweisen, die der Gebrauch des Unendlichen nöthig macht, nicht ins Reine zu kommen.

Wenn es die einzige Schwierigkeit des Begriffs überhaupt wäre, von der die Mathematik gedrückt würde, so könnte sie diesen ohne Umstände auf der Seite liegen lassen, insofern nämlich der Begriff mehr ist, als nur die Angabe der wesentlichen Bestimmtheiten, d. i. der Verstandesbestimmungen einer Sache, und an der Schärfe dieser Bestimmtheiten hat sie es nicht fehlen lassen; denn sie ist nicht eine Wissenschaft, die es mit den Begriffen ihrer Gegenstände zu thun, und durch die Entwickelung des Begriffs, wenn auch nur durch Raisonnement, ihren Inhalt zu erzeugen hätte. Allein bei der Methode ihres Unendlichen findet sie den Hauptwiderspruch an der eigenthümlichen Methode selbst, auf welcher sie überhaupt als Wissenschaft beruht. Denn die Rechnung des Unendlichen erlaubt und erfordert Verfahrungsweisen, welche die Mathematik bei Operationen mit endlichen Größen durchaus verwerfen muß, und zugleich behandelt sie ihre unendlichen Größen, wie endliche Quanta, und will auf jene dieselben Verfahrungsweisen anwenden, welche bei diesen gelten; es ist eine Hauptseite der Ausbildung dieser Wissenschaft, für die transcendenten Bestimmungen und deren Behandlung, die Form des gewöhnlichen Kalkuls gewonnen zu haben.

Die Mathematik zeigt bei diesem Widerstreite ihrer Operationen, daß Resultate, die sie dadurch findet, ganz mit denen übereinstimmen, welche durch die eigentlich mathematische, die geometrische und analytische, Methode gefunden werden. Aber Theils betrifft dieß nicht alle Resultate, und der Zweck der Einführung des Unendlichen ist nicht allein, den gewöhnlichen Weg abzukürzen, sondern zu Resultaten zu gelangen, die durch diesen nicht geleistet werden können. Theils rechtfertigt der Erfolg die Manier des Wegs nicht für sich. Diese Manier aber der Rechnung des Unendlichen zeigt sich durch den Schein der Ungenauigkeit gedrückt, den sie sich giebt, indem sie endliche Größen um eine unendlich kleine Größe das eine Mal vermehrt, diese in der fernern Operation zum Theil beibehält, aber einen Theil derselben auch vernachlässigt. Dieß Verfahren enthält die Sonderbarkeit, daß der eingestandenen Ungenauigkeit unerachtet, ein Resultat herauskommt, das nicht nur ziemlich und so nahe, daß der Unterschied außer Acht gelassen werden könnte, sondern vollkommen genau ist. In der Operation selbst aber, die dem Resultate vorher geht, kann die Vorstellung nicht entbehrt werden, daß Einiges nicht gleich Null, aber so unbeträchtlich sey, um außer Acht gelassen werden zu können. Allein bei dem, was unter mathematischer Bestimmtheit zu verstehen ist, fällt aller Unterschied einer größern oder geringern Genauigkeit gänzlich hinweg, wie in der Philosophie nicht von größerer oder geringerer Wahrscheinlichkeit, sondern von der Wahrheit allein die Rede seyn kann. Wenn die Methode und der Gebrauch des Unendlichen durch den Erfolg gerechtfertigt wird, so ist es nicht so überflüssig dessen ungeachtet die Rechtfertigung derselben zu fordern, als es bei der Nase überflüssig scheint, nach dem Erweise des Rechts, sich ihrer zu bedienen, zu fragen. Denn es ist bei der mathematischen als einer wissenschaftlichen Erkenntniß wesentlich um den Beweis zu thun, und auch in Ansehung der Resultate ist es der Fall, daß die streng mathematische Methode nicht zu allen den Beleg des Erfolgs liefert, der aber ohnehin nur ein äußerlicher Beleg ist.

Es ist der Mühe werth, den mathematischen Begriff des Unendlichen und die merkwürdigsten Versuche näher zu betrachten, welche die Absicht haben, den Gebrauch desselben zu rechtfertigen und die Schwierigkeit, von der sich die Methode gedrückt fühlt, zu beseitigen. Die Betrachtung dieser Rechtfertigungen und Bestimmungen des mathematischen Unendlichen, welche ich in dieser Anmerkung weitläufiger anstellen will, wird zugleich das beste Licht auf die Natur des wahren Begriffes selbst werfen, und zeigen, wie er ihnen vorgeschwebt und zu Grunde gelegen hat.

Die gewöhnliche Bestimmung des mathematischen Unendlichen ist, daß es eine Größe sey, über welche es, wenn sie als das Unendlichgroße keine größere oder, wenn sie als das Unendlichkleine bestimmt ist kleinere mehr gebe, oder die, in jenem Falle, größer, in diesem Falle kleiner sey, als jede beliebige Größe. In dieser Definition ist freilich der wahre Begriff nicht ausgedrückt, vielmehr nur, wie schon bemerkt, derselbe Widerspruch, der im unendlichen Progresse ist; aber sehen wir, was an sich darin enthalten ist. Eine Größe wird in der Mathematik definirt, daß sie etwas sey, das vermehrt und vermindert werden könne; überhaupt also eine gleichgültige Grenze. Indem nun das Unendlich Große oder Kleine ein solches ist, das nicht mehr vermehrt oder vermindert werden könne, so ist es in der That kein Quantum als solches mehr.

Diese Konsequenz ist nothwendig und unmittelbar. Aber die Reflexion, daß das Quantum, und ich nenne in dieser Anmerkung Quantum überhaupt, wie es ist, das endliche Quantum, aufgehoben ist, ist es, welche nicht gemacht zu werden pflegt und die für das gewöhnliche Begreifen die Schwierigkeit ausmacht, indem das Quantum, indem es unendlich ist, als ein Aufgehobenes, als ein solches zu denken gefordert wird, das nicht ein Quantum ist, und dessen quantitative Bestimmtheit doch bleibt.

Um das anzuführen, wie Kant jene Bestimmung beurtheilt, In der Anmerkung zur Thesis der ersten kosmologischen Antinomie, in der Kritik der reinen Vernunft. so findet er sie nicht übereinstimmend mit dem, was man unter einem unendlichen Ganzen verstehe. "Nach dem gewöhnlichen Begriffe sey eine Größe unendlich, über die keine größere (d. i. über die darin enthaltene Menge einer gegebenen Einheit) möglich ist; es sey aber keine Menge die größte, weil noch immer eine oder mehrere Einheiten hinzugefügt werden können. Durch ein unendliches Ganzes dagegen werde nicht vorgestellt, wie groß es sey, mithin sey sein Begriff nicht der Begriff eines Maximums (oder Minimums), sondern es werde dadurch nur sein Verhältniß zu einer beliebig anzunehmenden Einheit gedacht, in Ansehung deren dasselbe größer ist, als alle Zahl. Je nachdem diese Einheit größer oder kleiner angenommen würde, würde das Unendliche größer oder kleiner seyn; allein die Unendlichkeit, da sie bloß in dem Verhältnisse zu dieser gegebenen Einheit bestehe, würde immer dieselbe bleiben, obgleich Freilich die absolute Größe des Ganzen dadurch gar nicht erkannt würde."

Kant tadelt es, wenn unendliche Ganze als ein Maximum, als eine vollendete Menge einer gegebenen Einheit angesehen werden. Das Maximum oder Minimum als solches erscheint noch immer als ein Quantum, eine Menge. Solche Vorstellung kann die von Kant angeführte Konsequenz nicht ablehnen, die auf ein größeres oder kleineres Unendliches führt. Ueberhaupt indem das Unendliche als Quantum vorgestellt wird, gilt noch für dasselbe der Unterschied eines Größern oder Kleinern. Allein diese Kritik trifft nicht den Begriff des wahrhaften mathematischen Unendlichen, der unendlichen Differenz, denn diese ist kein endliches Quantum mehr.

Kants Begriff der Unendlichkeit dagegen, den er den wahren transcendentalen nennt, ist, "daß die successive Synthesis der Einheit in Durchmessung eines Quantums niemals vollendet seyn könne." Es ist ein Quantum überhaupt als gegeben vorausgesetzt; dieß solle durch das Synthesiren der Einheit zu einer Anzahl, einem bestimmt anzugebenden Quantum gemacht werden, aber dieß Synthesiren niemals vollendet werden können. Hiermit ist wie erhellt, nichts als der Progreß ins Unendliche ausgesprochen, nur transcendental, d. i. eigentlich subjektiv und psychologisch vorgestellt. An sich soll zwar das Quantum vollendet seyn, aber transcendentaler Weise, nämlich im Subjekte, welches ihm ein Verhältniß zu einer Einheit giebt, entstehe nur eine solche Bestimmung des Quantums, die unvollendet und schlechthin mit einem Jenseits behaftet sey. Es wird also hier überhaupt beim Widerspruche, den die Größe enthält, stehen geblieben, aber vertheilt an das Objekt und das Subjekt, so daß jenem die Begrenztheit, diesem aber das Hinausgehen über jede von ihm aufgefaßte Bestimmtheit, in das schlechte Unendliche zukommt.

Es ist dagegen vorhin gesagt worden, daß die Bestimmung des mathematischen Unendlichen und zwar wie es in der höhern Analysis gebraucht wird, dem Begriffe des wahrhaften Unendlichen entspricht; die Zusammenstellung beider Bestimmungen soll nun in ausführlicher Entwickelung vorgenommen werden. Was zuerst das wahrhafte unendliche Quantum betrifft, so bestimmte es sich als an ihm selbst unendlich; es ist dieß, indem, wie sich ergeben hat, das endliche Quantum oder das Quantum überhaupt, und sein Jenseits, das schlechte Unendliche, auf gleiche Weise aufgehoben sind. Das aufgehobene Quantum ist damit in die Einfachheit und in die Beziehung auf sich selbst zurückgegangen, aber nicht nur wie das extensive, indem es in intensives Quantum überging, das seine Bestimmtheit nur an sich an einer äußern Vielfachheit hat, gegen die es jedoch gleichgültig und wovon es verschieden seyn soll. Das unendliche Quantum enthält vielmehr erstens die Aeußerlichkeit und zweitens die Negation derselben an ihm selbst; so ist es nicht mehr irgend ein endliches Quantum, nicht eine Größebestimmtheit, die ein Daseyn als Quantum hätte, sondern es ist einfach, und daher nur als Moment; es ist eine Größebestimmtheit in qualitativer Form; seine Unendlichkeit ist, als eine qualitative Bestimmtheit zu seyn.- So als Moment ist es in wesentlicher Einheit mit seinem Andern, nur als bestimmt durch dieses sein Anderes, d. i. es hat nur Bedeutung in Beziehung auf ein im Verhältniß mit ihm Stehendes. Außer diesem Verhältnisse ist es Null; da gerade das Quantum als solches gegen das Verhältniß gleichgültig, in ihm doch eine unmittelbare ruhende Bestimmung seyn soll. In dem Verhältnisse als nur Moment ist es nicht ein für sich Gleichgültiges; es ist, in der Unendlichkeit als Fürsichseyn, indem es zugleich eine quantitative Bestimmtheit ist, nur als ein Für-Eines.

Der Begriff des Unendlichen, wie er sich hier abstrakt exponirt hat, wird sich zeigen, dem mathematischen Unendlichen zu Grunde liegen, und er selbst wird deutlicher werden, indem wir die verschiedenen Stufen des Ausdrucks des Quantums als eines Verhältniß-Moments betrachten, von der untersten an, wo es noch zugleich Quantum als solches ist, bis zu der höhern, wo es die Bedeutung und den Ausdruck eigentlicher unendlicher Größe erhält.

Nehmen wir also zuerst das Quantum in dem Verhältnisse, wie es eine gebrochene Zahl ist. Solcher Bruch 2/7 z.B. ist nicht ein Quantum wie 1, 2, 3 u.s.f., zwar eine gewöhnliche endliche Zahl, jedoch nicht eine unmittelbare, wie die ganzen Zahlen, sondern als Bruch mittelbar bestimmt durch zwei andere Zahlen, die Anzahl und Einheit gegeneinander sind, wobei auch die Einheit eine bestimmte Anzahl ist. Aber von dieser nähern Bestimmung derselben gegeneinander abstrahirt, und sie bloß nach dem, was ihnen in der qualitativen Beziehung, in der sie hier sind, als Quantis widerfährt, betrachtet, so sind 2 und 7 sonst gleichgültige Quanta; indem sie aber hier nur als Momente, eines des andern, und damit eines Dritten (des Quantums, das der Exponent heißt) auftreten, so gelten sie sogleich nicht als 2 und 7, sondern nur nach ihrer Bestimmtheit gegeneinander. Statt ihrer kann darum eben so gut 4 und 14, oder 6 und 21 u.s.f. ins Unendliche gesetzt werden. Hiermit fangen sie also an, einen qualitativen Charakter zu haben. Gälten sie als bloße Quanta, so ist 2 und 7, schlechthin das eine nur 2, das andere nur 7; 4, 14, 6, 21 u.s.f. sind schlechthin etwas Anderes als jene Zahlen, und können insofern sie nur unmittelbare Quanta wären, die einen nicht an die Stelle der anderen gesetzt werden. Insofern aber und nicht nach der Bestimmtheit, solche Quanta zu seyn, gelten, so ist ihre gleichgültige Grenze aufgehoben; sie haben somit, nach dieser Seite, das Moment der Unendlichkeit an ihnen, indem sie nicht bloß eben nicht mehr sie sind, sondern ihre quantitative Bestimmtheit, aber als eine an sich seyende qualitative, nämlich nach dem, was sie im Verhältnisse gelten, bleibt. Es können unendlich viele andere an ihre Stelle gesetzt werden, so daß der Werth des Bruches durch, die Bestimmtheit, welche das Verhältniß hat, sich nicht ändert.

Die Darstellung, welche die Unendlichkeit an einem Zahlenbruche hat, ist aber darum noch unvollkommen, weil die beiden Seiten des Bruchs, 2 und 7, aus dem Verhältnisse genommen werden können, und gewöhnliche gleichgültige Quanta sind; die Beziehung derselben, im Verhältnisse und Momente zu seyn, ist ihnen etwas Aeußerliches und Gleichgültiges. Ebenso ist ihre Beziehung selbst ein gewöhnliches Quantum, der Exponent des Verhältnisses.

Die Buchstaben, mit denen in der allgemeinen Arithmetik operirt wird, die nächste Allgemeinheit, in welche die Zahlen erhoben werden, haben die Eigenschaft nicht, daß sie von einem bestimmten Zahlenwerth sind; sie sind nur allgemeine Zeichen und unbestimmte Möglichkeiten jedes bestimmten Werthes. Der Bruch a/b scheint daher ein passenderer Ausdruck des Unendlichen zu seyn, weil a und b aus ihrer Beziehung aufeinander genommen, unbestimmt bleiben, und auch getrennt keinen besonderen eigenthümlichen Werth haben. Allein diese Buchstaben sind zwar als unbestimmte Größen gesetzt; ihr Sinn aber ist, daß sie irgend ein endliches Quantum seyen. Da sie also zwar die allgemeine Vorstellung, aber nur von der bestimmten Zahl sind, so ist es ihnen ebenfalls gleichgültig, im Verhältnisse zu seyn, und außer demselben behalten sie diesen Werth.

Betrachten wir noch näher, was im Verhältnisse vorhanden ist, so hat es die beiden Bestimmungen an ihm, erstlich ein Quantum zu seyn, dieses aber ist zweitens nicht als ein unmittelbares, sondern das den qualitativen Gegensatz an ihm hat; es bleibt in demselben zugleich jenes bestimmte, gleichgültige Quantum dadurch, daß es aus seinem Andersseyn, dem Gegensatze, in sich zurückgekehrt, somit auch ein Unendliches ist. Diese beiden Bestimmungen stellen sich in der folgenden bekannten Form, in ihrem Unterschiede von einander entwickelt dar.

Der Bruch 2/7 kann ausgedrückt werden als 0,285714...als 1 + a + a[hoch2] + a[hoch3] u.s.f. So ist er als eine unendliche Reihe; der Bruch selbst heißt die Summe oder der endliche Ausdruck derselben. Vergleichen wir die beiden Ausdrücke, so stellt der eine, die unendliche Reihe, ihn nicht mehr als Verhältniß, sondern nach der Seite dar, daß er ein Quantum ist als eine Menge von solchen, die zu einander hinzukommen, als eine Anzahl. Daß die Größen, die ihn als Anzahl ausmachen sollen, wieder aus Decimalbrüchen, also selbst aus Verhältnissen bestehen, darauf kommt es hier nicht an; denn dieser Umstand betrifft die besondere Art der Einheit dieser Größen, nicht sie, insofern sie die Anzahl constituiren; wie auch eine aus mehreren Ziffern bestehende ganze Zahl des Decimalsystems wesentlich als eine Anzahl gilt, und nicht darauf gesehen wird, daß sie aus Produkten einer Zahl und der Zahl Zehen und deren Potenzen besteht. So wie es hier auch nicht darauf ankommt, daß es andere Brüche giebt als der z.B. genommene 2/7, die zu Dezimalbrüchen gemacht, nicht eine unendliche Reihe geben; jeder aber kann für ein Zahlensystem von anderer Einheit als eine solche ausgedrückt werden.

Indem nun in der unendlichen Reihe, die den Bruch als Anzahl darstellen soll, die Seite, daß er Verhältniß ist, verschwindet, so verschwindet auch die Seite, nach welcher er, wie vorhin gezeigt, die Unendlichkeit an ihm hatte. Diese aber ist auf eine andere Weise hereingekommen; die Reihe ist nämlich selbst unendlich.

Von welcher Art nun die Unendlichkeit der Reihe sey, erhellt von selbst; es ist die schlechte Unendlichkeit des Progresses. Die Reihe enthält und stellt den Widerspruch dar, etwas, das ein Verhältniß ist und qualitative Natur in ihm hat, als ein Verhältnißloses, als ein bloßes Quantum, als Anzahl, darzustellen. Die Folge davon ist, daß an der Anzahl, die in der Reihe ausgedrückt ist, immer etwas fehlt, so daß über das, was gesetzt ist, immer hinausgegangen werden muß, um die geforderte Bestimmtheit zu erreichen. Das Gesetz des Fortgangs ist bekannt, es liegt in der Bestimmung des Quantums, die im Bruche enthalten ist, und in der Natur der Form, in der sie ausgedrückt werden soll. Die Anzahl kann wohl durch Fortsetzung der Reihe so genau gemacht werden, als man nöthig hat; aber immer bleibt die Darstellung durch sie nur ein Sollen; sie ist mit einem Jenseits behaftet, das nicht aufgehoben werden kann, weil ein auf qualitativer Bestimmtheit beruhendes als Anzahl auszudrücken der bleibende Widerspruch ist.

In dieser unendlichen Reihe ist jene Ungenauigkeit wirklich vorhanden, von der am wahrhaften mathematischen Unendlichen nur der Schein vorkommt. Diese beiden Arten des mathematischen Unendlichen sind so wenig zu verwechseln, als die beiden Arten des philosophischen Unendlichen. Bei der Darstellung des wahrhaften mathematischen Unendlichen ist anfangs die Form der Reihe gebraucht oder auch neuerlich wieder hervorgerufen worden. Aber sie ist für dasselbe nicht nothwendig; im Gegentheil ist das Unendliche der unendlichen Reihe wesentlich von jenem unterschieden, wie die Folge zeigen soll. Diese vielmehr steht sogar dem Ausdrucke des Bruches nach.

Die unendliche Reihe enthält nämlich die schlechte Unendlichkeit, weil das, was die Reihe ausdrücken soll, ein Sollen bleibt; und was sie ausdrückt, mit einem Jenseits, das nicht verschwindet, behaftet und verschieden von dem ist, was ausgedrückt werden soll. Sie ist unendlich nicht um der Glieder willen, die gesetzt sind, sondern darum, weil sie unvollständig sind, weil das Andere, das zu ihnen wesentlich gehört, jenseits ihrer ist; was in ihr da ist, der gesetzten Glieder mögen so viele seyn als wollen, ist nur ein Endliches, im eigentlichen Sinne, gesetzt als Endliches, d. i. als solches, das nicht ist, was es seyn soll. Dagegen ist aber das, was der endliche Ausdruck, oder die Summe solcher Reihe genannt wird, ohne Mangel; er enthält den Werth, den die Reihe nur sucht, vollständig; das Jenseits ist aus der Flucht zurückgerufen; was er ist, und was er seyn soll, ist nicht getrennt, sondern ist dasselbe.

Das beide Unterscheidende liegt näher sogleich darin, daß in der unendlichen Reihe das Negative außerhalb ihrer Glieder ist, welche Gegenwart haben, indem sie nur als Theile der Anzahl gelten. In dem endlichen Ausdrucke dagegen, der ein Verhältniß ist, ist das Negative immanent, als das Bestimmtseyn der Seiten des Verhältnisses durcheinander, welches ein in sich Zurückgekehrtseyn, sich auf sich beziehende Einheit, als Negation der Negation ( beide Seiten des Verhältnisses sind nur als Momente), ist, hiermit die Bestimmung der Unendlichkeit in sich hat. Zu der That ist also die gewöhnlich sogenannte Summe, das 2/7 oder 1/1-a', ein Verhältniß; und dieser sogenannte endliche Ausdruck ist der wahrhaft unendliche Ausdruck. Die unendliche Reihe dagegen ist in Wahrheit Summe; ihr Zweck ist, das was an sich Verhältniß ist, in der Form einer Summe darzustellen, und die vorhandenen Glieder der Reihe sind nicht als Glieder eines Verhältnisses, sondern eines Aggregats. Sie ist ferner vielmehr der endliche Ausdruck; denn sie ist das unvollkommene Aggregat, und bleibt wesentlich ein Mangelhaftes. Sie ist nach dem, was in ihr da ist, ein bestimmtes Quantum, zugleich aber ein geringeres, als sie seyn soll; alsdann auch das, was ihr fehlt, ist ein bestimmtes Quantum; dieser fehlende Theil ist in der That das, was das Unendliche an der Reihe heißt, nach der nur formellen Seite, daß er ein Fehlendes, ein Nichtseyn ist; nach seinem Inhalte ist er ein endliches Quantum. Das was in der Reihe da ist, zusammen mit dem was ihr fehlt, macht erst das aus, was der Bruch ist, das bestimmte Quantum, das sie gleichfalls seyn soll, aber zu seyn nicht vermag. Das Wort: Unendlich, pflegt, auch in der unendlichen Reihe, in der Meinung etwas Hohes und Hehres zu seyn; es ist dieß eine Art von Aberglauben, der Aberglaube des Verstands; man hat gesehen, wie es sich vielmehr auf die Bestimmung der Mangelhaftigkeit reducirt.

Daß es, kann noch bemerkt werden, unendliche Reihen giebt, die nicht summirbar sind, ist in Bezug auf die Form von Reihe überhaupt ein äußerlicher und zufälliger Umstand. Sie enthalten eine höhere Art der Unendlichkeit, als die summirbaren; nämlich eine Incommensurabilität, oder die Unmöglichkeit, das darin enthaltene quantitative Verhältniß als ein Quantum, sey es auch als Bruch, darzustellen; die Form der Reihe aber als solche, die sie haben, enthält dieselbe Bestimmung der schlechten Unendlichkeit, welche in der summirbaren Reihe ist.

Die so eben am Bruche und an seiner Reihe bemerkte Verkehrung in Ansehung des Ausdrucks findet auch Statt, insofern das mathematische Unendliche nämlich nicht das so eben genannte sondern das wahrhafte, das relative Unendliche, das gewöhnliche metaphysische dagegen, worunter das abstrakte, schlechte Unendliche verstanden wird, das absolute genannt worden ist. In der That ist vielmehr dieses metaphysische nur das relative, weil die Negation, die es ausdrückt, nur so im Gegensatze einer Grenze ist, daß diese außer ihm bestehen bleibt, und von ihm nicht aufgehoben wird; das mathematische Unendliche hingegen hat die endliche Grenze wahrhaft in sich aufgehoben, weil das Jenseits derselben mit ihr vereinigt ist.

In dem Sinne, in welchem aufgezeigt worden, daß die sogenannte Summe oder der endliche Ausdruck einer unendlichen Reihe, vielmehr als der unendliche anzusehen ist, ist es vornehmlich, daß Spinoza den Begriff der wahren Unendlichkeit gegen den der schlechten aufstellt und durch Beispiele erläutert. Sein Begriff gewinnt am neisten Licht, indem ich das, was er hierüber sagt, an diese Entwickelung anschließe.

Er definirt zunächst das Unendliche als die absolute Affirmation der Existenz irgend einer Natur, das Endliche im Gegentheil als Bestimmtheit, als Verneinung. Die absolute Affirmation einer Existenz ist nämlich als ihre Beziehung auf sich selbst zu nehmen, nicht dadurch zu seyn, daß ein Anderes ist; das Endliche hingegen ist die Verneinung, ein Aufhören als Beziehung auf ein Anderes, das außer ihm anfängt. Die absolute Affirmation einer Existenz erschöpft nun zwar den Begriff der Unendlichkeit nicht; dieser enthält, daß die Unendlichkeit Affirmation ist, nicht als unmittelbare, sondern nur als wiederhergestellte durch die Reflexion des Anderen in sich selbst, oder als Negation des Negativen. Aber bei Spinoza hat die Substanz und deren absolute Einheit die Form von unbewegter d. i. nicht sich mit sich selbst vermittelnder Einheit, von einer Starrheit, worin der Begriff der negativen Einheit des Selbst, die Subjektivität, sich noch nicht findet.

Das mathematische Beispiel, womit er das wahre Unendliche (Epist. XXIX.) erläutert, ist ein Raum zwischen zwei ungleichen Kreisen, deren einer innerhalb des andern, ohne ihn zu berühren, fällt, und die nicht koncentrisch sind. Er machte, wie es scheint, sich viel aus dieser Figur und dem Begriffe als deren Beispiel er sie gebrauchte, daß er sie zum Motto seiner Ethik machte. "Die Mathematiker, sagt er, schließen, daß die Ungleichheiten, die in einem solchen Raume möglich sind, unendlich sind, nicht aus der unendlichen Menge der Theile, denn seine Größe ist bestimmt und begrenzt, und ich kann größere und kleinere solche Räume setzen, sondern weil die Natur der Sache jede Bestimmtheit übertrift." Man sieht, Spinoza verwirftjene Vorstellung vom Unendlichen, nach welcher es als Menge oder als Reihe vorgestellt wird, die nicht vollendet ist, und erinnert, daß hier an dem Raume des Beispiels das Unendliche nichtjenseits, sondern gegenwärtig und vollständig ist; dieser Raum ist ein Begrenztes, aber darum ein Unendliches, "weil die Natur der Sache jede Bestimmtheit übersteigt," weil die darin enthaltene Größenbestimmung zugleich nicht als ein Quantum darstellbar ist, oder nach obigem kantischen Ausdruck das Synthesiren nicht zu einem diskreten Quantum vollendet werden kann. Wie überhaupt der Gegensatz von kontinuirlichem und diskretem Quantum auf das Unendliche führt, soll in einer spätern Anmerkung auseinander gesetzt werden. Jenes Unendliche einer Reihe nennt Spinoza das Unendliche der Imagination; das Unendliche hingegen als Beziehung auf sich selbst, das Unendliche des Denkens oder infinitum actu . Es ist nämlich actu, es ist wirklich unendlich, weil es in sich vollendet und gegenwärtig ist. So ist die Reihe, 0,285714... oder 1 + a + a[hoch 2] + a[hoch 3] ... das Unendliche bloß der Einbildung oder des Meinens; denn es hat keine Wirklichkeit, es fehlt ihm schlechthin etwas; hingegen 2/7 oder 1/1-a ist das wirklich, nicht nur was die Reihe in ihren vorhandenen Gliedern ist, sondern noch das dazu, was ihr mangelt, was sie nur seyn soll. Das 2/7 oder 1/1-a ist gleichfalls eine endliche Größe, wie der zwischen den zwei Kreisen eingeschlossene Raum Spinoza's und dessen Ungleichheiten; und kann wie dieser Raum größer oder kleiner gemacht werden. Aber es kommt damit nicht die Ungereimtheit eines größern oder kleinern Unendlichen heraus; denn dieß Quantum des Ganzen, geht das Verhältniß seiner Momente, die Natur der Sache d. h. die qualitative Größenbestimmung, nichts an; das was in der unendlichen Reihe da ist, ist ebenso ein endliches Quantum, aber außerdem noch ein Mangelhaftes. Die Einbildung dagegen bleibt beim Quantum als solchem stehen, und reflektirt nicht auf die qualitative Beziehung, welche den Grund der vorhandenen Inkommensurabilität ausmacht.

Die Inkommensurabilität, welche in dem Beispiel Spinoza's liegt, schließt überhaupt die Funktionen krummer Linien in sich, und führt näher auf das Unendliche, das die Mathematik bei solchen Funktionen, überhaupt bei den Funktionen veränderlicher Größen eingeführt hat, und welches das wahrhafte mathematische, quantitative Unendliche ist, das auch Spinoza sich dachte. Diese Bestimmung soll nun hier näher erörtert werden.

Was vors erste die für so wichtig geltende Kategorie der Veränderlichkeit betrifft, unter welche die in jenen Funktionen bezogenen Größen gefaßt werden, so sollen sie zunächst veränderlich nicht in dem Sinne seyn, wie im Bruche 2/7 die beiden Zahlen 2 und 7, indem eben so sehr 4 und 14, 6 und 21 und so fort ins Unendliche andere Zahlen an ihre Stelle gesetzt werden können, ohne den im Bruche gesetzten Werth zu ändern. So kann noch mehr in a/b an die Stelle von a und b jede beliebige Zahl gesetzt werden, ohne das zu ändern was a/b ausdrücken soll. In dem Sinne nur, daß auch an die Stelle von x und y einer Funktion eine unendliche d. h. unerschöpfliche Menge von Zahlen gesetzt werden könne, sind a und b so sehr veränderliche Größe als jene, x und y. Der Ausdruck: veränderliche Größen, ist darum sehr vage, und unglücklich gewählt für Größebestimmungen, die ihr Interesse und Behandlungsart in etwas in etwas ganz Anderem liegen haben, als in ihrer bloßen Veränderlichkeit.

Um es deutlich zu machen, worin die wahrhafte Bestimmung der Momente einer Funktion liegt, mit denen sich das Interesse der höhern Analysis beschäftigt, müssen wir die bemerklich gemachten Stufen noch einmal durchlaufen. In 2/7 oder a/b sind 2 und 7 jedes für sich, bestimmte Quanta und die Beziehung ist ihnen nicht wesentlich; a und b soll gleichfalls solche Quanta vorstellen, die auch außer dem Verhältnisse bleiben, was sie sind. Ferner ist auch 2/7 und a/b ein fixes Quantum, ein Quotient; das Verhältniß macht eine Anzahl aus, deren Einheit der Nenner, und die Anzahl dieser Einheiten der Zähler oder umgekehrt ausdrückt; wenn auch 4 und 14 u.s.f. an die Stelle von 2 und 7 treten, bleibt das Verhältniß auch als Quantum dasselbe. Dieß verändert sich nun aber wesentlich in der Funktion y[hoch 2]/x = p z.B.; hier haben x und y zwar den Sinn, bestimmte Quanta seyn zu können; aber nicht x und y, sondern nur x und y[hoch 2] haben einen bestimmten Quotienten.

Dadurch sind diese Seiten des Verhältnisses, x und y, erstens nicht nur keine bestimmten Quanta, sondern zweitens ihr Verhältniß ist nicht ein fixes Quantum, (noch ist dabei ein solches wie bei a und b gemeint), nicht ein fester Quotient, sondern er ist als Quantum schlechthin veränderlich. Dieß aber ist allein darin enthalten, daß x nicht zu y ein Verhältniß hat, sondern zum Quadrate von y. Das Verhältniß einer Größe zur Potenz ist nicht ein Quantum, sondern wesentlich qualitatives Verhältniß; das Potenzenverhältniß ist der Umstand, der als Grundbestimmung anzusehen ist. In der Function der geraden Linie y = a x aber, ist x/y = a ein gewöhnlicher Bruch und Quotient; diese Funktion ist daher nur formell eine Funktion von veränderlichen Größen, oder x und y sind hier was a und b in a/b, sie sind nicht in derjenigen Bestimmung, in welcher die Differential- und Integralrechnung sie betrachtet. Wegen der besondern Natur der veränderlichen Größen in dieser Betrachtungsweise, wäre es zweckmäßig gewesen, für sie sowohl einen besonderen Namen, als andere Bezeichnungen einzuführen, als die gewöhnlichen der unbekannten Größen in jeder endlichen, bestimmten oder unbestimmten Gleichung; um ihrer wesentlichen Verschiedenheit willen von solchen bloß unbekannten Größen, die an sich vollkommen bestimmte Quanta, oder ein bestimmter Umfang von bestimmten Quantis sind. Es ist auch nur der Mangel des Bewußtseyns, über die Eigenthümlichkeit dessen, was das Interesse der höheren Analysis ausmacht und das Bedürfniß und die Erfindung des Differential-Kalkuls herbeigeführt hat, daß Funktionen des ersten Grades wie die Gleichung der geraden Linie in die Behandlung dieses Kalkuls für sich mit hereingenommen werden; seinen Antheil an solchem Formalismus hat ferner der Mißverstand, der die an sich richtige Forderung der Verallgemeinerung einer Methode dadurch zu erfüllen meint, daß die specifische Bestimmtheit, auf

die sich das Bedürfniß gründet, weggelassen wird, daß es dafür gilt, als ob es sich in diesem Felde nur um veränderliche Größen überhaupt handle. Es wäre wohl viel Formalismus in den Betrachtungen dieser Gegenstände wie in der Behandlung erspart worden, wenn man eingesehen hätte, daß derselbe nicht veränderliche Größen als solche, sondern Potenzenbestimmungen betreffe.

Aber es ist noch eine weitere Stufe, auf der das mathematische Unendliche in seiner Eigenthümlichkeit hervortritt. In einer Gleichung, worin x und y zunächst als durch ein Potenzenverhältniß bestimmt, gesetzt sind, sollen x und y als solche noch Quanta bedeuten; diese Bedeutung nun geht vollends in den sogenannten unendlich kleinen Differenzen gänzlich verloren. d x, d y sind keine Quanta mehr, noch sollen sie solche bedeuten, sondern haben allein in ihrer Beziehung eine Bedeutung, einen Sinn blos als Momente. Sie sind nicht mehr Etwas, das Etwas als Quantum genommen, nicht endliche Differenzen; aber auch nicht Nichts, nicht die bestimmungslose Null. Außer ihrem Verhältnisse sind sie reine Nullen, aber sie sollen nur als Momente des Verhältnisses, als Bestimmungen des Differential-Koefficienten d x/ d y genommen werden.

In diesem Begriff des Unendlichen ist das Quantum wahrhaft zu einem qualitativen Daseyn vollendet; es ist als wirklich unendlich gesetzt; es ist nicht nur als dieses oder jenes Quantum aufgehoben, sondern als Quantum überhaupt. Es bleibt aber die Quantitätsbestimmtheit als Element von Quantis, Princip, oder sie wie man auch gesagt hat, in ihrem ersten Begriffe.

Gegen diesen Begriff ist aller Angriff gerichtet, der auf die Grundbestimmung der Mathematik dieses Unendlichen, der Differential- und Integralrechnung, gemacht worden ist. Unrichtige Vorstellungen der Mathematiker selbst veranlaßten es, wenn er nicht anerkannt worden ist; vornehmlich aber ist die Unvermögenheit, den Gegenstand als Begriff zu rechtfertigen, Schuld an diesen Anfechtungen. Den Begriff kann aber die Mathematik, wie oben erinnert worden, hier nicht umgehen; denn als Mathematik des Unendlichen schränkt sie sich nicht auf die endliche Bestimmtheit ihrer Gegenstände ein, wie in der reinen Mathematik der Raum und die Zahl und deren Bestimmungen nur nach ihrer Endlichkeit betrachtet und auf einander bezogen werden ; sondern sie versetzt eine von daher aufgenommene und von ihr behandelte Bestimmung in Identität mit ihrer entgegengesetzten, wie sie z.B. eine krumme Linie zu einer geraden, den Kreis zu einem Polygon u.s.f. macht. Die Operationen, die sie sich als Differential- und Integralrechnung erlaubt, sind daher der Natur bloß endlicher Bestimmungen und deren Beziehungen gänzlich widersprechend und hätten darum ihre Rechtfertigung allein in dem Begriff.

Wenn die Mathematik des Unendlichen daran festhielt, daß jene Quantitäts-Bestimmungen verschwindende Größen d. h. solche, die nicht mehr irgend ein Quantum, aber auch nicht Nichts, sondern noch eine Bestimmtheit gegen Anderes sind, so schien nichts klarer, als daß es keinen solchen Mittelzustand, wie man es nannte, zwischen Seyn und Nichts gebe. Was es mit diesem Einwurfe und sogenannten Mittelzustande auf sich habe, ist oben bereits bei der Kategorie des Werdens, Anmerk. 4. gezeigt. Allerdings ist die Einheit des Seyns und Nichts kein Zustand; ein Zustand wäre eine Bestimmung des Seyns und Nichts, worein diese Momente nur etwa zufälligerweise gleichsam als in eine Krankheit oder äußerliche Affektion durch ein irrthümliches Denken gerathen sollten; sondern diese Mitte und Einheit, das Verschwinden oder eben so das Werden, ist vielmehr allein ihre Wahrheit.

Was unendlich sey, ist ferner gesagt worden, sey nicht vergleichbar als ein Größeres oder Kleineres; es könne daher nicht ein Verhältniß von Unendlichen zu Unendlichen, noch Ordnungen oder Dignitäten des Unendlichen geben, als welche Unterschiede der unendlichen Differenzen in der Wissenschaft derselben vorkommen. Es liegt bei diesem schon erwähnten Einwurfe immer die Vorstellung zu Grunde, daß hier von Quantis die Rede seyn solle, die als Quanta verglichen werden; daß Bestimmungen, die keine Quanta mehr sind, kein Verhältniß mehr zu einander haben. Vielmehr ist aber das, was nur im Verhältniß ist, kein Quantum; das Quantum ist eine solche Bestimmung, die außer ihrem Verhältniß ein vollkommen gleichgültiges Daseyn haben, der ihr Unterschied von einem anderen gleichgültig seyn soll, da hingegen das qualitative nur das ist, was es in seinem Unterschiede von dnem Anderen ist. Jene unendlichen Größen sind daher nicht nur vergleichbar, sondern sind nur als Momente der Vergleichung, des Verhältnisses.

Ich führe die wichtigsten Bestimmungen an, welche in der Mathematik über dieß Unendliche gegeben worden sind; es wird daraus erhellen, daß denselben der Gedanke der Sache, übereinstimmend mit dem hier entwickelten Begriffe, zu Grunde liegt, daß ihre Urheber ihn aber als Begriff nicht ergründeten und bei der Anwendung wieder Auskunftsmittel nöthig hatten, welche ihrer besseren Sache widersprechen.

Der Gedanke kann nicht richtiger bestimmt werden, als Newton ihn gegeben hat. Ich trenne dabei die Bestimmungen ab, die der Vorstellung der Bewegung und der Geschwindigkeit angehören, (von welcher er vornehmlich den Namen Fluxionen nahm), weil der Gedanke hierin nicht in der gehörigen Abstraktion, sondern konkret, vermischt mit außerwesentlichen Formen erscheint. Diese Fluxionen erklärt Newton (Princ. mathem. phil. nat. L. 1. Lemma XI. Schol.) dahin, daß er nicht untheilbare eine Form, deren sich frühere Mathematiker, Cavalleri und andere, bedienten, und welche den Begriff eines an sich bestimmten Quantums enthält, verstehe, sondern verschwindende Theilbare. Ferner nicht Summen und Verhältnisse bestimmter Theile, sondern die Grenzen (limites) der Summen, und Verhältnisse. Es werde die Einwendung gemacht, daß verschwindende Größen kein letztes Verhältniß haben, weil es, ehe sie verschwunden, nicht das Letzte, und wenn sie verschwunden, keines mehr ist. Aber unter dem Verhältnisse verschwindender Größen sey das Verhältniß zu verstehen, nicht eh sie verschwinden, und nicht nachher, sondern mit dem sie verschwinden ( quacum evanescunt ). Eben so ist das erste Verhältniß werdender Größen, das mit dem sie werden.

Nach dem damaligen Stande der wissenschaftlichen Methode wurde nur erklärt, was unter einem Ausdrucke zu verstehen sey; daß aber dieß oder jenes darunter zu verstehen sey, ist eigentlich eine subjektive Zumuthung oder auch eine historische Forderung, wobei nicht gezeigt wird, daß ein solcher Begriff an und für sich nothwendig ist und innere Wahrheit hat. Allein das Angeführte zeigt, daß der von Newton aufgestellte Begriff dem entspricht, wie die unendliche Größe sich in der obigen Darstellung aus der Reflexion des Quantums in sich ergab. Es sind Größen verstanden, in ihrem Verschwinden, d. h. die nicht mehr Quanta sind; ferner nicht Verhältnisse bestimmter Theile, sondern die Grenzen des Verhältnisses. Es sollen also sowohl die Quanta für sich, die Seiten des Verhältnisses, als damit auch das Verhältniß, insofern es ein Quantum wäre, verschwinden; die Grenze des Größen-Verhältnisses ist, worin es ist und nicht ist; dieß heißt genauer, worin das Quantum verschwunden, und damit das Verhältniß nur als qualitatives Quantitäts-Verhältniß, und die Seiten desselben ebenso als qualitative Quantitäts-Momente erhalten sind. Newton fügt hinzu, daß daraus, daß es letzte Verhältnisse der verschwindenden Größen gebe, nicht zu schließen sey, daß es letzte Größen, Untheilbare, gebe. Dieß wäre nämlich wieder ein Absprung von dem abstrakten Verhältnisse auf solche Seiten desselben, welche für sich außer ihrer Beziehung einen Werth haben sollten, als Untheilbare, als etwas, das ein Eins, ein Verhältnißloses seyn würde.

Gegen jenen Mißverstand erinnert er noch, daß die letzten Verhältnisse nicht Verhältnisse letzter Größen seyen, sondern Grenzen, denen die Verhältnisse der ohne Grenze abnehmenden Größen näher sind als jeder gegebene d. h. endliche Unterschied, welche Grenze sie aber nicht überschreiten, so daß sie Nichts würden. Unter letzten Größen hätten nämlich, wie gesagt, Untheilbare oder Eins verstanden werden können. In der Bestimmung des letzten Verhältnisses aber ist sowohl die Vorstellung des gleichgültigen Eins, des verhältnißlosen, als auch des endlichen Quantums entfernt. Es bedürfte aber weder des Abnehmens ohne Grenze, in das Newton das Quantum versetzt und das nur den Progreß ins Unendliche ausdrückt, noch der Bestimmung der Theilbarkeit, welche hier keine unmittelbare Bedeutung mehr hat, wenn die geforderte Bestimmung sich zum Begriffe einer Größebestimmung, die rein nur Moment des Verhältnisses ist, fortgebildet hätte.

In Rücksicht der Erhaltung des Verhältnisses im Verschwinden der Quantorum findet sich (anderwärts, wie bei Carnot, Réflexions sur la Métaphysique du Calcul Infinitésimal .) der Ausdruck, daß vermöge des Gesetzes der Stätigkeit die verschwindenden Größen noch das Verhältniß, aus dem sie herkommen, ehe sie verschwinden, behalten. Diese Vorstellung drückt die wahre Natur der Sache aus, insofern nicht die Stätigkeit des Quantums verstanden wird, die es im unendlichen Progreß hat, sich in sein Verschwinden so zu kontinuiren, daß im Jenseits seiner wieder nur ein endliches Quantum, ein neues Glied der Reihe entsteht; ein stätiger Fortgang wird aber immer so vorgestellt, daß die Werthe durchloffen werden, welche noch endliche Quanta sind.

In demjenigen Uebergange dagegen, welcher in das wahrhafte Unendliche gemacht wird, ist das Verhältniß das stätige; es ist so sehr stätig und sich erhaltend, daß er vielmehr allein darin besteht, das Verhältniß rein herauszuheben, und die verhältnißlose Bestimmung, d. i. daß ein Quantum, welches Seite des Verhältnisses ist, auch außer dieser Beziehung gesetzt, noch Quantum ist, verschwinden zu machen. Diese Reinigung des quantitativen Verhältnisses ist insofern nichts anders, als wenn ein empirisches Daseyn begriffen wird. Dieß wird hierdurch so über sich selbst erhoben, daß sein Begriff dieselben Bestimmungen enthält, als es selbst, aber in ihrer Wesentlichkeit und in die Einheit des Begriffes gefaßt, worin sie ihr gleichgültiges, begriffloses Bestehen verloren haben.

Gleich interessant ist die andere Form der newtonischen Darstellung der in Rede stehenden Größen, nämlich als erzeugender Größen oder Principien. Eine erzeugte Größe (genita) ist ein Produkt oder Quotient, Wurzeln, Rechtecke, Quadrate, auch Seiten von Rechtecken, Quadraten; überhaupt eine endliche Größe. "Sie als veränderlich betrachtet, wie sie in fortdauernder Bewegung und Fließen zu- oder abnehmend ist, so verstehe er ihre momentanen Inkremente oder Dekremente unter dem Namen von Momenten. Diese sollen aber nicht für Theilchen von bestimmter Größe genommen werden ( particulae finitae ). Solche seyen nicht selbst Momente, sondern aus Momenten erzeugte Größen; es seyen vielmehr die werdenden Principien oder Anfänge endlicher Größen zu verstehen." Das Quantum wird hier von sich selbst unterschieden, wie es als ein Produkt oder Daseyendes, und wie es in seinem Werden, in seinem Anfange und Princip, das heißt, wie es in seinem Begriffe, oder was hier dasselbe ist, in seiner qualitativen Bestimmnng ist; in der letztern sind die quantitativen Unterschiede, die unendlichen Inkremente oder Dekremente, nur Momente; erst das Gewordene ist das in die Gleichgültigkeit des Daseyns und in die Aeußerlichkeit übergegangene, das Quantum. Wenn aber diese in Ansehung der Inkremente oder Dekremente angeführten Bestimmungen des Unendlichen, von der Philosophie des wahrhaften Begriffs anerkannt werden müssen, so ist auch sogleich zu bemerken, daß die Formen selbst von Inkrementen u.s.f. innerhalb der Kategorie des unmittelbaren Quantums und des erwähnten stätigen Fortgangs fallen, und vielmehr sind die Vorstellungen von Inkrement, Zuwachs, Zunahme des x um d x oder i u.s.f. als das in den Methoden vorhandene Grundübel anzusehen; als das bleibende Hinderniß, aus der Vorstellung des gewöhnlichen Quantums die Bestimmung des qualitativen Quantitätsmoments rein herauszuheben.

Gegen die angegebenen Bestimmungen steht die Vorstellung von unendlich-kleinen Größen, die auch im Inkrement oder Dekrement selbst steckt, weit zurück. Nach derselben sollen sie von der Beschaffenheit seyn, daß nicht nur sie gegen endliche Größen, sondern auch deren höhere Ordnungen gegen die niedrigere, oder auch die Produkte aus mehrern gegen eine einzelne zu vernachlässigen seyen. bei Leibnitz hebt sich die Forderung dieser Vernachlässigung, welche die vorhergehenden Erfinder von Methoden, die sich auf diese Größe bezogen, gleichfalls eintreten lassen, auffallender hervor. Sie ist es vornehmlich, die diesem Kalkul beim Gewinne der Bequemlichkeit den Schein von Ungenauigkeit und ausdrücklicher Unrichtigkeit in dem Wege seiner Operation giebt. Wolf hat sie in seiner Weise, die Sachen populär zu machen, d. h. den Begriff zu verunreinigen und unrichtige sinnliche Vorstellungen an dessen Stelle zu setzen, verständlich zu machen gesucht. Er vergleicht nämlich die Vernachlässigung der unendlichen Differenzen höherer Ordnungen gegen niedrigere, mit dem Verfahren eines Geometers, der bei der Messung der Höhe eines Berges um nicht weniger genau gewesen sey, wenn der Wind indeß ein Sandkörnchen von der Spitze weggeweht habe, oder mit der Vernachlässigung der Höhen der Häuser, Thürme bei der Berechnung der Mondfinsternisse (Element. Mathes. univ. Tom. I. El. Analys. math. P. II. C. I. s. Schol.).

Wenn die Billigkeit des gemeinen Menschenverstandes eine solche Ungenauigkeit erlaubt, so haben dagegen alle Geometer diese Vorstellung verworfen. Es dringt sich von selbst auf, daß in der Wissenschaft der Mathematik von einer solchen empirischen Genauigkeit ganz und gar nicht die Rede ist, daß das mathematische Messen durch Operationen des Kalkuls oder durch Konstruktionen und Beweise der Geometrie, gänzlich vom Feldmessen, vom Messen empirischer Linien, Figuren u.s.f. unterschieden ist. Ohnehin zeigen, wie oben angeführt, die Analytiker durch die Vergleichung des Resultats, wie es auf streng geometrischem Wege und wie es nach der Methode der unendlichen Differenzen erhalten wird, daß das eine dasselbe ist als das andere, und daß ein Mehr oder Weniger von Genauigkeit ganz und gar nicht Statt findet. Und es versteht sich von selbst, daß ein absolut genaues Resultat nicht aus einem Verfahren herkommen könne, das ungenau wäre. Jedoch kann wieder auf der anderen Seite das Verfahren selbst, jener Vernachlässigung aus dem Grunde der Unbedeutenheit, des Protestirens gegen die angeführte Rechtfertigungsweise unerachtet, nicht entbehren. Und dieß ist die Schwierigkeit, um welche die Bemühungen der Analytiker gehen, das hierin liegende Widersinnige begreiflich zu machen, und es zu entfernen.

Es ist in dieser Rücksicht vornehmlich Eulers Vorstellung anzuführen. Indem er die allgemeine Newtonische Definition zu Grunde legt, dringt er darauf, daß die Differentialrechnung die Verhältnisse der Inkremente einer Größe betrachte, daß aber die unendliche Differenz als solche ganz als Null zu betrachten sey, (Institut. Calc. different. P. I. C. III.). Wie dieß zu verstehen ist, liegt im Vorhergehenden; die unendliche Differenz ist Null nur des Quantums, nicht eine qualitative Null, sondern als Null des Quantums vielmehr reines Moment nur des Verhältnisses. Sie ist nicht ein Unterschied um eine Größe; aber darum ist es einer Seits überhaupt schief, jene Momente, welche unendlich-kleine Größen heißen, auch als Inkremente oder Dekremente, und als Differenzen auszusprechen. Dieser Bestimmung liegt zu Grunde, daß zu der zuerst vorhandenen endlichen Größe etwas hinzukomme oder davon abgezogen werde, eine Subtraktion oder Addition, eine arithmetische, äußerliche Operation vorgehe. Der Uebergang von der Funktion der veränderlichen Größe in ihr Differential ist aber anzusehen, daß er von ganz anderer Natur ist, nämlich wie erörtert worden, daß er als Zurückführung der endlichen Funktion auf das qualitative Verhältniß ihrer Quantitätsbestimmungen zu betrachten ist. Anderer Seits fällt die schiefe Seite für sich auf, wenn gesagt wird, daß die Inkremente für sich Nullen seyen, daß nur ihre Verhältnisse betrachtet werden; denn eine Null hat überhaupt keine Bestimmtheit mehr. Diese Vorstellung kommt also zwar bis zum Negativen des Quantums und spricht es bestimmt aus, aber faßt dieß Negative nicht zugleich in seiner positiven Bedeutung, von qualitativen Quantitätsbestimmungen, die, wenn sie aus dem Verhältnisse gerissen und als Quanta genommen werden wollten, nur Nullen wären. Lagrange ( Théorie des fonct. analyt. Introd. ) urtheilt über die Vorstellung der Grenzen oder letzten Verhältnisse, daß wenn man gleich sehr gut das Verhältniß zweier Größen sich vorstellen könne, so lange sie endlich bleiben, so gebe dieß Verhältniß dem Verstande keinen deutlichen und bestimmten Begriff, sobald seine Glieder zugleich Null werden. In der That muß der Verstand über diese bloß negative Seite, daß die Verhältnißglieder Nullen als Quanta sind, hinausgehen, und sie positiv, als qualitative Momente auffassen. Was aber Euler (am angeführten Ort _. 84 ff.) weiter in Betreff der gegebenen Bestimmung hinzufügt, um zu zeigen, daß zwei sogenannte unendlich kleine Größen, welche nichts anders als Nullen seyn sollen, doch ein Verhältniß zu einander haben und deßwegen auch nicht das Zeichen der Null, sondern andere Zeichen für sie im Gebrauch seyen, kann nicht für genügend angesehen werden. Er will dieß durch den Unterschied des arithmetischen und geometrischen Verhältnisses begründen; bei jenem sehen wir auf die Differenz, bei diesem auf den Quotienten, obgleich das erstere zwischen zwei Nullen gleich sey, so sey es deßwegen doch das geometrische nicht; wenn 2:1 = 0:0, so müsse wegen der Natur der Proportion, da das erste Glied doppelt so groß sey als das zweite, auch das dritte Glied doppelt so groß als das vierte seyn; O:O soll also nach der Proportion als das Verhältniß von 2:1 genommen werden. Auch nach der gemeinen Arithmetik seyn n.O = O; es sey also n:1 = O:O. Allein eben dadurch, daß 2:1 oder n:1 ein Verhältniß von Quantis ist, entspricht ihm nicht ein Verhältniß noch eine Bezeichnung von O:O.

Ich enthalte mich, die Anführungen zu vermehren, indem die betrachteten zur Genüge gezeigt haben, daß in ihnen wohl der wahrhafte Begriff des Unendlichen liegt, daß er aber nicht in seiner Bestimmtheit herausgehoben und gefaßt worden ist. Indem daher zur Operation selbst fortgegangen wird, so kann es nicht geschehen, daß in ihr die wahrhafte Begriffsbestimmung sich geltend mache; die endliche Quantitätsbestimmtheit kehrt vielmehr zurück und die Operation kann der Vorstellung eines bloß relativ-kleinen nicht entbehren. Der Kalkul macht es nothwendig, die sogenannten unendlichen Größen den gewöhnlichen arithmetischen Operationen des Addirens u.s.f., welche sich auf die Natur endlicher Größen gründen, zu unterwerfen, und sie somit als endliche Größen für einen Augenblick gelten zu lassen und als solche zu behandeln. Der Kalkul hätte sich darüber zu rechtfertigen, daß er sie das eine Mal in diese Sphäre herabzieht und sie als Inkremente oder Differenzen behandelt, und daß er auf der anderen Seite sie als Quanta vernachlässigt, nachdem er so eben Formen und Gesetze der endlichen Größen auf sie angewendet hatte.

Ueber die Versuche der Geometer, diese Schwierigkeiten zu beseitigen, führe ich noch das Hauptsächlichste an.

Die ältern Analytiker machten sich hierüber weniger Skrupel; aber die Bemühungen der Neueren gingen vornehmlich dahin, den Kalkul des Unendlichen zur Evidenz der eigentlich geometrischen Methode zurückzubringen und in ihr die Strenge der Beweise der Alten ( Ausdrücke von Lagrange ) in der Mathematik zu erreichen. Allein da das Princip der Analysis des Unendlichen höherer Natur, als das Princip der Mathematik endlicher Größen ist, so mußte jene von selbst sogleich auf jene Art von Evidenz Verzicht thun, wie die Philosophie auch auf diejenige Deutlichkeit keinen Anspruch machen kann, die die Wissenschaften des Sinnlichen, z.B. Naturgeschichte hat, und wie Essen und Trinken für ein verständlicheres Geschäfte gilt, als Denken und Begreifen. Es wird sich demnach nur um die Bemühung handeln, die Strenge der Beweise der Alten zu erreichen.

Mehrere haben versucht, den Begriff des Unendlichen ganz zu entbehren, und ohne ihn das zu leisten, was an den Gebrauch desselben gebunden schien. – Lagrange spricht z.B. von der Methode, die Landen erfunden hat, und sagt von ihr, daß sie rein analytisch sey und die unendlich kleinen Differenzen nicht gebrauche, sondern zuerst verschiedene Werthe der veränderlichen Größen einführe, und sie in der Folge gleichsetze. Er urtheilt übrigens, daß darin die der Differentialrechnung eignen Vorzüge, Einfachheit der Methode und Leichtigkeit der Operationen verloren gehe. Es ist dieß wohl ein Verfahren, das mit demjenigen etwas Entsprechendes hat, von welchem Descartes Tangentenmethode ausgeht, die weiterhin noch näher zu erwähnen ist. Soviel, kann hier bemerkt werden, erhellt sogleich im Allgemeinen, daß das Verfahren überhaupt, verschiedene Werthe der veränderlichen Größen anzunehmen, und sie nachher gleichzusetzen, einem anderen Kreise mathematischer Behandlung angehört, als die Methode des Differential-Kalkuls selbst und die späterhin näher zu erörternde Eigenthümiichkeit des einfachen Verhältnisses, auf welches sich die wirkliche konkrete Bestimmung desselben zurückführt, nämlich der abgeleiteten Funktion zu der ursprünglichen, nicht herausgehoben wird.

Die Aeltern unter den Neuern, wie z. B. Fermat, Barrow und andere, die sich zuerst des Unendlich-Kleinen in derjenigen Anwendung bedienten, welche später zur Differential- und Integralrechnung ausgebildet wurde, und dann auch Leibnitz und die Folgenden, auch Euler, haben immer unverhohlen, die Produkte von unendlichen Differenzen, so wie ihre höhern Potenzen nur aus dem Grunde weglassen zu dürfen geglaubt, weil sie relativ gegen die niedrige Ordnung verschwinden. Hierauf beruht bei ihnen allein der Fundamentalsatz, nämlich die Bestimmung dessen, was das Differential eines Produkts oder einer Potenz sey, denn hierauf reducirt sich die ganze theoretische Lehre. Das Uebrige ist Theils Mechanismus der Entwickelung, Theils aber Anwendung, in welche jedoch, was weiterhin zu betrachten ist, in der That auch das höhere oder vielmehr einzige Interesse fällt. In Rücksicht auf das Gegenwärtige ist hier nur das Elementarische anzuführen, daß aus dem gleichen Grunde der Unbedeutenheit als der Hauptsatz, die Curven betreffend, angenommen wird, daß die Elemente der Curven, nämlich die Inkremente der Abscisse und der Ordinate, das Verhältniß der Subtangente und der Ordinate zu einander haben; für die Absicht, ähnliche Dreiecke zu erhalten, wird der Bogen, der die dritte Seite eines Dreiecks zu den beiden Inkrementen, des mit Recht vormals sogenannten charakteristischen Dreiecks, ausmacht, als eine gerade Linie, als Theil der Tangente, und damit das eine der Inkremente bis an die Tangente reichend angesehen. Diese Annahmen erheben jene Bestimmungen einer Seits über die Natur endlicher Größen; anderer Seits aber wird ein Verfahren auf die nun unendlich genannten Momente angewendet, das nur von endlichen Größen gilt, und bei dem nichts aus Rücksicht der Unbedeutenheit vernachiässigt werden darf. Die Schwierigkeit, von der die Methode gedrückt wird, bleibt bei solcher Verfahrungsweise in ihrer ganzen Stärke.

Es ist hier eine merkwürdige Procedur Newtons anzuführen; (Princ. Math. phil. nat. Lib. II. Lemma II. Propos. VII.) die Erfindung eines sinnreichen Kunststücks, uni das arithmetisch unrichtige Weglassen der produkte unendlicher Differenzen oder höherer Ordnungen derselben bei dem Finden der Differentialien, zu beseitigen. Er findet das Differential des Produkts, woraus sich dann die Differentialien der Quotienten, Potenzen u.s.f. leicht herleiten, auf folgende Art. Das Produkt, wenn x, y, jedes um die Hälfte seiner unendlichen Differenz kleiner genommen wird, geht über in x y xdy/2 ydx/2 + dxdy/4; aber wenn man x und y um ebenso viel zunehmen läßt, in x y + xdy/2 + ydx/2 + dxdy/4. Von diesem zweiten Produkt nun das erste abgezogen, bleibt y d x + x d y als Ueberschuß, und dieß sey der Ueberschuß des Wachsthums um ein ganzes dx und dy, denn um dieses Wachsthum sind beide Produkte unterschieden; es ist also das Differential von xy. Man sieht in diesem Verfahren fällt das Glied, welches die Hauptschwierigkeit ausmacht, das Produkt der beiden unendlichen Differenzen, dxdy, durch sich selbst hinweg. Aber des newtonischen Namens unerachtet muß es gesagt werden dürfen, daß solche, obgleich sehr elementarische Operation, unrichtig ist; es ist unrichtig, daß (x + dx/2) (y + dy/2) (x dx/2) (y dy/2) = (x + dx) (y + dy) xy. Es kann nur das Bedürfniß seyn, den Fluxionen-Kalkul bei seiner Wichtigkeit zu begründen, was einen Newton dahin bringen konnte, die Täuschung solchen Beweisens sich zu machen.

Andere Formen, die Newton bei der Ableitung des Differentials gebraucht, sind an konkrete auf Bewegung sich beziehende Bedeutungen der Elemente und deren Potenzen gebunden. – Beim Gebrauche der Reihenform, der sonst seine Methode auszeichnet, liegt es zu nahe zu sagen, daß man es immer in seiner Macht habe, durch das Hinzufügen weiterer Glieder die Größe so genau zu nehmen, als man nöthig habe, und daß die weggelassenen relativ unbedeutend, überhaupt das Resultat nur eine Näherung sey, als daß er nicht auch hier mit diesem Grunde sich begnügt hätte, wie er bei seiner Methode der Auflösung der Gleichungen höherer Grade durch Näherung die höheren Potenzen, die bei der Substitution jedes gefundenen noch ungenauen Werthes in die gegebene Gleichung entstehen, aus dem rohen Grunde ihrer Kleinigkeit wegläßt; s. Lagrange Equations Numériques p. 125.

Der Fehler, in welchen Newton bei der Auflösung eines Problems durch das Weglassen wesentlicher höherer Potenzen verfiel, der seinen Gegnern die Gelegenheit eines Triumphs ihrer Methode über die seinige gab, und von welchem Lagrange in seiner neuerlichen Untersuchung desselben (Théorie des fonct. analyt. 3me P. Ch. IV.) den wahren Ursprung aufgezeigt hat, beweist das Formelle und die Unsicherheit, die im Gebrauche jenes Instruments noch vorhanden war. Lagrange zeigt, daß Newton dadurch in den Fehler fiel, weil er das Glied der Reihe vernachlässigte, das die Potenz enthielt, auf welche es in der bestimmten Aufgabe ankam. Newton hatte sich an jenes formelle oberflächliche Princip, Glieder wegen ihrer relativen Kleinheit wegzulassen, gehalten. Es ist nämlich bekannt, daß in der Mechanik den Gliedern der Reihe, in der die Funktion einer Bewegung entwickelt wird, eine bestimmte Bedeutung gegeben wird, so daß sich das erste Glied oder die erste Funktion auf das Moment der Geschwindigkeit, die zweite auf die beschleunigende Kraft, und die dritte auf den Widerstand von Kräften beziehe. Die Glieder der Reihe sind hiermit hier nicht nur als Theile einer Summe anzusehen, sondern als qualitative Momente eines Ganzen des Begriffs. Hiedurch erhält das Weglassen der übrigen Glieder, die der schlechtunendlichen Reihe angehören, eine gänzlich verschiedene Bedeutung, von dem Weglassen aus dem Grunde der relativen Kleinheit derselben. *) In einfacher Weise finden sich bei Lagrange in der Anwendung der Theorie der Funktionen auf die Mechanik, in dem Kapitel von der geradlinigten Bewegung, beide Rücksichten neben einander gestellt (Théorie des fonct. 3me P. Ch. I. art. 4.). Der durchloffene Raum als Funktion der verflossenen Zeit betrachtet, giebt die Gleichung x = ft; diese als f (t + ë) entwickelt giebt

Also der während der Zeit durchlaufene Raum stellt sich in der Formel dar, ëft + [ë[hoch 2]]/2 . f't + [ë[hoch 3]]/2.3 . f''t + u.s.w. Die Bewegung, vermittelst der dieser Raum durchloffen wird, ist also, wird gesagt, d. h. weil die analytische Entwickelung mehrere und zwar unendlich viele Glieder giebt, zusammengesetzt aus verschiedenen partiellen Bewegungen, deren der Zeit entsprechende Räume seyn werden ëft, [ë[hoch 2]]/2 . f''t, [ë[hoch 3]]/[2.3] . f''t, u.s.w. die erste partielle Bewegung ist, in bekannter Bewegung die formell=gleichförmige mit einer durch f't bestimmten Geschwindigkeit, die zweite die gleichförmig beschleunigte, die von einer dem f't propertionirten beschleunigenden Kraft herkommt. "Da nun die übrigen Glieder sich auf keine einfache bekannte Bewegung beziehen, so ist nicht nöthig, sie besonders in Rücksicht zu nehmen, und wir werden zeigen, daß man von ihnen in der Bestimmung der Bewegung zu Anfang des Zeitpunkts abstrahiren kann." Dieß wird nun gezeigt, aber freilich nur durch die Vergleichung jener Reihe, deren Glieder alle zur Bestimmung der Größe des in der Zeit durchloffenen Raumes gehörten, mit der art. 3 für die Bewegung des Falls angegebenen Gleichung x = at + bt[hoch 2], als in welcher nur diese zwei Glieder vorkommen. Aber diese Gleichung hat selbst nur diese Gestalt, durch die Voraussetzung der Erklärung, die den durch analytische Entwicklung entstehenden Gliedern gegeben wird, erhalten; diese Voraussetzung ist, daß die gleichförmig beschleunigte Bewegung zusammengesetzt sey, aus einer formell-gleichförmigen mit der im vorhergehenden Zeittheile erlangten Geschwindigkeit fortgesetzten Bewegung, und einem Zuwachse, (dem a in s = at[hoch 2] d.i. dem empirischen Koefficienten), welcher der Kraft der Schwere zugeschrieben wird, einem Unterschiede, der keineswegs in der Natur der Sache irgend eine Existenz oder Grund hat, sondern nur der fälschlich physikalisch gemachte Ausdruck dessen ist, was bei einer angenommenen analytischen Behandlung herauskommt.

Die Newtonsche Auflösung enthielt jenen Fehler, nicht weil in ihr Glieder der Reihe, nur als Theile einer Summe, sondern weil das Glied, das die qualitative Bestimmung, auf die es ankam, enthält, nicht berücksichtigt wurde.

In diesem Beispiele ist der qualitative Sinn dasjenige, wovon das Verfahren abhängig gemacht ist. Im Zusammenhange hiermit kann sogleich die allgemeine Behauptung aufgestellt werden, daß die ganze Schwierigkeit des Princips beseitigt seyn würde, wenn statt des Formalismus, die Bestimmung des Differentials nur in die ihm den Namen gebende Aufgabe, den Unterschied überhaupt einer Funktion von ihrer Veränderung, nachdem ihre veränderliche Größe einen Zuwachs erhalten, zu stellen, die qualitative Bedeutung des Princips angegeben, und die Operation hiervon abhängig gemacht wäre. In diesem Sinne zeigt sich das Differential von x[hoch n], durch das erste Glied der Reihe, die durch die Entwickelung von (x + dx)[hoch n] sich ergiebt, gänzlich erschöpft. Daß die übrigen Glieder nicht berücksichtigt werden, kommt so nicht von ihrer relativen Kleinheit her; es wird dabei nicht eine Ungenauigkeit, ein Fehler oder Irrthum vorausgesetzt, der durch einen anderen Irrthum ausgeglichen und verbessert würde; eine Ansicht, von welcher aus Carnot vornehmlich die gewöhnliche Methode der Infinitesimalrechnung rechtfertigt. Indem es sich nicht um eine Summe, sondern um ein Verhältniß handelt, so ist das Differential vollkommen durch das erste Glied gefunden; und wo es fernerer Glieder, der Differentiale höherer Ordnungen bedarf, so liegt in ihrer Bestimmung nicht die Fortsetzung einer Reihe als Summe, sondern die Wiederholung eines und desselben Verhältnisses, das man allein will, und das somit im ersten Glied bereits vollkommen bestimmt ist. Das Bedürfniß der Form einer Reihe des Summirens derselben und was damit zusammenhängt, muß dann ganz von jenem Interesse des Verhältnisses getrennt werden.

Die Erläuterungen, welche Carnot über die Methode der unendlichen Größen giebt, enthalten das Geläutertste und aufs Klarste exponirt, was in den oben angeführten Vorstellungen vorkam. Aber bei dem Uebergange zur Operation selbst treten mehr oder weniger die gewöhnlichen Vorstellungen, von der unendlichen Kleinheit der weggelassenen Glieder gegen die andern ein. Er rechtfertigt die Methode vielmehr durch die Thatsache, daß die Resultate richtig werden, und durch den Nutzen, den die Einführung unvollkommner Gleichungen, wie er sie nennt, d. h. solcher, in denen eine solche arithmetisch unrichtige Weglassung geschehen ist, für die Vereinfachung und Abkürzung des Kalkuls habe, als durch die Natur der Sache selbst.

Lagrange hat bekanntlich die ursprüngliche Methode Newtons, die Methode der Reihen, wieder aufgenommen, um der Schwierigkeiten, welche die Vorstellung des Unendlich-Kleinen, so wie derjenigen, welche die Methode der ersten und letzten Verhältnisse und Grenzen mit sich führt, überhoben zu seyn. Es ist von seinem Funktionen-Kalkul, dessen sonstige Vorzüge in Rücksicht auf Präcision, Abstraktion und Allgemeinheit anerkannt genug sind, als hierher gehörig nur dieß anzuführen, daß er auf dem Fundamentalsatze beruht, daß die Differenz, ohne daß sie Null werde, so klein angenommen werden könne, daß jedes Glied der Reihe die Summe aller folgenden an Größe übertreffe. Es wird auch in dieser Methode von den Kategorien vom Zuwachs und von der Differenz der Funktion angefangen, deren veränderliche Größe den Zuwachs erhalte, womit die lästige Reihe hereinkommt, von der ursprünglichen Funktion; so wie im Verfolg die wegzulassenden Glieder der Reihe nur in der Rücksicht, daß sie eine Summe constituiren, in Betracht kommen, und der Grund, sie wegzulassen, in das Relative ihres Quantums gesetzt wird. Die Weglassung ist also hier auch nicht für das Allgemeine auf den Gesichtspunkt zurückgeführt, der Theils in einigen Anwendungen vorkommt, worin, wie vorhin erinnert, die Glieder der Reihe eine bestimmte qualitative Bedeutung haben sollen und Glieder außer Acht gelassen werden, nicht darum weil sie unbedeutend an Größe sind, sondern weil sie unbedeutend der Qualität nach sind; Theils aber fällt dann die Weglassung selbst in dem wesentlichen Gesichtspunkte hinweg, der sich für den sogenannten Differential-Koefficienten erst in der sogenannten Anwendung des Kalkuls bei Lagrange bestimmt heraushebt, was in der folgenden Anmerkung ausführlicher auseinandergesetzt werden wird.

Der qualitative Charakter überhaupt, der hier an der in Rede stehenden Größenform in demjenigen, was dabei das Unendlichkleine genannt wird, nachgewiesen worden ist, findet sich am unmittelbarsten in der Kategorie der Grenze des Verhältnisses, die oben angeführt worden, und deren Durchführung im Kalkul zu einer eigenthümlichen Methode gestempelt worden ist. Was Lagrange von dieser Methode urtheilt, daß sie der Leichtigkeit in der Anwendung entbehre, und der Ausdruck Grenze keine bestimmte Idee darbiete, davon wollen wir das Zweite hier aufnehmen, und näher sehen, was über ihre analytische Bedeutung aufgestellt wird. In der Vorstellung der Grenze liegt nämlich wohl die angegebene wahrhafte Kategorie der qualitativen Verhältnißbestimmung der veränderlichen Größen, denn die Formen, die von ihnen eintreten, dx und dy, sollen schlechthin nur als Momente von dy/dx genommen, und dx/dy selbst als ein einziges untheilbares Zeichen angesehen werden. Daß hiermit für den Mechanismus des Kalkuls besonders in seiner Anwendung der Vortheil verloren geht, den er davon zieht, daß die Seiten des Differential-Koefficienten von einander abgesondert werden, ist hier bei Seite zu setzen. Jene Grenze soll nun Grenze von einer gegebenen Funktion seyn; sie soll einen gewissen Werth in Beziehung auf dieselbe angeben, der sich durch die Weise der Ableitung bestimmt. Mit der bloßen Kategorie der Grenze aber wären wir nicht weiter, als mit dem, um das es in dieser Anm. zu thun gewesen ist, nämlich aufzuzeigen, daß das Unendlichkleine, das in der Differentialrechnung als dx und dy vorkommt, nicht bloß den negativen, leeren Sinn einer nicht endlichen, nicht gegebenen Größe habe, wie wenn man sagt, eine unendliche Menge, ins unendliche fort und dergleichen, sondern den bestimmten Sinn der qualitativen Bestimmtheit des Quantitativen, eines Verhältnißmoments als eines solchen. Diese Kategorie hat jedoch so noch kein Verhältniß zu dem, was eine gegebene Funktion ist, und greift für sich nicht in die Behandlung einer solchen und in einen Gebrauch, der an ihr von jener Bestimmung zu machen wäre, ein; so würde auch die Vorstellung der Grenze, zurückgehalten in dieser von ihr nachgewiesenen Bestimmtheit, zu nichts führen. Aber der Ausdruck Grenze enthält es schon selbst, daß sie Grenze von Etwas sey, d. h. einen gewissen Werth ausdrücke, der in der Funktion veränderlicher Größe liegt; und es ist zu sehen, wie dieß konkrete Benehmen mit ihr beschaffen ist. Sie soll die Grenze des Verhältnisses seyn, welches die zwei Inkremente zu einander haben, um welche die zwei veränderlichen Größen, die in einer Gleichung verbunden sind, deren die eine als eine Funktion der andern angesehen wird, als zunehmend angenommen worden; der Zuwachs wird hier unbestimmt überhaupt genommen und insofern von dem Unendlichkleinen kein Gebrauch gemacht. Aber zunächst führt der Weg, diese Grenze zu finden, dieselben Inkonsequenzen herbei, die in den übrigen Methoden liegen. Dieser Weg ist nämlich folgender. Wenn y = fx, soll fx, wenn y in y + k übergeht, sich in fx + ph + qh[hoch 2] + rh[hoch 3] u.s.f. verändert, hiermit ist k = ph + qh[hoch 2] u.s.f. und k/h = p + qh + rh[hoch 2] u.s.f. Wenn nun k und h verschwinden, so verschwindet das zweite Glied außer p, welches p nun die Grenze des Verhältnisses der beiden Zuwächse sey. Man sieht, daß h als Quantum = 0 gesetzt wird, aber daß darum k/h nicht zugleich = 0 seyn, sondern noch ein Verhältniß bleiben soll. Den Vortheil, die Inkonsequenz, die hierin liegt, abzulehnen, soll nun die Vorstellung der Grenze gewähren; p soll zugleich nicht das wirkliche Verhältniß, das = 0/0 wäre, sondern nur der bestimmte Werth seyn, dem sich das Verhältniß unendlich d.i. so nähern könne, daß der Unterschied kleiner als jeder gegebene werden könne. Der bestimmtere Sinn der Näherung in Rücksicht dessen, was sich eigentlich einander nähern soll, wird unten betrachtet werden. Daß aber ein quantitativer Unterschied, der die Bestimmung hat, kleiner als jeder gegebene seyn zu können nicht nur, sondern seyn zu sollen, kein quantitativer Unterschied mehr ist, dieß ist für sich klar, so evident als irgend etwas in der Mathematik evident seyn kann; damit aber ist über dy/dx = 0/0 nicht hinausgekommen worden. Wenn dagegen dy/dx = p d.i. als ein bestimmtes quantitatives Verhältniß, angenommen wird, wie dieß in der That der Fall ist, so kommt umgekehrt die Voraussetzung, welche h = 0 gesetzt hat, in Verlegenheit, eine Voraussetzung, durch welche allein k/h = p gefunden wird. Giebt man aber zu, daß k/h = 0 ist, und mit h = 0 wird in der That von selbst auch k = 0; denn der Zuwachs k zu y findet nur unter der Bedingung statt, daß der Zuwachs h ist; so wäre zu sagen, was denn p seyn solle, welches ein ganz bestimmter quantitativer Werth ist. Hierauf giebt sich sogleich die einfache, trockne Antwort von selbst, daß es ein Koefficient ist und aus welcher Ableitung er entsteht, die auf gewisse bestimmte Weise abgeleitete erste Funktion einer ursprünglichen Funktion. Begnügte man sich damit, wie denn in der That Lagrange sich der Sache nach damit begnügt hat, so wäre der allgemeine Theil der Wissenschaft des Differential-Kalkuls und unmittelbar diese seine Form selbst, welche die Theorie der Grenzen heißt, von den Zuwächsen, dann deren unendlicher oder beliebiger Kleinheit, von der Schwierigkeit, außer dem ersten Gliede oder vielmehr nur dem Coefficienten des ersten Gliedes die weitern Glieder einer Reihe, als welche durch die Einführung jener Zuwächse unabwendbar sich einfinden, wieder wegzubringen, befreit; außerdem aber auch von dem weitern, was damit zusammenhängt, von den formellen Kategorien vor allem des Unendlichen, der unendlichen Annäherung, und der weitern hier ebenso leeren Kategorien von kontinuirlicher Größe Die Kategorie von der kontinuirlichen oder fließenden Größe stellt sich mit der Betrachtung der äußerlichen und empirischen Veränderung der Größen, die durch eine Gleichung in die Beziehung, daß die Eine eine Funktion der Andern ist, gebracht sind, ein; da aber der wissenschaftliche Gegenstand der Differentialrechnung ein gewisses (durch den Differential-Koefficienten gewöhnlich ausgedrücktes) Verhältniß, welche Bestimmtheit ebensowohl Gesetz genannt werden kann, ist, so ist für diese specifische Bestimmtheit die bloße Kontinuität Theils schon eine fremdartige Seite, Theils aber auf allen Fall die abstrakte und hier leere Kategorie, da über das Gesetz der Kontinuität gar nichts damit ausgedrückt ist. Auf welche formelle Definitionen dabei vollends verfallen wird, ist aus meines verehrten Hrn. Collegen, Prof. Dirksen, scharfsinniger allgemeinen Darstellung der Grundbestimmungen, die für die Deduktion des Differential-Kalkuls gebraucht werden, welche sich an die Kritik einiger neueren Werke über diese Wissenschaft anschließt und sich in den Jahrb. f. wissensch. Kritik, 1827 Nr. 153 ff., befindet, zu ersehen, es wird daselbst S. 1251 sogar die Definition angeführt: "Eine stätige oder kontinuirliche Größe, Kontinuum, ist jede Größe, welche man sich im Zustande des Werdens gedenkt, so daß dieses Werden nicht sprungweise, sondern durch ununterbrochenen Fortgang geschieht." Das ist doch wohl tautologisch dasselbe, was das definitum ist. und welche man sonst, wie Bestreben, Werden, Gelegenheit einer Veränderung für nöthig erachtet, gereinigt. Aber dann würde gefordert zu zeigen, was denn p, außer der, für die Theorie ganz genügenden trocknen Bestimmung, daß es weiter nichts als eine aus der Entwickelung eines Binomiums abgeleitete Funktion ist, noch für eine Bedeutung und Werth, d. i. welchen Zusammenhang und Gebrauch für weiteres mathematisches Bedürfniß habe; hiervon soll die zweite Anmerkung handeln. Es folgt aber zunächst hier noch die Auseinandersetzung der Verwirrung, welche durch den angeführten, in den Darstellungen so geläufigen Gebrauch der Vorstellung von Annäherung in das Auffassen der eigentlichen, qualitativen Bestimmtheit des Verhältnisses, um das es zunächst zu thun war, gebracht worden ist.

Es ist gezeigt worden, daß die sogenannten unendlichen Differenzen das Verschwinden der Seiten des Verhältnisses als Quantorum ausdrücken, und daß das, was übrig bleibt, ihr Quantitätsverhältniß ist, rein insofern es auf qualitative Weise bestimmt ist; das qualitative Verhältniß geht hierin so wenig verloren, daß es vielmehr dasjenige ist, was eben durch die Verwandlung endlicher Größen in unendliche resultirt. Hierin besteht, wie wir gesehen, die ganze Natur der Sache. So verschwinden im letzten Verhältnisse z.B. die Quanta der Abscisse und Ordinate; aber die Seiten dieses Verhältnisses bleiben wesentlich die eine, Element der Ordinate, die andere Element der Abscisse. Indem die Vorstellungsweise gebraucht wird, daß man die eine Ordinate sich der anderen unendlich nähern läßt, so geht die vorher unterschiedene Ordinate in die andere Ordinate, und die vorher unterschiedene Abscisse in die andere Abscisse über; aber wesentlich geht nicht die Ordinate in die Abscisse, oder die Abscisse in die Ordinate über. Das Element der Ordinate, um bei diesem Beispiele von veränderlichen Größen stehen zu bleiben, ist nicht als der Unterschied einer Ordinate von einer anderen Ordinate zu nehmen, sondern ist vielmehr als der Unterschied oder die qualitative Größenbestimmung gegen das Element der Abscisse; das Princip der einen veränderlichen Größe gegen das der andern steht im Verhältnisse miteinander. Der Unterschied, indem er nicht mehr Unterschied endlicher Größen ist, hat aufgehört, ein Vielfaches innerhalb seiner selbst zu seyn; er ist in die einfache Intensität zusammengesunken, in die Bestimmtheit eines qualitativen Verhältnißmoments gegen das andere.

Diese Beschaffenheit der Sache wird aber dadurch verdunkelt, daß das, was so eben Element z.B. der Ordinate genannt worden, so als Differenz oder Inkrement gefaßt wird, daß es nur der Unterschied des Quantums einer Ordinate zwischen dem Quantum einer andern Ordinate sey. Die Grenze hat hiermit hier nicht den Sinn des Verhältnisses; sie gilt nur als der letzte Werth, dem sich eine andere Größe von gleicher Art beständig so nähere, daß sie von ihm, so wenig als man will, unterschieden seyn könne, und daß das letzte Verhältniß, ein Verhältniß der Gleichheit sey. So ist die unendliche Differenz das Schweben eines Unterschieds eines Quantums von einem Quantum, und die qualitative Natur, nach welcher dx wesentlich nicht eine Verhältnißbestimmung gegen x, sondern gegen dy ist, tritt in der Vorstellung zurück. Man läßt dx[hoch 2] gegen dx verschwinden, aber noch vielmehr verschwindet dx gegen x, dieß heißt aber wahrhaftig: es hat nur ein Verhältniß zu dy. Es ist den Geometern in solchen Darstellungen immer vorzüglich darum zu thun, die Annäherung einer Größe an ihre Grenze begreiflich zu machen, und sich an diese Seite des Unterschiedes des Quantums vom Quantum, wie er kein Unterschied und doch noch ein Unterschied ist, zu halten. Aber die Annäherung ist ohnehin für sich eine nichts sagende und nichts begreiflich machende Kategorie; dx hat die Annäherung bereits im Rücken, es ist nicht nahe noch ein Näheres; und unendlich nahe heißt selbst die Negation des Naheseyns und des Annäherns.

Indem es nun damit geschehen ist, daß die Inkremente oder unendlichen Differenzen nur nach der Seite des Quantums, das in ihnen verschwindet, und nur als Grenze desselben betrachtet worden sind, so sind sie so als verhältnißlose Momente gefaßt. Es würde die unstatthafte Vorstellung daraus folgen, daß es erlaubt sey, in dem letzten Verhältnisse etwa Abscisse und Ordinate, oder auch Sinus, Cosinus, Tangente, Sinus versus und was alles noch, einander gleich zu setzen. Diese Vorstellung scheint zunächst darin obzuwalten, wenn ein Bogen als eine Tangente behandelt wird; denn auch der Bogen ist wohl inkommensurabel mft der geraden Linie, und sein Element zunächst von anderer Qualität als das Element der geraden Linie. Es scheint noch widersinniger und unerlaubter, als die Verwechslung der Abscisse, Ordinate, des Sinus versus, Cosinus u.s.f. wenn quadrata rotundis, wenn ein ob zwar unendlich kleiner Theil des Bogens, für ein Stück der Tangente, genommen, und somit als gerade Linie behandelt wird. Allein diese Behandlung ist von der gerügten Verwechslung wesentlich zu unterscheiden; sie hat ihre Rechtfertigung darin, daß in dem Dreieck, weilches das Element eines Bogens und die Elemente seiner Abscisse und der Ordinate zu seinen Seiten hat, das Verhältniß dasselbe ist, als wenn jenes Element des Bogens das Element einer geraden Linie, der Tangente wäre; die Winkel, welche das wesentliche Verhältniß konstituiren, d. i. dasjenige, das diesen Elementen bleibt, indem von den ihnen zugehörigen endlichen Größen abstrahirt wird, sind die nämlichen. Man kann sich hierüber auch ausdrücken, gerade Linien, als unendlichklein, seyen in krumme Linien übergegangen, und das Verhältniß ihrer in ihrer Unendlichkeit sey ein Kurvenverhältniß. Da nach ihrer Definition die gerade Linie der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist, so gründet sich ihr Unterschied von krummer Linie auf die Bestimmung von Menge, auf die geringere Menge des Unterscheidbaren auf diesem Wege, was also eine Bestimmung von Quantum Ist. Aber diese Bestimmung verschwindet in ihr, sie als intensive Größe, als unendliches Moment, als Element genommen; somit auch ihr Unterschied von der krummen Linie, der bloß auf dem Quantumsunterschiede beruhte. Also als unendlich behält gerade Linie und Bogen kein quantitatives Verhältniß und damit, auf den Grund der angenommenen Definition, auch keine qualitative Verschiedenheit mehr gegeneinander, sondern geht jene vielmehr in diese über.

Verwandt, jedoch zugleich verschieden, von der Gleichsetzung heterogener Bestimmungen ist die für sich unbestimmte und völlig gleichgültige Annahme, daß unendlich kleine Theile desselben Ganzen einander gleich seyen; jedoch angewandt auf einen in sich heterogenen d. i. mit wesentlicher Ungleichförmigkeit der Größebestimmung behafteten Gegenstand, bringt sie die eigenthüniliche Verkehrung hervor, die in dem Satze der höhern Mechanik enthalten ist, daß in gleichen und zwar unendlichkleinen Zeiten unendlichkleine Theile einer Kurve in gleichförmiger Bewegung durchloffen werden, indem dieß von einer Bewegung behauptet wird, in der in gleichen endlichen d. i. existirenden Zeittheilen endliche, d. i. existirende ungleiche Theile der Kurve durchloffen werden, d. i. also von einer Bewegung, die als existirend ungleichförmig ist und so angenommen wird. Dieser Satz ist der Ausdruck desjenigen in Worten, was ein analytisches Glied, das sich in der oben auch angeführten Entwickelung der Formel von ungleichförmiger übrigens einem Gesetze gemäßen Bewegung ergiebt, bedeuten soll. Aeltere Mathematiker suchten Ergebnisse der neu erfundenen Infinitesimal-Rechnung, die ohnehin immer mit konkreten Gegenständen zu thun hatte, in Worte und Sätze auszudrücken und sie in geometrischen Verzeichnungen darzustellen, wesentlich um sie für die Lehrsätze nach gewöhnlicher Beweise-Art zu gebrauchen. Die Glieder einer mathematischen Formel, in welche die analytische Behandlung die Größe des Gegenstands z.B. der Bewegung zerlegte, erhielten dort eine gegenständliche Bedeutung, z.B. der Geschwindigkeit, beschleunigende Kraft u.s.f. sie sollten nach solcher Bedeutung richtige Sätze, physikalische Gesetze geben und nach der analytischen Verbindung auch ihre objektiven Verknüpfungen und Verhältnisse bestimmt seyn, wie z.B. eben daß in einer gleichförmig beschleunigten Bewegung eine besondere den Zeiten proportionale Geschwindigkeit existire, außerdem aber ein Zuwachs von der Kraft der Schwere her, immer hinzukomme. Solche Sätze werden in der modernen, analytischen Gestalt der Mechanik durchaus als Ergebnisse des Kalkuls aufgeführt unbekümmert darum, ob sie einen reellen Sinn d. i. dem eine Existenz entspräche, für sich an ihnen selbst hätten, und um einen Beweis eines solchen; die Schwierigkeit, den Zusammenhang solcher Bestimmungen, wenn sie im ausgesprochenen reellen Sinn genommen werden, z.B. den Uebergang von jener schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit zu einer gleichförmigen beschleunigten, begreifflich zu machen, gilt dafür, durch die analytische Behandlung ganz beseitigt zu seyn, als in welcher solcher Zusammenhang einfache Folge der nunmehrigen festen Autorität der Operationen des Kalkuls ist. Es wird für einen Triumph der Wissenschaft ausgegeben, durch den bloßen Kalkul über die Erfahrung hinaus Gesetze, d. i. Sätze der Existenz, die keine Existenz haben, zu finden. Aber in der erstern noch naiven Zeit des Infinitesimal-Kalkuls sollte von jenen Bestimmungen und Sätzen, in geometrischen Verzeichnungen vorgestellt, ein reeller Sinn für sich angegeben und plausibel gemacht, und sie in solchem Sinne zum Beweise von den Hauptsätzen, um die es zu thun war, angewendet werden, ( man sehe den newtonischen Beweis von seinem Fundamentalsatze der Theorie der Gravitation in den Princ. mathem. philosophiae naturalis lib. I. Sect. II. Prop. I. verglichen mit Schuberts Astronomie (erster Ausg. III. B. _. 20), wo zugestanden wird, daß es sich nicht genau so, d. i. in dem Punkte, welcher der Nerv des Beweises ist, sich nicht so verhalte, wie Newton annimmt ).

Es wird nicht geläugnet werden können, daß man sich in diesem Felde vieles als Beweis, vornehmlich unter der Beihülfe des Nebels des Unendlich-Kleinen hat gefallen lassen, aus keinem andern Grunde als dem, daß das, was herauskam, immer schon vorher bekannt war, und der Beweis, der so eingerichtet wurde, daß es herauskam, wenigstens den Schein eines Gerüstes von Beweis zu Stande brachte; einen Schein, den man dem bloßen Glauben oder dem Wissen aus Erfahrung immer noch vorzog. Ich aber trage kein Bedenken, diese Manier für nicht mehr als eine bloße Taschenspielerei und Charlatanerie des Beweisens anzusehen, und hierunter selbst newtonische Beweise zu rechnen, ins Besondere die zu dem so eben angeführten gehörigen, wegen welcher man Newton bis an den Himmel und über Keppler erhoben hat, das was dieser bloß durch Erfahrung gefunden, mathematisch dargethan zu haben.

Das leere Gerüste solcher Beweise wurde errichtet, um physische Gesetze zu beweisen. Aber die Mathematik vermag überhaupt nicht Größenbestimmungen der Physik zu beweisen, insofern sie Gesetze sind, welche die qualitative Natur der Momente zum Grunde haben; aus dem einfachen Grunde, weil diese Wissenschaft nicht Philosophie ist, nicht vom Begriffe ausgeht, und das Qualitative daher, insofern es nicht lemmatischerweise aus der Erfahrung aufgenommen wird, außer ihrer Sphäre liegt. Die Behauptung der Ehre der Mathematik, daß alle in ihr vorkommenden Sätze streng bewiesen seyn sollen, ließ sie ihre Grenze oft vergessen; so schien es gegen ihre Ehre, für Erfahrungssätze einfach die Erfahrung als Quelle und als einzigen Beweis anzuerkennen; später ist das Bewußtseyn hierüber gebildeter geworden; eh dieses aber über den Unterschied sich nicht klar wird, was mathematisch beweisbar ist und was nur anderwärts genommen werden kann, wie darüber was nur Glieder analytischer Entwickelung und was physikalische Existenzen sind, kann die Wissenschaftlichkeit sich nicht zu strenger und reiner Haltung herausbilden. Jenem Gerüste newtonischen Beweisens aber wird ohne Zweifel noch dasselbe Recht widerfahren, das einem anderen grundlosen newtonischen Kunstgebäude aus optischen Experimenten und damit verbundenem Schließen angethan worden ist. Die angewandte Mathematik ist noch voll von einem gleichen Gebräue aus Erfahrung und Reflexion, aber wie vonjener Optik seit geraumer Zeit bereits ein Theil nach dem andern anfing in der Wissenschaft faktisch ignorirt zu werden mit der Inkonsequenz jedoch, das Uebrige obgleich damit Widersprechende noch gewähren zu lassen, so ist es auch Faktum, daß bereits ein Theil jener trügerischen Beweise, von selbst in Vergessenheit gerathen oder durch andere ersetzt worden ist.

In der vorigen Anmerkung ist Theils die Begriffsbestimmtheit des Unendlich-Kleinen, das in dem Differential-Kalkul gebraucht wird, Theils die Grundlage seiner Einführung in denselben betrachtet worden; Beides sind abstrakte und darum an sich auch leichte Bestimmungen; die sogenannte Anwendung aber bietet größere Schwierigkeiten sowohl als auch die interessantere Seite dar; die Elemente dieser konkreten Seite sollen der Gegenstand dieser Anmerkung seyn. Die ganze Methode der Differentialrechnung ist in dem Satze, daß dx[hoch n] = nx[hoch n 1]dx, oder f(x+i)-fx/i = P, d.i. gleich dem Koefficienten des ersten Gliedes des nach den Potenzen von dx oder i entwickelten Binomiums x + d, x + i, absolvirt. Man bedarf weiter nichts zu erlernen; die Ableitung der nächsten Formen, des Differentials eines Produkts, einer Exponentialgröße und sofort ergiebt sich daraus mechanisch; in wenig Zeit, vielleicht in einer halben Stunde mit dem Finden der Differentiale ist das umgekehrte, das Finden der ursprünglichen Funktion aus jenen, die Integration gleichfalls gegeben, kann man die ganze Theorie inne haben. Was allein länger aufhält, ist die Bemühung es einzusehn, begreifflich zu machen, daß nachdem der eine Umstand der Aufgabe, das Finden jenes Koefficienten, auf analytische d. i. ganz arithmetische Weise, durch die Entwickelung der Funktion der veränderlichen Größe, nachdem diese durch einen Zuwachs die Form eines Binomiums erhalten, so leicht bewerkstelligt worden, es auch mit dem andern Umstand, nämlich mit dem Weglassen der übrigen Glieder der entstehenden Reihe außer den ersten, seine Richtigkeit habe. Wäre es der Fall, daß man jenen Koefficienten allein nöthig hätte, so wäre mit der Bestimmung desselben Alles, was die Theorie betrifft, wie gesagt in weniger als einer halben Stunde abgethan, und das Weglassen der weitern Glieder der Reihe machte so wenig eine Schwierigkeit, daß vielmehr von ihnen, als Gliedern der Reihe (als zweiten, dritten u.s.f. Funktionen ist ihre Bestimmung schon mit der Bestimmung des ersten gleichfalls absolvirt), gar nicht die Rede wäre, da es um sie ganz und gar nicht zu thun ist.

Es kann die Bemerkung vorangeschickt werden, daß man es der Methode des Differentialkalkuls wohl sogleich ansieht, daß sie nicht für sich selbst erfunden und aufgestellt worden ist; sie ist nicht nur nicht für sich begründet, als eine andere Weise analytischen Verfahrens, sondern die Gewaltsamkeit, Glieder, die sich aus Entwickelung einer Funktion ergeben, indem doch das Ganze dieser Entwickelung vollständig zur Sache zu gehören angenommen ist, weil die Sache als der Unterschied

der entwickelten Funktion einer veränderlichen Größe, nachdem dieser die Gestalt eines Binomiums gegeben worden, von der ursprünglichen, angesehen wird, geradezu wegzulassen, widerspricht vielmehr durchaus allen mathematischen Grundsätzen. Das Bedürfniß solcher Verfahrungsweise, wie die ihr an ihr selbst mangelnde Berechtigung, weist sogleich darauf hin, daß anderswo der Ursprung und die Grundlage sich befinden müsse. Es geschieht auch sonst in den Wissenschaften, daß das, was als das Elementarische vornehin gestellt ist und woraus die Sätze der Wissenschaft abgeleitet werden sollen, nicht einleuchtend ist, und daß es sich ausweist, vielmehr in dem Nachfolgenden seine Veranlassung und seine Begründung zu haben. Der Hergang in der Geschichte des Differential-Kalkuls thut dar, daß er in den verschiedenen sogenannten Tangential-Methoden vornehmlich, die Sache gleichsam als in Kunststücken, den Anfang genommen hat; die Art des Verfahrens, nachdem es auch auf weitere Gegenstande ausgedehnt worden, ist spater zum Bewußtseyn und in abstrakte Formeln gebracht worden, welche nun auch zu Principien zu erheben versucht wurde.

Als die Begriffsbestimmtheit des sogenannten Unendlich-Kleinen ist die qualitative Quantitäts-Bestimmtheit solcher, die zunächst als Quanta im Verhältniß zu einander gesetzt sind, aufgezeigt worden, woran sich die empirische Untersuchung knüpfte, jene Begriffs-Bestimmtheit in den Beschreibungen oder Definitionen nachzuweisen, die sich von dem Unendlich-Kleinen, insofern es als unendliche Differenz und dergleichen genommen ist, vorfinden. Dieß ist nur im Interesse der abstrakten Begriffsbestimmtheit als solcher geschehen; die weitere Frage wäre, wie von ihr der Uebergang zur mathematischen Gestaltung und Anwendung beschaffen wäre. Zu dem Ende ist zuerst das Theoretische, die Begriffsbestimmtheit, noch weiter vorzunehmen, welche sich an ihr selbst nicht ganz unfruchtbar zeigen wird; alsdenn ist das Verhältniß derselben zur Anwendung zu betrachten, und bei beidem nachzuweisen, so weit es hier angeht, daß die allgeineinen Folgerungen zugleich demjenigen, um was es in der Differentialrechnung zu thun ist, und der Art, wie sie es bewerkstelligt, angemessen sind.

Zunächst ist daran zu erinnern, daß die Form, welche die in Rede stehende Begriffsbestimmtheit im Mathematischen hat, bereits beiläufig angegeben ist. Die qualitative Bestimmtheit des Quantitativen ist zuerst im quantitativen Verhältniß überhaupt aufgewiesen, es ist aber auch schon bei der Nachweisung der unterschiedenen sogenannten Rechnungsarten (s. d. betreff. Anm.) anticipirt worden, daß das nachher an seiner eigenthümlichen Stelle noch zu betrachtende Potenzenverhältniß es ist, worin die Zahl durch Gleichsetzung ihrer Begriffsmomente, der Einheit und der Anzahl als zu sich selbst zurückgekehrte gesetzt ist, und damit das Moment der Unendlichkeit, des Fürsichseyns, d. i. des Bestimmtseyns durch sich selbst, an ihr erhält. Die ausdrückliche qualitative Größenbestimmtheit bezieht sich somit, wie gleichfalls schon erinnert, wesentlich auf Potenzenbestimmungen, und da die Differentialrechnung das Specifische hat, mit qualitativen Größenformen zu operiren, so muß ihr eigenthümlicher mathematischer Gegenstand die Behandlung von Potenzenformen seyn, und die sämmtlichen Aufgaben und deren Auflösungen, zu deren Behuf die Differentialrechnung gebraucht wird, zeigen es, daß das Interesse allein in der Behandlung von Potenzenbestimmungen als solchen liegt.

So wichtig diese Grundlage ist, und sogleich an die Spitze etwas Bestimmtes stellt, statt der bloß formellen Kategorien von veränderlichen, kontinuirlichen oder unendlichen Größen und dergleichen, oder auch nur von Funktionen uberhaupt, so ist sie noch zu allgemein; andere Operationen haben gleichfalls damit zu thun; schon das Erheben in die Potenz und Wurzelausziehen, dann die Behandlung der Exponentialgrößen und Logarithmen, Reihen, die Gleichungen höherer Ordnungen haben ihr Interesse und ihre Bemühung allein mit Verhältnissen, die auf Potenzen beruhen. Ohne Zweifel müssen sie zusammen ein System der Potenzenbehandlung ausmachen; aber welches unter den verschiedenen Verhältnissen, worein Potenzenbestimmungen gesetzt werden können, dasjenige sey, das der eigentliche Gegenstand und das Interesse für die Differentialrechnung ist, dieß ist aus dieser selbst, d. i. aus den sogenannten Anwendungen derselben zu entnehmen. Diese sind in der That die Sache selbst, das wirkliche Verfahren in der mathematischen Auflösung eines gewissen Kreises von Problemen; dieß Verfahren ist früher gewesen, als die Theorie oder der allgemeine Theil, und Anwendung ist dasselbe später genannt worden nur in Beziehung auf die nachher erschaffene Theorie, welche die allgemeine Methode des Verfahrens Theils aufstellen, Theils ihr aber Principien, d. i. Rechtfertigung geben wollte. Welche vergebliche Bemühung es gewesen ist, für die bisherige Auffassungsweise des Verfahrens Principien aufzufinden, welche den Widerspruch, der dabei zum Vorschein kommt, wirklich lösten, statt ihn nur durch die Unbedeutenheit des nach dem mathematischen Verfahren nothwendigen hier aber wegzulassenden, oder durch die auf dasselbe hinauslaufende Möglichkeit der unendlichen oder beliebigen Annäherung und dergleichen zu entschuldigen oder zu verstecken, ist in voriger Anmerkung gezeigt worden. Wenn aus dem wirklichen Theile der Mathematik, der die Differentialrechnung genannt wird, das Allgemeine des Verfahrens anders abstrahirt würde, als bisher geschehen ist, so würden sich jene Principien und die Bemühung mit denselben auch als entbehrlich zeigen, wie sie an ihnen selbst sich als etwas Schiefes und im Widerspruche Bleibendes ausweisen.

Wenn wir diesem Eigenthümlichen durch einfaches Aufnehmen des in diesem Theile der Mathematik Vorhandenen nachforschen, so finden wir als Gegenstand à) Gleichungen, in welchen eine beliebige Anzahl von Größen (wir können hier überhaupt bei zwei stehen bleiben) zu einem Ganzen der Bestimmtheit so verbunden sind, daß diese erstens ihre Bestimmtheit in empirischen Größen, als festen Grenzen und dann in der Art der Verbindung mit denselben, so wie ihrer Verbindung untereinander, haben; wie dieß überhaupt in einer Gleichung der Fall ist; indem aber nur Eine Gleichung für beide Größen (und ebenso relativ wohl mehrere Gleichungen für mehrere Größen, aber immer weniger, als die Anzahl der Größen ist ) vorhanden ist, gehören diese Gleichungen zu den unbestimmten; und daß zweitens eine Seite, wie diese Größen hier ihre Bestimmtheit haben, darin liegt, daß sie (wenigstens eine derselben) in einer höhern, als die erste Potenz, in der Gleichung vorhanden sind.

Hierüber sind zunächst einige Bemerkungen zu machen, für's Erste, daß die Größen nach der ersten der angegebenen Bestimmungen ganz nur den Charakter solcher veränderlichen Größen haben, wie sie in den Aufgaben der unbestimmten Analysis vorkommen. Ihr Werth ist unbestimmt, aber so daß wenn anderswoher ein vollkommen bestimmter Werth, d. i. ein Zahlenwerth für die eine kommt, auch die andere bestimmt, so die eine, eine Funktion der andern, ist. Die Kategorien von veränderlichen Größen, Funktionen und dergleichen sind darum für die specifische Größebestimmtheit, die hier in Rede steht, nur formell, wie vorhin gesagt worden ist, weil sie von einer Allgemeinheit sind, in welcher dasjenige Specifische, worauf das ganze Interesse des Differentialkalkuls geht, noch nicht enthalten ist, noch daraus durch Analyse explicirt werden kann; sie sind für sich einfache, unbedeutende, leichte Bestimmungen, die nur erst schwierig gemacht werden, insofern das in sie gelegt werden soll, damit es dann aus ihnen abgeleitet werden könne, was nicht in ihnen liegt, nämlich die specifische Bestimmung der Differentialrechnung. Was alsdenn die sogenannte Konstante betrifft, so kann über sie bemerkt werden, daß sie zunächst als eine gleichgültige empirische Größe ist, bestimmend für die veränderlichen Größen bloß in Ansehung ihres empirischen Quantums, als Grenze ihres Minimums und Maximums; die Art der Verbindung aber der Konstanten mit den veränderlichen Größen ist selbst eines der Momente für die Natur der besonderen Funktion, welche diese Größen sind. Umgekehrt sind aber auch die Konstanten selbst Funktionen; insofern z.B. eine gerade Linie den Sinn hat, Parameter einer Parabel zu seyn, so ist dieser ihr Sinn dieß, daß sie die Funktion y[hoch 2]/x ist; wie in der Entwickelung des Binomiums überhaupt, die Konstante, welche der Koefficient des ersten Entwickelungsgliedes ist, die Summe der Wurzeln, der des zweiten, die Summe der Produkte derselben zu zwei und zwei u.s.f. also diese Konstanten hier überhaupt Funktionen der Wurzeln sind; wo in der Integralrechnung die Konstante aus der gegebenen Formel bestimmt wird, wird sie insofern als eine Funktion von dieser behandelt. Jene Koefficienten werden wir dann weiter in einer anderen Bestimmung als Funktionen betrachten, deren Bedeutung im Konkreten es ist, worauf das ganze Interesse geht.

Das Eigenthümliche nun aber, wodurch die Betrachtung der veränderlichen Größen sich in der Differentialrechnung von ihrer Beschaffenheit in den unbestimmten Aufgaben unterscheidet, ist in das Angegebene zu setzen, daß wenigstens eine jener Größen oder auch alle sich in einer höhern Potenz als die erste befinde, wobei wieder gleichgültig ist, ob sämmtliche von derselben höhern oder von ungleichen Potenzen sind; ihre specifische Unbestimmtheit, die sie hier haben, liegt allein darin, daß sie in solchem Potenzenverhältnisse Funktionen von einander sind. Dadurch ist die Veränderung der veränderlichen Größen qualitativ determinirt, damit kontinuirlich, und diese Kontinuität, die für sich wieder nur die formelle Kategorie überhaupt einer Identität, einer sich in der Veränderung erhaltenden, gleichbleibenden Bestimmtheit ist, hat hier ihren determinirten Sinn und zwar allein in dem Potenzenverhältnisse, als welches kein Quantum zu seinem Exponenten hat, und die nicht quantitative, bleibende Bestimmtheit des Verhältnisses der veränderlichen Größen ausmacht. Daher ist gegen einen andern Formalismus die Bemerkung zu machen, daß die erste Potenz nur Potenz im Verhältniß zu höhern ist; für sich ist x nur irgend ein unbestimmtes Quantum. So hat es keinen Sinn, für sich die Gleichungen y = ax + b, der geraden Linie oder s = ct die der schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit zu differentiren; wenn aus y = ax, oder auch aus y = ax + b, a = dy/dx, oder ds/dt = c aus s = ct wird, so ist ebenso sehr a = y/x, die Bestimmung der Tangente oder s/t = c. die der schlechten Geschwindigkeit. Letztere wird als dy/dx exponirt im Zusammenhange dessen, was für die Entwickelung der gleichförmig beschleunigten Bewegung ausgegeben wird; aber daß ein Moment von einfacher, schlechtgleichförmiger, d. i. nicht durch die höhere Potenz eines der Momente der Bewegung bestimmter Geschwindigkeit, im Systeme solcher Bewegung vorkomme, ist, wie früher bemerkt, selbst eine leere, allein in der Routine der Methode gegründete Annahme. Indem die Methode von der Vorstellung des Zuwachses, den die veränderliche Größe erleiden solle, ausgeht, so kann Freilich auch eine solche, die nur eine Funktion von erster Potenz ist, auch einen Zuwachs erleiden; wenn nun hierauf, um das Differential zu finden, der Unterschied der hierdurch entstandenen zweiten Gleichung von der gegebenen genommen werden soll, so zeigt sich das Leere der Operation, daß, wie bemerkt, die Gleichung vor und nach derselben, für die sogenannten Zuwächse dieselbe ist als für die veränderlichen Größen selbst.

ß) Durch das Gesagte ist die Natur der zu behandelnden Gleichung bestimmt, und es ist nun anzugeben, auf welches Interesse sich die Behandlung derselben gerichtet findet. Diese Betrachtung kann nur bekannte Resultate, wie sie der Form nach in der Lagrange'schen Auffassung insbesondere vorhanden sind, geben; aber ich habe die Exposition so ganz elementarisch angestellt, um die damit vermischten heterogenen Bestimmungen zu entfernen. Als die Grundlage der Behandlung der Gleichung von angegebener Art zeigt sich, daß die Potenz innerhalb ihrer selbst als ein Verhältniß, als ein System von Verhältnißbestimmungen, gefaßt wird. Die Potenz ist oben als die Zahl angegeben worden, insofern sie dazu gekommen ist, daß ihre Veränderung durch sie selbst bestimmt, ihre Momente, Einheit und Anzahl identisch ist, wie früher nachgewiesen, vollkommen zunächst im Quadrat, formeller, was hier keinen Unterschied macht, in den höhern Potenzen. Die Potenz nun, da sie als Zahl wenn man den Ausdruck Größe als den allgemeinern vorzieht, so ist sie an sich immer die Zahl, eine Menge ist, auch als Summe dargestellt, kann zunächst innerhalb ihrer in eine beliebige Menge von Zahlen zerlegt werden, die ohne alle weitere Bestimmung gegen einander und gegen ihre Summe sind, als nur daß sie zusammen dieser gleich sind. Aber die Potenz kann auch in eine Summe von solchen Unterschieden discernirt werden, die durch die Form der Potenz bestimmt sind. Wird die Potenz als Summe genommen, so ist auch die Grundzahl derselben, die Wurzel als Summe gefaßt, und beliebig nach mannigfaltiger Zerlegung, welche Mannigfaltigkeit aber das gleichgültige empirisch-Quantitative ist. Die Summe als welche die Wurzel seyn soll, auf ihre einfache Bestimmtheit, d. i. ihre wahrhafte Allgemeinheit zurückgeführt, ist das Binomium; alle weitere Vermehrung der Glieder ist eine bloße Wiederholung derselben Bestimmung und daher etwas Leeres. Es gehört nur zum Formalismus derjenigen Allgemeinheit, auf welche die Analysis nothwendigen Anspruch macht, wenn statt (a + b)[hoch n] für die Potenzenentwicklung zu nehmen, (a + b + c + d ...)[hoch n] gesagt wird, wie dieß auch in vielen andern Fällen gethan wird; es ist solche Form, so zu sagen, nur für eine Koketterie des Scheins der Allgemeinheit zu halten; in dem Binomium ist die Sache erschöpft; es wird durch dessen Entwickelung das Gesetz gefunden, und das Gesetz ist die wahrhafte Allgemeinheit, nicht die äußerliche nur leere Wiederholung des Gesetzes, welche allein es ist, die durch jenes a + b + c + d... hervorgebracht wird. Worauf es ankommt, ist allein die, hiermit qualitative Bestimmtheit der Glieder, welche sich durch die Potenzirung der als Summe angenommenen Wurzel ergiebt, welche Bestimmtheit allein in der Veränderung, die das Potenziren ist, liegt. Diese Glieder sind somit ganz Funktionen der Potenzirung und der Potenz. Jene Darstellung nun der Zahl, als Summe einer Menge von solchen Gliedern, welche Funktionen der Potenzirung sind, alsdenn das Interesse, die Form solcher Funktionen, und ferner diese Summe aus der Menge solcher Glieder, zu finden, insofern dieses Finden allein von jener Form abhängen muß, dieß macht bekanntlich die besondere Lehre von den Reihen aus. Aber hierbei haben wir wesentlich das fernere Interesse zu unterscheiden, nämlich das Verhältniß der zu Grunde liegenden Größe selbst, deren Bestimmtheit, insofern sie ein Komplex d. i. hier eine Gleichung, ist, eine Potenz in sich schließt, zu den Funktionen ihrer Potenzirung. Dieß Verhältniß, ganz abstrahirt von dem vorhin genannten Interesse der Summe wird sich als der Gesichtspunkt zeigen, der sich als der einzige, den die Differentialrechnung sich vorsetzt, aus der wirklichen Wissenschaft ergiebt.

Es ist jedoch vorher noch eine Bestimmung zu dem Gesagten hinzuzufügen, oder vielmehr eine, die darin liegt, zu entfernen. Es wurde nämlich gesagt, daß die veränderliche Größe, in deren Bestimmung die Potenz eintritt, angesehen werde, innerhalb ihrer selbst als Summe und zwar als ein System von Gliedern, insofern diese Funktionen der Potenzirung sind, womit auch die Wurzel als eine Summe, und in der einfach bestimmten Form als Binomium betrachtet werde; x[hoch n] = (y + z)[hoch n] = (y + ny[hoch n-1] z + ....) Diese Darstellung ging für die Entwickelung der Potenz, d. i. für das Erlangen ihrer Potenzirungsfunktionen, von der Summe als solcher aus; es ist jedoch hier nicht um eine Summe als solche noch um die daraus entspringende Reihe zu thun, sondern von der Summe ist nur die Beziehung aufzunehmen. Die Beziehung als solche der Größen ist das was einer Seits übrig bleibt, nachdem von dem plus einer Summa als solcher abstrahirt wird, und was anderer Seits für das Finden der EntwicklungsFunktionen der Potenz erforderlich ist. Solche Beziehung aber ist schon darin bestimmt, daß hier der Gegenstand eine Gleichung, y[hoch m] = ax[hoch n] auch schon ein Komplex von mehrern (veränderlichen) Größen ist, der eine Potenzenbestimmung derselben enthält. In diesem Komplex ist jede dieser Größen schlechthin als in der Beziehung auf die andere mit der Bedeutung, könnte man sagen, eines plus an ihr selbst, als Funktion der andern Größen gesetzt; ihr Charakter, Funktionen von einander zu seyn, giebt ihnen diese Bestimmung des plus, eben damit aber eines ganz unbestimmten, nicht eines Zuwachses, Inkrements und dergleichen. Doch diesen abstrakten Gesichtspunkt konnten wir auch auf der Seite lassen; es kann ganz einfach dabei stehen geblieben werden, daß nachdem die veränderlichen Größen in der Gleichung als Funktionen von einander, so daß diese Bestimmtheit ein Verhältniß von Potenzen enthält, gegeben sind, nun auch die Funktionen der Potenzirung einer jeden mit einander verglichen werden, welche zweiten Funktionen durch gar nichts Anderes weiter als durch die Potenzirung selbst bestimmt sind. Es kann zunächst für ein Belieben oder eine Möglichkeit ausgegeben werden, eine Gleichung von den Potenzen ihrer veränderlichen Größen auf ein Verhältniß ihrer Entwickelungsfunktionen zu setzen; ein weiterer Zweck, Nutzen, Gebrauch hat erst das Dienliche solcher Umgestaltung davon anzugeben; durch ihre Nützlichkeit allein ist jene Umstellung veranlaßt worden. Wenn vorhin von der Darstellung dieser Potenzirungsbestimungen an einer Größe, die als Summe in sich different genommen werde, ausgegangen worden, so diente dieß nur Theils zur Angabe von welcher Art solche Funktionen seyen, Theils liegt darin die Weise sie zu finden.

Wir befinden uns hiermit bei der gewöhnlichen analytischen Entwickelung, die für den Zweck der Differentialrechnung so gefaßt wird, daß der veränderlichen Größe ein Zuwachs, dx, i gegeben und nun die Potenz des Binomiums durch die Gliederreihe, die ihm angehört, explicirt wird. Der sogenannte Zuwachs aber soll nicht ein Quantum, nur eine Form seyn, deren ganzer Werth ist, zur Entwickelung behülflich zu seyn; was man eingestandenermaßen, am bestimmtesten von Euler und Lagrange, und in der früher erwähnten Vorstellung der Grenze, will, sind nur die sich ergebende Potenzenbestimmungen der veränderlichen Größen, die sogenannten Koefficienten zwar des Zuwachses und der Potenzen desselben, nach denen die Reihe sich ordnet und zu denen die unterschiedenen Koefficienten gehören. Es kann hierzu etwa bemerkt werden, daß indem nur um der Entwickelung willen ein Zuwachs angenommen ist, der ohne Quantum sey, es am geschicktesten gewesen wäre, (das Eins) dafür zu nehmen, indem derselbe in der Entwickelung immer nur als Faktor vorkommt, womit eben der Faktor Eins den Zweck erfüllt, daß keine quantitative Bestimmtheit und Veränderung durch den Zuwachs gesetzt werden solle; dagegen dx mit der falschen Vorstellung von einer quantitativen Differenz, und andere Zeichen, wie i, mit dem hier unnützen Scheine von Allgemeinheit behafftet, immer das Aussehen und die Prätension von einem Quantum und dessen Potenzen haben; welche Prätension dann die Mühe herbeibringt, sie dessenungeachtet wegzubringen und wegzulassen. Um die Form einer nach Potenzen entwickelten Reihe zu behalten, könnten die Exponentenbezeichnungen als indices ebenso gut dem Eins angefügt werden. Aber es muß ohnehin von der Reihe und von der Bestimmung der Koefficienten nach der Stelle, die sie in der Reihe haben, abstrahirt werden, das Verhältniß zwischen allen ist dasselbe; die zweite Funktion wird ganz ebenso aus der ersten, als diese aus der ursprünglichen abgeleitet, und für die als die zweite gezählte ist die erste abgeleitete wieder ursprüngliche Funktion. Wesentlich aber geht das Interesse nicht auf die Reihe, sondern ganz allein auf die sich aus der Entwickelung ergebende Potenzenbestimmung in ihrem Verhältniß zu der für sie unmittelbaren Größe. Anstatt also jene als den Koefficienten des ersten Gliedes der Entwickelung zu bestimmen, da ein Glied als das erste in Beziehung auf die andern in der Reihe folgenden bezeichnet wird, eine solche Potenz als eines Zuwachses aber, wie die Reihe selbst hierher nicht gehören, wäre der bloße Ausdruck abgeleitete Potenzenfunktion oder wie vorhin gesagt wurde, eine Funktion des Potenzirens der Größe vorzuziehen, wobei als bekannt vorausgesetzt wird, auf welche Weise die Ableitung als innerhalb einer Potenz eingeschlossene Entwickelung genommen wird.

Wenn nun der eigentliche mathematische Anfang in diesem Theile der Analytik nichts weiter ist, als das Finden der durch die Potenzen-Entwickelung bestimmten Funktion, so ist die weitere Frage, was mit dem damit erhaltenen Verhältnisse anzufangen ist, wo es eine Anwendung und Gebrauch hat, oder in der That, für welchen Zweck solche Funktionen gesucht werden. Durch das Finden von Verhältnissen, an konkreten Gegenständen, welche sich auf jene abstrakte analytische zurückführen lassen, hat die Differentialrechnung ihr großes Interesse erhalten.

Ueber die Anwendbarkeit aber ergiebt sich zunächst aus der Natur der Sache, ohne noch aus den Fällen der Anwendung selbst zu schließen, vermöge der aufgezeigten Gestalt der Potenzenmomente, von selbst Folgendes. Die Entwickelung der Potenzengrößen, wodurch sich die Funktionen ihrer Potenzirung ergeben, enthält, von näherer Bestimmung abstrahirt, zunächst überhaupt die Herabsetzung der Größe auf die nächst niedrigere Potenz. Die Anwendbarkeit dieser Operation findet also bei solchen Gegenständen statt, bei welchen gleichfalls ein solcher Unterschied von Potenzenbestimmungen vorhanden ist. Wenn wir nun auf die Raumbestimmtheit reflektiren, so finden wir, daß sie die drei Dimensionen enthält, die wir, um sie von den abstrakten Unterschieden der Höhe, Länge und Breite zu unterscheiden, als die konkreten bezeichnen können, nämlich die Linie, die Fläche und den totalen Raum; und indem sie in ihren einfachsten Formen und in Beziehung auf Selbstbestimmung und damit auf analytische Dimensionen genommen werden, haben wir die gerade Linie, die ebene Fläche und dieselbe als Quadrat, und den Kubus. Die gerade Linie hat ein empirisches Quantum, aber mit der Ebene tritt das Qualitative, die Potenzenbestimmung ein; nähere Modificationen, z.B. daß dieß gleich auch mit den ebenen Kurven geschieht, können wir, insofern es zunächst um den Unterschied bloß im Allgemeinen zu thun ist, unerörtert lassen. Hiermit entsteht auch das Bedürfniß, von einer höheren Potenzenbestimmung zu einer niedrigern und umgekehrt überzugehen, indem z.B. lineare Bestimmungen aus gegebenen Gleichungen der Fläche u.s.f. oder umgekehrt abgeleitet werden sollen. Die Bewegung ferner, als an der das Größenverhältniß des durchloffenen Raumes und der dazu gehörigen verflossenen Zeit zu betrachten ist, zeigt sich in den verschiedenen Bestimmungen einer schlechtgleichförmigen, einer gleichförmig beschleunigten, einer abwechselnd gleichförmig beschleunigten und gleichförmig retardirten, in sich zurückkehrenden Bewegung; indem diese unterschiedenen Arten der Bewegung nach dem Größenverhältnisse ihrer Momente, des Raums und der Zeit, ausgedrückt werden, ergeben sich für sie Gleichungen aus unterschiedenen Potenzenbestimmungen, und insofern es Bedürfniß seyn kann, eine Art der Bewegung oder auch der Raumgrößen, an welche eine Art gebunden ist, aus einer anderen Art derselben zu bestimmen, führt die Operation gleichfalls das Uebergehen von einer Potenzenfunktion zu einer höhern oder medrigern herbei. Die Beispiele dieser zwei Gegenstände mögen für den Zweck, zu dem sie angeführt sind, genügen.

Der Anschein von Zufälligkeit, welchen die Differentialrechnung in ihren Anwendungen präsentirt, würde schon vereinfacht werden, durch das Bewußtseyn über die Natur der Gebiete, in welchem die Anwendung statt finden kann, und über das eigenthümliche Bedürfniß und die Bedingung dieser Anwendung. Nun aber kommt es weiter innerhalb dieser Gebiete selbst darauf an, zu wissen, zwischen welchen Theilen der Gegenstände der mathematischen Aufgabe ein solches Verhältniß statt finde, als durch den Differentialkalkul eigenthümlich gesetzt wird. Es muß gleich vorläufig bemerkt werden, daß hierbei zweierlei Verhältnisse zu beachten sind. Die Operation des Depotenzirens einer Gleichung, sie nach den abgeleiteten Funktionen ihrer veränderlichen Größen betrachtet, giebt ein Resultat, welches an ihm selbst wahrhaft nicht mehr eine Gleichung, sondern ein Verhältniß ist; dieses Verhältniß ist der Gegenstand der eigentlichen Differentialrechnung. Eben damit auch ist zweitens das Verhältniß vorhanden von der höhern Potenzenbestimmung (der ursprünglichen Gleichung) selbst zu der niedrigern (dem Abgeleiteten). Dieß zweite Verhältniß haben wir hier zunächst bei Seite zu lassen; es wird sich als der eigenthüniliche Gegenstand der Integralrechnung zeigen.

Betrachten wir zunächst das erste Verhältniß, und nehmen zu der aus der sogenannten Anwendung zu entnehmenden Bestimmung des Moments, worin das Interesse der Operation liegt, das einfachste Beispiel an den Kurven vor, die durch eine Gleichung der zweiten Potenz bestimmt sind. Bekanntlich ist unmittelbar durch die Gleichung das Verhältniß der Koordinaten gegeben in einer Potenzenbestimmung. Folgen von der Grundbestimmung sind die Bestimmungen der mit den Koordinaten zusammenhängenden anderen geraden Linien, der Tangente, Subtangente, Normale u.s.f. Die Gleichungen aber zwischen diesen Linien und den Koordinaten sind lineare Gleichungen; die Ganzen, als deren Theile diese Linien bestimmt sind, sind rechtwinklichte Dreiecke von geraden Linien. Der Uebergang von der Grundgleichung, welche die Potenzenbestimmung enthält, zu jenen linearen Gleichungen enthält nun den angegebenen Uebergang von der ursprünglichen Funktion, d. i. welche eine Gleichung ist, zu der abgeleiteten, welche ein Verhältniß ist, und zwar zwischen gewissen in der Kurve enthaltenen Linien. Der Zusammenhang zwischen dem Verhältnisse dieser Linien und der Gleichung der Curve ist es, um dessen Finden es sich handelt.

Es ist nicht ohne Interesse, von dem Historischen hierüber so viel zu bemerken, daß die ersten Entdecker ihren Fund nur auf eine ganz empirische Weise anzugeben wissen, ohne eine Rechenschaft von der völlig äußerlich gebliebenen Operation geben zu können. Ich begnüge mich hierüber mit der Anführung Barrow's, des Lehrers Newtons. In seinen lect. Opt. et Geom., worin er Probleme der höhern Geometrie nach der Methode der Untheilbaren behandelt, die sich zunächst von dem Eigenthümlichen der Differentialrechnung unterscheidet, giebt er auch, "weil seine Freunde in ihn gedrungen," (lect. X.) sein Verfahren, die Tangente zu bestimmen, an. Man muß bei ihm selbst nachlesen, wie diese Angabe beschaffen ist, um sich eine gehörige Vorstellung zu machen, wie das Verfahren ganz als äußerliche Regel angegeben ist, in demselben Style, wie vormals in den arithmetischen Schulbüchern die Regel de tri oder noch besser die sogenannte Neunerprobe der Rechnungsarten vorgetragen worden ist. Er macht die Verzeichnung der Linienchen, die man nachher die Inkremente im charakteristischen Dreieck einer Kurve genannt hat, und giebt nun die Vorschrift als eine bloße Regel, die Glieder als überflüssig wegzuwerfen, die in Folge der Entwickelung der Gleichungen, als Potenzen jener Inkremente oder Produkte zum Vorschein kommen, ( etenim isti termini nihilum valebunt ); ebenso seyen die Glieder, die nur aus der ursprünglichen Gleichung bestimmte Größen enthalten, wegzuwerfen ( das nachherige Abziehen der ursprünglichen Gleichung von der mit den Inkrementen gebildeten) und zuletzt für das Inkrement der Ordinate die Ordinate selbst und für das Inkrement der Abscisse die Subtangente zu substituiren. Man kann, wenn es so zu reden erlaubt ist, das Verfahren nicht schulmeistermässiger angeben; die letztere Substitution ist die für die Tangentenbestimmung in der gewöhnlichen Differentialmethode zur Grundlage gemachte Annahme der Proportionalität der Inkremente der Ordinate und Abscisse mit der Ordinate und Subtangente; in Barrows Regel erscheint diese Annahme in ihrer ganz naiven Nacktheit. Eine einfache Weise, die Subtangente zu bestimmen, war gefunden; die Manieren Robervals und Fermats laufen auf Aehnliches hinaus, die Methode, die größten und kleinsten Werthe zu finden, von der der Letztere ausging, beruht auf denselben Grundlagen und demselben Verfahren. Es war eine mathematische Sucht jener Zeiten, sogenannte Methoden, d. i. Regeln jener Art zu finden, dabei aus ihnen auch ein Geheimniß zu machen, was nicht nur leicht, sondern selbst in einer Rücksicht nöthig war, aus demselben Grunde, als es leicht war, nämlich weil die Erfinder nur eine empirische äußerliche Regel, keine Methode, d. i. nichts aus anerkannten Principien Abgeleitetes, gefunden hatten. Solche sogenannte Methoden hat Leibnitz von seiner Zeit, und Newton ebenfalls von derselben und unmittelbarer von seinem Lehrer aufgenommen; sie haben durch die Verallgemeinerung ihrer Form und Anwendbarkeit den Wissenschaften neue Bahnen gebrochen, aber damit zugleich das Bedürfniß gehabt, das Verfahren aus der Gestalt bloß äußerlicher Regeln zu reißen, und demselben die erforderliche Berechtigung zu verschaffen gesucht.

Analysiren wir die Methode näher, so ist der wahrhafte Vorgang dieser. Es werden erstlich die Potenzenbestimmungen (versteht sich der veränderlichen Größen), welche die Gleichung enthält, auf ihre ersten Funktionen herabgesetzt. Damit aber wird der Werth der Glieder der Gleichung verändert; es bleibt daher keine Gleichung mehr, sondern es ist nur ein Verhältniß entstanden zwischen der ersten Funktion der einen veränderlichen Größe zu der ersten Funktion der andern; statt px = y[hoch 2] hat man p : 2y oder statt 2 ax x[hoch 2] = y[hoch 2] hat man a x : y, was nachher als das Verhältniß dy/dx bezeichnet zu werden pflegte. Die Gleichung ist Gleichung der Curve, dieß Verhältniß, das ganz von derselben abhängig, aus derselben (oben nach einer bloßen Regel) abgeleitet ist, ist dagegen ein lineares, mit welchem gewisse Linien in Proportion sind; p : 2y oder a x : y sind selbst Verhältnisse aus geraden Linien der Kurve, den Koordinaten und den Parameters; aber damit weiß man noch nichts. Das Interesse ist, von andern an der Kurve vorkommenden Linien zu wissen, daß ihnen jenes Verhältniß zukommt, die Gleichheit zweier Verhältnisse zu finden. Es ist also zweitens die Frage, welches die geraden, durch die Natur der Kurve bestimmten Linien sind, welche in solchem Verhältnisse stehen? dieß aber ist es, was schon früher bekannt war, daß nämlich solches auf jenem Wege erhaltenes Verhältniß das Verhältniß der Ordinate zur Subtangente ist. dieß hatten die Alten auf sinnreichem geometrischen Wege gefunden; was die neuern Erfinder entdeckt haben, ist das empirische Verfahren, die Gleichung der Kurve so zuzurichten, daß jenes erste Verhältniß geliefert wird, von dem bereits bekannt war, daß es einem Verhältnisse gleich ist, welches die Linie enthält, hier die Subtangente, um deren Bestimmung es zu thun ist. Theils ist nun jene Zurichtung der Gleichung methodisch gefaßt und gemacht worden, die Differentation, Theils aber sind die imaginären Inkremente der Koordinaten und das imaginäre hieraus und einem ebensolchen Inkremente der Tangente gebildete, charakteristische Dreieck erfunden worden, damit die Proportionalität des durch die Depotenzirung der Gleichung gefundenen Verhältnisses mit dem Verhältnisse der Ordinate und der Subtangente nicht als etwas empirisch nur aus der alten Bekanntschaft Aufgenommenes, sondern als ein Erwiesenes dargestellt werde. Die alte Bekanntschaft jedoch erweist sich überhaupt und am unverkennbarsten in der angeführten Form von Regeln als die einzige Veranlassung und respektive Berechtigung der Annahme des charakteristischen Dreiecks und jener Proportionalität.

Lagrange hat nun diese Simulation verworfen, und den ächtwissenschaftlichen Weg eingeschlagen; seiner Methode ist die Einsicht zu verdanken, worauf es ankommt, indem sie darin besteht, die beiden Uebergänge, die für die Auflösung der Aufgabe zu machen sind, zu trennen und jede dieser Seiten für sich zu behandeln und zu erweisen. Der eine Theil dieser Auflösung, indem wir für die nähere Angabe des Ganges bei dem Beispiele der elementarischen Aufgabe, die Subtangente zu finden, bleiben, der theoretische oder allgemeine Theil, nämlich das Finden der ersten Funktion aus der gegebenen Kurvengleichung, wird für sich regulirt; derselbe giebt ein lineares Verhältniß, also von geraden Linien, die in dem Systeme der Kurvenbestimmung vorkommen. Der andere Theil der Auflösung ist nun die Findung derjenigen Linien an der Kurve, welche in jenem Verhältnisse stehen. Dieß wird nun auf die direkte Weise (Théorie des Fonct. Anal. II. P. II. Chap.) bewerkstelligt, d. i. ohne das charakteristische Dreieck, nämlich ohne unendlichkleine Bogen, Ordinaten und Abscissen anzunehmen und diesen die Bestimmungen von dy und dx, d. i. von den Seiten jenes Verhältnisses und zugleich unmittelbar die Bedeutung der Gleichheit desselben mit der Ordinate und Subtangente selbst zu geben. Eine Linie (wie auch ein Punkt) hat allein ihre Bestimmung, insofern sie die Seite eines Dreiecks ausmacht, wie auch die Bestimmmung eines Punkts nur in einem solchen liegt. Dieß ist, um es ini Vorbeigehen zu erwähnen, der Fundamentalsatz der analytischen Geometrie, welcher die Coordinaten, wie, was dasselbe ist, in der Mechanik das Parallelogramm der Kräfte herbeiführt, das eben darum der vielen Bemühung um einen Beweis ganz unbedürftig ist. Die Subtangente wird nun als die Seite eines Dreiecks gesetzt, dessen weitere Seiten die Ordinate und die darauf sich beziehende Tangente ist. Letztere hat als gerade Linie zu einer Gleichung p = aq, (+ b hinzuzufügen ist für die Bestimmung unnütz und wird nur um der beliebten Allgemeinheit hinzugesetzt); die Determination des Verhältnisses p/q fällt in a, den Koefficienten von q, der die respective erste Funktion der Gleichung ist, überhaupt aber nur als a = p/q betrachtet zu werden braucht als, wie gesagt, die wesentliche Determination der geraden Linie, die als Tangente an die Kurve applicirt ist. Indem nun ferner die erste Funktion der Kurvengleichung genommen wird, ist sie ebenso die Determination einer geraden Linie; indem ferner die eine Koordinate p der ersten geraden Linie und y, die Ordinate der Kurve, als dieselben genommen werden, daß also der Punkt, in welchem jene als Tangente angenommene erste gerade die Kurve berührt, gleichfalls der Anfangspunkt der durch die erste Funktion der Kurve bestimmten geraden Linie ist, so kommt es darauf an, zu zeigen, daß diese zweite gerade Linie mit der ersten zusammenfällt, d. h. Tangente ist; algebraisch ausgedrückt, daß indem y = fx und p = Fq ist, und nun y = p, also fx = Fq angenommen wird, auch f'x = F'q. Daß nun die als Tangente applicirte gerade, und jene aus der Gleichung durch deren erste Funktion determinirte gerade Linie zusammenfallen, daß die letztere also Tangente ist; dieß wird mit Zuhilfnahme des Increments i der Abscisse und des durch die Entwickelung der Funktion bestimmten Increments der Ordinate gezeigt. Hier kommt denn also gleichfalls das berüchtigte Increment herein; aber wie es zu dem so eben angegebenen Behufe eingeführt wird, und die Entwickelung der Funktion nach demselben, muß von dem früher erwähnten Gebrauch des Inkrements für das Finden der Differentialgleichung und für das charakteristische Dreieck, wohl unterschieden werden. Der hier gemachte Gebrauch ist berechtigt und nothwendig; er fällt in den Umkreis der Geometrie, indem es zur geometrischen Bestimmung einer Tangente als solcher gehört, daß zwischen ihr und der Kurve, mit der sie einen Punkt gemeinschaftlich hat, keine andere gerade Linie, die gleichfalls in diesen Punkt fiele, durchgehen könne. Denn mit dieser Bestimmung ist die Qualität der Tangente oder Nicht-Tangente auf den Größenunterschied zurückgeführt, und diejenige Linie ist die Tangente, auf welche die größere Kleinheit schlechthin in Ansehung der Determination, auf welche es ankommt, falle. Diese scheinbar nur relative Kleinheit enthält durchaus nichts Empirisches, d. i. von einem Quantum als solchem Abhängiges, sie ist qualitativ durch die Natur der Formel gesetzt, wenn der Unterschied des Moments, von dem die zu vergleichende Größe abhängt, ein Potenzenunterschied ist; indem derselbe auf i und i[hoch 2] hinauskommt, und i, das zuletzt doch eine Zahl bedeuten soll, dann als ein Bruch vorzustellen ist, so ist i[hoch 2] an und für sich kleiner als i, so daß selbst die Vorstellung von einer beliebigen Größe, in der man i nehmen könne, hier überflüssig und sogar nicht an ihrem Orte ist. Ebendamit hat der Erweis der größern Kleinheit nichts mit einem Unendlich-Kleinen zu thun, das hiermit hier keineswegs hereinzukommen hat.

Wäre es auch nur um der Schönheit und des heutigstags mehr vergessen, aber wohlverdienten Ruhmes willen, daß ich noch Descartes Tangentenmethode anführen will; sie hat übrigens auch eine Beziehung auf die Natur der Gleichungen, über welche dann noch eine fernere Bemerkung zu machen ist. Descartes trägt diese selbstständige Methode, worin die geforderte lineare Bestimmung gleichfalls aus derselben abgeleiteten Funktion gefunden wird, in seiner, sonst auch so fruchtbar gewordenen Geometrie (liv. II. p. 357 ss. Oeuvres compl. ed. Cousin Tom. V.) vor, indem er in derselben die große Grundlage von der Natur der Gleichungen und deren geometrischer Konstruktion und der damit sosehr erweiterten Analysis auf die Geometrie überhaupt, gelehrt hat. Das Problem hat bei ihm die Form der Aufgabe, gerade Linien senkrecht auf beliebige Orte einer Kurve zu ziehen, als wodurch Subtangente u.s.f. bestimmt wird; man begreift die Befriedigung, die er daselbst über seine Entdeckung, die einen Gegenstand von allgemeinem wissenschaftlichen Interesse der damaligen Zeit betraf, und die sosehr geometrisch ist und dadurch so hoch über den oben erwähnten bloßen Regelmethoden seiner Nebenbuhler stand, ausdrückt: j'ose dire que c'est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j'aie jamais desiré de savoir en géometrie . Er legt für die Auflösung die analytische Gleichung des rechtwinklichten Dreiecks zu Grund, das durch die Ordinate des Punkts der Kurve, auf welcher die im Probleme verlangte gerade Linie senkrecht seyn soll, dann durch diese selbst, die Normale, und drittens durch den Theil der Achse, der durch die Ordinate und Normale abgeschnitten wird, durch die Subnormale, gebildet wird. Aus der bekannten Gleichung einer Kurve wird nun in jene Gleichung des Dreiecks der Werth es sey der Ordinate oder der Abscisse substituirt, so hat man eine Gleichung des zweiten Grades (und Descartes zeigt, wie auch Kurven, deren Gleichungen höhere Grade enthalten, sich hierauf zurückführen), in welcher nur noch die eine der veränderlichen Größen und zwar im Quadrat und in der ersten Potenz vorkommt; eine quadratische Gleichung, welche zunächst als eine sogenannte unreine erscheint. Nun macht Descartes die Reflexion, daß wenn der auf der Kurve angenommene Punkt als Durchschnittspunkt derselben und eines Kreises vorgestellt wird, dieser Kreis die Kurve noch in einem anderen Punkte schneiden wird, und alsdenn sich für die zwei damit entstehenden und ungleichen x, zwei Gleichungen mit denselben Konstanten und von derselben Form ergeben; oder aber nur Eine Gleichung mit ungleichen Werthen von x. Die Gleichung wird aber nur Eine, für das Eine Dreieck, in welchem die Hypotenuse auf die Kurve senkrecht, Normale, ist, was so vorgestellt wird, daß man die beiden Durchschnittspunkte der Kurve durch den Kreis, zusammenfallen, diesen also die Kurve berühren lasse. Damit aber fällt auch der Umstand der ungleichen Wurzeln des x oder y der quadratischen Gleichung hinweg. Bei einer quadratischen Gleichung von zwei gleichen Wurzeln nun aber ist der Koefficient des Gliedes, das die Unbekannte in der ersten Potenz enthält, das Doppelte der nur Einen Wurzel; dieß nun giebt eine Gleichung, durch welche die verlangten Bestimmungen gefunden sind. Dieser Gang ist für den genialen Griff eines ächt analytischen Kopfes anzusehen, wogegen die ganz assertorisch angenommene Proportionalität der Subtangente und der Ordinate mit den unendlich klein seyn sollenden sogenannten Inkrementen der Abscisse und der Ordinate ganz zurücksteht.

Die auf die angegebene Weise erhaltene Endgleichung, welche den Koefficienten des zweiten Gliedes der quadratischen Gleichung gleichsetzt der doppelten Wurzel oder Unbekannten, ist dieselbe, welche durch das Verfahren des Differentialkalkuls gefunden wird. x[hoch 2] – ax – b = 0 differentiirt giebt die neue Gleichung 2x – a = 0; oder x[hoch 3] – px – q = 0 giebt 3x[hoch 2] – p = 0. Es bietet sich hierbei aber die Bemerkung an, daß es sich keineswegs von selbst versteht, daß solche abgeleitete Gleichung auch

richtig ist. Bei einer Gleichung mit zwei veränderlichen Größen, die darum, daß sie veränderliche sind, den Charakter unbekannte Größen zu seyn nicht verlieren, kommt, wie oben betrachtet wurde, nur ein Verhältniß heraus, aus dem angegebenen einfachen Grunde, weil durch das Substituiren der Funktionen der Potenzirung an die Stelle der Potenzen selbst der Werth der beiden Glieder der Gleichung verändert wird, und es für sich selbst noch unbekannt ist, ob auch zwischen ihnen bei so veränderten Werthen noch eine Gleichung Statt finde. Die Gleichung dy/dx = P drückt gar nichts weiter aus, als daß P ein Verhältniß ist, und es ist dem dy/dx sonst kein reeller Sinn zuzuschreiben. Von diesem Verhältniß = P ist es aber ebenso noch unbekannt, welchem andere Verhältnisse es gleich sey; solche Gleichung, die Proportionalität, giebt demselben erst einen Werth und Bedeutung. Wie angegeben wurde, daß man diese Bedeutung, was die Anwendung hieß, anderswoher, empirisch aufnahm, so muß bei den hier in Rede stehenden durch Differentation abgeleiteten Gleichungen anderswoher gewußt werden, ob sie gleiche Wurzeln haben, um zu wissen, ob die erhaltene Gleichung noch richtig sey. Dieser Umstand wird aber in den Lehrbüchern nicht ausdrücklich bemerklich gemacht; er wird wohl dadurch beseitigt, daß eine Gleichung mit einer unbekannten, auf Null gebracht, sogleich y gesetzt wird, wodurch dann bei der Differentation allerdings ein dy/dx, nur ein Verhältniß herauskommt. Der Funktionen-Kalkul soll es allerdings mit Funktionen der Potenzirung oder die Differentialrechnung mit Differentialien zu thun haben, aber daraus folgt für sich noch keineswegs, daß die Größen, deren Differentialien oder Funktionen der Potenzirung genommen werden, selbst auch nur Funktionen anderer Größen seyn sollen. In dem theoretischen Theile, der Anweisung, die Differentiale, d. i. die Funktionen der Potenzirung abzuleiten, wird ohnehin noch nicht daran gedacht, daß die Größen, die nach solcher Ableitung zu behandeln gelehrt wird, selbst Funktionen anderer Größen seyn sollen.

Noch kann in Ansehung des Weglassens der Konstante bei dem Differentiiren bemerklich gemacht werden, daß dasselbe hier den Sinn hat, daß die Konstante für die Bestimmung der Wurzeln im Falle ihrer Gleichheit gleichgültig ist, als welche Bestimmung durch den Koefficienten des zweiten Gliedes der Gleichung erschöpft ist. Wie im angeführten Beispiele von Descartes die Konstante das Quadrat der Wurzeln selbst ist, also diese aus der Konstante ebenso wie aus den Koefficienten, bestimmt werden kann; indem sie überhaupt, wie die Koefficienten, Funktion der Wurzeln der Gleichung ist. In der gewöhnlichen Darstellung erfolgt das Wegfallen der sogenannten nur durch + und mit den übrigen Gliedern verbundenen Konstanten durch den bloßen Mechanismus des Verfahrens, daß um das Differential eines zusammengesetzten Ausdrucks zu finden, nur den veränderlichen Größen ein Zuwachs gegeben, und der hierdurch formirte Ausdruck von dem ursprünglichen abgezogen wird. Der Sinn der Konstanten und ihres Weglassens inwiefern sie selbst Funktionen sind und nach dieser Bestimmung dienen oder nicht, kommt nicht zur Sprache.

Mit dem Weglassen der Konstanten, hängt eine ähnliche Bemerkung zusammen, die über die Namen von Differentation und Integration, gemacht werden kann, als früher über den endlichen und unendlichen Ausdruck gemacht wurde, daß nämlich in ihrer Bestimmung vielmehr das Gegentheil von dem liegt, was der Ausdruck besagt. Differentiiren bezeichnet das Setzen von Differenzen; durch das Differentiiren aber wird eine Gleichung vielmehr auf weniger Dimensionen herabgebracht, durch das Weglassen der Konstante wird ein Moment der Bestimmtheit hinweggenommen; wie bemerkt, werden die Wurzeln der veränderlichen Größe auf eine Gleichheit gesetzt, die Differenz also derselben aufgehoben. In der Integration hingegen soll die Konstante wieder hinzugesetzt werden; die Gleichung wird dadurch allerdings, aber in dem Sinne integrirt, daß die vorher aufgehobene Differenz der Wurzeln wieder hergestellt, das Gleichgesetzte wieder differentiirt wird. Der gewöhnliche Ausdruck trägt dazu bei, die wesentliche Natur der Sache in Schatten zu setzen und Alles auf den untergeordneten, ja der Hauptsache fremdartigen Gesichtspunkt Theils der unendlich kleinen Differenz, des Increments und dergleichen, Theils der bloßen Differenz überhaupt zwischen der gegebenen und der abgeleiteten Funktion, ohne deren specifischen, d. i. den qualitativen Unterschied zu bezeichnen, zu stellen.

Ein anderes Hauptgebiet, in welchem von dem Differentialkalkul Gebrauch gemacht wird, ist die Mechanik; von den unterschiedenen Potenzen-Funktionen, die sich bei den elementarischen Gleichungen ihres Gegenstandes, der Bewegung ergeben, sind deren Bedeutungen bereits beiläufig erwähnt; ich will dieselben hier direkt aufnehmen. Die Gleichung, nämlich der mathematische Ausdruck, der schlechtgleichförmigen Bewegung c = s/t oder s = ct, in welcher die durch offenen Räume den verflossenen Zeiten nach einer empirischen Einheit c, der Größe der Geschwindigkeit, proportionirt sind, bietet für die Differentation keinen Sinn dar; der Koefficient c ist bereits vollkommen bestimmt und bekannt, und es kann keine weitere Potenzenentwicklung Statt finden. Wie s = at[hoch 2], die Gleichung der Bewegung des Falles, analysirt wird, ist früher schon erinnert; das erste Glied der Analyse ds/dt = 2 at wird in die Sprache und resp. in die Existenz so übersetzt, es solle ein Glied einer Summe ( welche Vorstellung wir längst entfernt haben), der eine Theil der Bewegung seyn und zwar solle dieser der Kraft der Trägheit, d. i. einer schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit so zukommen, daß in den unendlich-kleinen Zeittheilen die Bewegung gleichförmig, in den endlichen Zeittheilen d. h. in der That existirenden aber ungleichförmig sey. Freilich ist fs = 2at; und die Bedeutung voll a und von t für sich bekannt, so wie daß hiermit die Bestimmung von gleichförmiger Geschwindigkeit einer Bewegung gesetzt ist; da a = s/[t[hoch 2]] ist 2 at = 2s/t überhaupt; damit aber weiß man im geringsten nichts weiter; nur die fälschliche Annahme, daß 2at ein Theil der Bewegung als einer Summe sey, giebt den fälschlichen Schein eines physikalischen Satzes. Der Faktor selbst, a, die empirische Einheit ein Quantum als solches wird der Schwere zugeschrieben; wenn die Kategorie der Kraft der Schwere gebraucht wird, so ist vielmehr zu sagen, daß eben das Ganze s = at[hoch 2] die Wirkung oder besser das Gesetz der Schwere ist. Gleichmäßig ist der aus ds/dt = 2at abgeleitete Satz, daß wenn die Schwere aufhörte zu wirken, der Körper mit der am Ende seines Falles erlangten Geschwindigkeit den doppelten Raum von dem, welchen er durchloffen hat, in einer der Dauer seines Falles gleichen Zeit zurücklegen würde. Es liegt hierin auch eine für sich schiefe Metaphysik; das Ende des Falles, oder das Ende eines Zeittheils, in welchem der Körper gefallen, ist immer selbst noch ein Zeittheil; wäre es kein Zeittheil, so wäre Ruhe und damit keine Geschwindigkeit angenommen, die Geschwindigkeit kann nur nach dem Raume angesetzt werden, welcher in einem Zeittheil, nicht an seinem Ende, durchloffen worden ist. Wenn nun aber vollends in andern physikalischen Gebieten, wo gar keine Bewegung vorhanden ist, wie z.B. im Verhalten des Lichts (außer dem, was seine Fortpflanzung im Raume genannt wird) und Größenbestimmungen an den Farben, eine Anwendung der Differentialrechnung gemacht wird und die erste Funktion von einer quadratischen Funktion hier auch Geschwindigkeit genannt wird, so ist dieß für einen noch unstatthafteren Formalismus der Erdichtung von Existenz anzusehen.

Bewegung, welche durch die Gleichung s = at[hoch 2] vorgestellt wird, finden wir, sagt Lagrange in der Erfahrung vom Falle der Körper; die einfachste Bewegung derselben würde die seyn, deren Gleichung s = ct[hoch 3] wäre, aber die Natur zeige keine Bewegung dieser Art; wir wüßten nicht was der Koefficient c bedeuten könnte. Wenn dem wohl so ist, so giebt es dagegen eine Bewegung, deren Gleichung s[hoch 3] = at[hoch 2] ist, das kepplerische Gesetz der Bewegung der Körper des Sonnensystems; was hier die erste abgeleitete Funktion 2at/[3s [hoch 2]] u.s.f. bedeuten soll, und die fernere direkte Behandlung dieser Gleichung durch die Differentation, die Entwicklung der Gesetze und Bestimmungen jener absoluten Bewegung von diesem Ausgangspunkte aus, müßte dagegen wohl als eine interessante Aufgabe erscheinen, in welcher die Analysis im würdigsten Glanze sich zeigen würde.

Für sich bietet so die Anwendung des Differential-Kalkuls auf die elementarischen Gleichungen der Bewegung kein reelles Interesse dar; das formelle Interesse kommt von dem allgemeinen Mechanismus des Kalkuls. Eine andre Bedeutung aber erhält die Zerlegung der Bewegung in Beziehung auf die Bestimmung ihrer Trajektorie; wenn dieses eine Kurve ist und ihre Gleichung höhere Potenzen enthält, bedarf es der Uebergänge von geradlinigten Funktionen als Funktionen der Potenzirnng, zu den Potenzen selbst, und indem jene aus der ursprünglichen Gleichung der Bewegung, welche den Faktor der Zeit enthält, mit Elimination der Zeit zu gewinnen sind, ist dieser zugleich auf die niedrigern Entwicklungsfunktionen herabzusetzen, aus welchen jene Gleichungen linearer Bestimmungen erhalten werden können. Diese Seite führt auf das Interesse des andern Theils der Differentialrechnung.

Das Bisherige hat den Zweck gehabt, die einfache specifische Bestimmung des Differential-Kalkuls herauszuheben und festzustellen, und dieselbe in einigen der elementarischen Beispiele nachzuweisen. Diese Bestimmung hat sich ergeben darin zu bestehen, daß aus einer Gleichung von Potenzenfunktionen der Koefficient des Entwicklungsgliedes, die sogenannte erste Funktion gefunden, und das Verhältniß, welches diese ist, in Momenten des konkreten Gegenstands aufgewiesen werde, durch welche so erhaltene Gleichung zwischen den beiden Verhältnissen diese Momente selbst bestimmt sind. Es ist ebenso von dem Princip der Integralrechnung kurz zu betrachten, was sich aus dessen Anwendung, für die specifische konkrete Bestimmnng derselben ergiebt. Die Ansicht dieses Kalkuls ist dadurch schon vereinfacht und richtiger bestimmt worden, daß er nicht mehr als Summationsmethode genommen wird, wie er im Gegensatz gegen das Differentiiren, wo der Zuwachs als das wesentliche Ingrediens gilt, genannt wurde, und womit er in wesentlichem Zusammenhang mit der Form der Reihe erschien. Die Aufgabe dieses Kalkuls ist zunächst ebenso die theoretische oder vielmehr formelle, als die der Differentialrechnung, bekanntlich aber die umgekehrte von dieser; es wird hier von einer Funktion ausgegangen, die als abgeleitete, als der Koefficient des nächsten aus der Entwicklung einer aber noch unbekannten Gleichung entsprungenen Gliedes betrachtet wird, und aus ihr soll die ursprüngliche Potenzen-Funktion gefunden werden; die in der natürlichen Ordnung der Entwicklung als ursprünglich anzusehende wird hier abgeleitet und die früher als abgeleitet betrachtete ist hier die gegebene oder überhaupt die anfangende. Das Formelle dieser Operation scheint nun aber bereits durch den Differential-Kalkul geleistet zu seyn; indem darin überhaupt der Uebergang und das Verhältniß von der ursprünglichen zu der Entwicklungsfunktion festgestellt ist. Wenn hierbei Theils schon um die Funktion, von der auszugehen ist, anzusetzen, Theils aber den Uebergang von ihr zu der ursprünglichen zu bewerkstelligen, nothwendig in vielen Fällen zu der Form der Reihe die Zuflucht genommen werden muß, so ist zunächst festzuhalten, daß diese Form als solche mit dem eigenthümlichen Prinzip des Integrirens unmittelbar nichts zu thun hat.

Der andere Theil nun aber der Aufgabe des Kalkuls erscheint in Rücksicht auf die formelle Operation die Anwendung derselben. Diese ist nun selbst die Aufgabe, nämlich die Bedeutung in dem oben angegebenen Sinne zu kennen, welche die ursprüngliche Funktion von der gegebenen als ersten Funktion betrachteten eines besondern Gegenstandes hat. An sich könnte auch diese Lehre bereits in der Differentialrechnung ganz abgethan zu seyn scheinen; allein es tritt ein weiterer Umstand ein, der die Sache nicht so einfach seyn läßt. Indem nämlich in diesem Kalkul sich ergeben, daß durch die erste Funktion der Gleichung einer Kurve das Verhältniß, welches ein lineares ist, erhalten worden, so weiß man damit auch, daß die Integration dieses Verhältnisses die Gleichung der Kurve im Verhältnisse der Abscisse und Ordinate giebt; oder wenn die Gleichung für die Ebene einer Kurve gegeben wäre, so würde die Differentialrechnung über die Bedeutung der ersten Funktion solcher Gleichung bereits gelehrt haben sollen, daß diese Funktion die Ordinate als Funktion der Abscisse, hiermit die Gleichung der Kurve darstellte.

Nun kömmt es aber darauf an, welches von den Bestimmungsmomenten des Gegenstandes in der Gleichung selbst gegeben ist; denn nur von dem Gegebenen kann die analytische Behandlung den Ausgang nehmen und von da zu den übrigen Bestimmungen des Gegenstands übergehen. Es ist z.B. nicht die Gleichung eines Flächenraums der Kurve, noch etwa des durch ihre Umdrehung entstehenden Körpers, noch auch eines Bogens derselben, sondern nur das Verhältniß der Abscisse und Ordinate in der Gleichung der Kurve selbst gegeben. Die Uebergänge von jenen Bestimmungen zu dieser Gleichung selbst können daher nicht schon in der Differentialrechnung behandelt werden; es wird für die Integralrechnung aufgespart, diese Verhältnisse zu finden.

Ferner aber ist gezeigt worden, daß die Differentiirung der Gleichung von mehreren veränderlichen Größen, die Entwicklungspotenz oder Differential-Koefficienten, nicht als eine Gleichung, sondern nur als ein Verhältniß giebt; die Aufgabe ist dann für dieß Verhältniß, welches die abgeleitete Funktion ist, ein zweites in den Momenten des Gegenstandes anzugeben, das jenem gleich sey. Dagegen ist das Object der Integralrechnung das Verhältniß selbst der ursprünglichen zu der abgeleiteten, hier gegeben seyn sollenden Funktion, und die Aufgabe ist, die Bedeutung der zu findenden ursprünglichen Funktion in dem Gegenstande der gegebenen ersten Funktion anzugeben, oder vielmehr indem diese Bedeutung z.B. die Ebene einer Kurve oder die zu rectificirende, als geradlinigt vorgestellte Kurve u.s.f. schon als das Problem ausgesprochen ist, zu zeigen, daß solche Bestimmung durch eine ursprüngliche Funktion gefunden werde und welches das Moment des Gegenstandes sey, welches hierfür zur Ausgangs- (der abgeleiteten) Funktion, angenommen werden müsse.

Die gewöhnliche Methode nun, welche die Vorstellung der Differenz als des Unendlichkleinen gebraucht, macht sich die Sache leicht; für die Quadratur der Kurven also nimmt sie ein unendlich kleines Rektangel, ein Produkt der Ordinate in das Element d. i. das Unendlichkleine der Abscisse, für das Trapez, das zu einer seiner Seiten den unendlichkleinen, jenem unendlichkleinen der Abscisse gegenüberstehenden Bogen habe; das Produkt wird nun in dem Sinne integrirt, daß das Integral die Summe der unendlich vielen Trapeze, die Ebene, deren Bestimmung verlangt wird, nämlich die endliche Größe jenes Elements der Ebene gebe. Ebenso formirt sie aus den Unendlichkleinen des Bogens, und der dazu gehörigen Ordinate und Abscisse ein rechtwincklichtes Dreieck, in welchem das Quadrat jenes Bogens gleich sey der Summe der Quadrate der beiden andern Unendlichkleinen, deren Integration den Bogen als einen endlichen giebt.

Dieß Verfahren hat die allgemeine Entdeckung, welche diesem Gebiete der Analysis zu Grunde liegt, zu seiner Voraussetzung, hier in der Weise, daß die quadrirte Kurve, der rectificirte Bogen u.s.f. zu einer gewissen durch die Gleichung der Kurve gegebenen Funktion, in dem Verhältniß der sogenannten ursprünglichen Funktion zu der abgeleiteten steht. Es handelt sich darum zu wissen, wenn ein gewisser Theil eines mathematischen Gegenstandes (z.B. einer Kurve) als die abgeleitete Funktion angenommen werde, welcher andere Theil desselben durch die entsprechende ursprüngliche Funktion ausgedrückt ist. Man weiß, daß wenn die durch die Gleichung der Kurve gegebene Funktion der Ordinate als abgeleitete Funktion genommen wird, die relativ ursprüngliche Funktion der Größenausdruck der von dieser Ordinate abgeschnittenen Area der Kurve ist, daß wenn eine gewisse Tangentenbestimmung als abgeleitete Funktion angesehen wird, die ursprüngliche Funktion derselben die Größe des zu dieser Tangentenbestimmung gehörigen Bogens ausdrückt, u. s. f. daß nun aber diese Verhältnisse, das eine einer ursprünglichen Funktion zu der abgeleiteten, das andere von den Größen zweier Theile oder Umstände des mathematischen Gegenstandes, eine Proportion bilden, dieß zu erkennen und zu beweisen, erspart sich die Methode, die das Unendlichkleine und die mechanische Operation mit demselben gebraucht. Das eigenthümliche Verdienst des Scharfsinns ist, aus den anderwärts her bereits bekannten Resultaten herausgefunden zu haben, daß gewisse und welche Seiten eines mathematischen Gegenstandes, in dem Verhältnisse von ursprünglicher und von abgeleiteter Funktion stehen.

Von diesen beiden Funktionen ist die abgeleitete, oder wie sie bestimmt worden ist, die Funktion der Potenzirung, hier in diesem Kalkul die gegebene, relativ gegen die ursprüngliche, als welche erst aus jener durch die Integration, gefunden werden soll. Allein sie ist nicht unmittelbar gegeben, noch ist es für sich schon gegeben, welcher Theil oder Bestimmung des mathematischen Gegenstands als die abgeleitete Funktion angesehen werden soll, um durch Zurückführung derselben auf die ursprüngliche den andern Theil oder Bestimmung zu finden, deren Größe das Problem verlangt. Die gewöhnliche Methode, die, wie gesagt, sogleich gewisse Theile des Gegenstandes als unendlich klein, in der Form abgeleiteter Funktionen, vorstellt, welche sich aus der ursprünglich gegebenen Gleichung des Gegenstandes überhaupt durch die Differentiirung bestimmen lassen, ( wie für die Rektifikation einer Kurve, die unendlichkleinen Abscissen und Ordinaten), nimmt dafür solche, welche sich mit dem Gegenstande des Problems, (in dem Beispiele, dem Bogen) der ebenso als unendlichklein vorgestellt wird, in eine Verbindung bringen lassen, die in der Elementar-Mathematik festgestellt ist, und wodurch, wenn jene Theile bekannt sind, auch dieser bestimmt ist, dessen Größe zu finden aufgegeben ist; so werden für die Rektifikation die angegebenen drei Unendlichkleinen in die Verbindung der Gleichung des rechtwinklichten Dreiecks gebracht, für die Quadratur die Ordinate mit der unendlichkleinen Abscisse in die Verbindung eines Produkts, indem eine Ebene überhaupt arithmetisch als Produkt von Linien angenommen ist. Der Uebergang von solchem sogenannten Elemente der Ebene, des Bogens u.s.f. zur Größe der Ebene, des Bogens u.s.f. selbst, gilt dann nur als das Aufsteigen von dem unendlichen Ausdruck zum endlichen, oder zur Summe der unendlich vielen Elemente, aus denen die verlangte Größe bestehen soll.

Es kann daher nur oberflächlich gesagt werden, daß die Integralrechnung bloß das umgekehrte, überhaupt jedoch schwierigere Problem der Differentialrechnung sey; das reelle Interesse der Integralrechnung geht vielmehr ausschließlich auf das Verhältniß der ursprünglichen und der abgeleiteten Funktion in den konkreten Gegenständen, zu einander.

Lagrange ist ebenso wenig in diesem Theile des Kalkuls darauf eingegangen, die Schwierigkeit der Probleme auf die glatte Weise jener direkten Annahmen abzuthun. Es wird zur Erläuterung der Natur der Sache beitragen, gleichfalls das Nähere seines Verfahrens aus einigen wenigen Beispielen anzugeben. Dasselbe macht es sich eben zur Aufgabe, für sich zu beweisen, daß zwischen besondern Bestimmungen eines mathematischen Ganzen z.B. einer Kurve, ein Verhältniß von der ursprünglichen zu der abgeleiteten Funktion Statt finde. Dieß kann nun aber in diesem Felde vermöge der Natur des Verhältnisses selbst, welches am mathematischen Gegenstande, krumme mit geraden Linien, lineare Dimensionen und Funktionen derselben mit Ebenen-Flächen-Dimensionen und deren Funktion u.s.f. also qualitativ verschiedene in Beziehung bringt, nicht auf direkte Weise bewerkstelligt werden, die Bestimmung läßt sich so nur als die Mitte zwischen einem Größern und Kleinern auffassen. Hiermit tritt von selbst wohl wieder die Form eines Zuwachses mit Plus und Minus ein, und das rüstige: Développons, ist an seiner Stelle; aber wie die Zuwächse hier nur arithmetische, endliche Bedeutung haben, davon ist vorhin gesprochen worden. Aus der Entwicklung jener Bedingung, daß die zu bestimmende Größe größer als die eine leicht bestimmbare Grenze und kleiner als die andere sey, wird dann z.B. hergeleitet, daß die Funktion der Ordinate die abgeleitete erste Funktion zu der Funktion der Area ist.

Die Rektifikation der Kurven, wie sie von Lagrange aufgezeigt wird, indem er von dem archimedischen Princip ausgeht, hat das Interesse, die Uebersetzung der archimedischen Methode in das Princip der neuern Analysis einzusehen,

was einen Blick in das Innere und in den wahrhaften Sinn des auf die andere Art mechanisch betriebenen Geschäftes thun läßt. Die Verfahrungsweise ist der so eben angegebenen nothwendig analog; das archimedische Princip, daß der Bogen einer Kurve größer ist, als seine Chorde und kleiner als die Summe zweier an den Endpunkten des Bogens, gezogenen Tangenten, insoweit sie zwischen diesen Punkten und ihrem Durchschnittspunkt enthalten sind, giebt keine direkte Gleichung. Die Uebertragung jener archimedischen Grundbestimmung in die moderne analytische Form ist die Erfindung eines Ausdrucks, der für sich eine einfache Grundgleichung sey, während jene Form nur die Forderung aufstellt, zwischen einem zu Großen und zu Kleinen, die sich jedesmal bestimmt haben, ins Unendliche fortzugehen, welches Fortgehen wieder immer nur ein neues zu Großes und ein neues zu Kleines jedoch in immer engern Grenzen giebt. Vermittelst des Formalismus des Unendlichkleinen wird sogleich die Gleichung dz[hoch 2] = dx[hoch 2] + dy[hoch 2] angesetzt. Die lagrangesche Exposition ausgehend von der angegebenen Grundlage zeigt hingegen auf, daß die Größe des Bogens die ursprüngliche Funktion ist zu einer abgeleiteten, von der das eigenthümliche Glied selbst eine Funktion aus dem Verhältnisse einer abgeleiteten zu der ursprünglichen der Ordinate ist.

Weil in dem archimedischen Verfahren, wie dann später in der kepplerschen Behandlung stereometrischer Gegenstände, die Vorstellung vom Unendlichkleinen vorkommt, so ist dieß so oft als eine Autorität für den Gebrauch, der von dieser Vorstellung in dem Differentialkalkul gemacht wird, angeführt worden, ohne daß das Eigenthümliche und Unterscheidende herausgehoben worden wäre. Das Unendlichkleine bedeutet zunächst die Negation des Quantums als eines solchen, d. i. eines sogenannten endlichen Ausdrucks, der vollendeten Bestimmtheit, wie sie das Quantum als solches hat. Ebenso ist in den darauf folgenden berühmten Methoden des Valerius, Cavalleri u. a., die sich auf die Betrachtung der Verhältnisse geometrischer Gegenstände gründen, die Grundbestimmung, daß das Quantum als solches der Bestimmungen, welche nur im Verhältnisse zunächst betrachtet werden, für diesen Behuf auf die Seite gestellt und sie hiernach als ein Nicht-Großes sollen genommen werden. Aber Theils ist hiermit das Affirmative überhaupt, welches hinter der bloß negativen Bestimmung liegt, nicht erkannt und herausgehoben, welches sich oben abstrakt als die qualitative Größebestimmtheit, und diese bestimmter in dem Potenzenverhältnisse liegend, sich ergeben hat; Theils aber, indem dieß Verhältniß selbst wieder eine Menge näher bestimmter Verhältnisse in sich begreift, wie das einer Potenz und deren Entwicklungsfunktion, so haben sie auch wieder auf die allgemeine und negative Bestimmung desselben Unendlichkleinen gegründet und daraus abgeleitet werden sollen. In der eben ausgehobenen lagrangeschen Exposition ist das bestimmte Affirmative, das in der archimedischen Entwicklungsweise der Aufgabe liegt, gefunden und damit dem mit einem unbegrenzten Herausgehen behafteten Verfahren seine richtige Grenze gegeben worden. Das Große der modernen Erfindung für sich und ihre Fähigkeit vorher intraktable Probleme zu lösen, und die früher lösbaren auf eine einfache Weise zu behandeln, ist allein in die Entdeckung des Verhältnisses der ursprünglichen zu den sogenannten abgeleiteten und der Theile, welche an dem mathematischen Ganzen in solchem Verhältnisse stehen, zu setzen. Die gemachten Anführungen mögen für den Zweck genügen, das Eigenthümliche des Verhältnisses von Größen herauszuheben, welches der Gegenstand der in Rede stehenden besondern Art des Kalkuls ist. Diese Anführungen konnten sich auf einfache Probleme und deren Auflösungsweisen beschränken; und weder wäre es für die Begriffsbestimmung, um die es hier allein zu thun war, zweckmäßig gewesen, noch hätte es in dem Vermögen des Verfassers gestanden, den gesammten Umfang der sogenannten Anwendung der Differential- und Integralrechnung vorzunehmen und die Induktion, daß das aufgezeigte Princip derselben zu Grunde liege, durch die Zurückführung aller ihrer Probleme und deren Lösungen darauf, zu vervollständigen. Das Beigebrachte hat aber hinreichend gezeigt, daß wie jede besondere Rechnungsweise eine besondere Bestimmtheit oder Verhältniß der Größe zu ihrem Gegenstande hat, und ein solches das Addiren, Multipliciren, das Erheben in Potenzen und Ausziehen der Wurzeln, die Rechnung mit Logarithmen, Reihen u.s.f., konstituirt, ebenso der Differential- und Integralkalkul; für das diesem Kalkul Angehörige möchte der Name des Verhältnisses einer Potenzenfunktion und der Funktion ihrer Entwicklung oder Potenzirung der passendste seyn, weil er der Einsicht der Natur der Sache am nächsten liegt. Nur wie die Operationen nach den andern Größenverhältnissen, wie Addiren u.s.f. bei diesem Kalkul überhaupt gleichfalls gebraucht werden, werden auch die Logarithmen- Kreis- und Reihen-Verhältnisse angewendet, insbesondere um Ausdrücke zum Behuf der erforderlichen Operationen des Ableitens der ursprünglichen aus den Entwicklungsfunktionen traktabler zu machen. Mit der Reiheform hat die Differential- und Integralrechnung wohl das nähere Interesse geineinschaftlich, die Entwicklungsfunktionen, welche bei den Reihen die Koefficienten der Glieder heissen, zu bestimmen; aber indem das Interesse jenes Kalkuls nur auf das Verhältniß der ursprünglichen Funktion zu dem nächsten Koefficienten ihrer Entwicklung geht, will die Reihe in der nach Potenzen, die mit jenen Koefficienten versehen sind, geordneten Menge von Gliedern eine Summe darstellen. Das Unendliche, das bei der unendlichen Reihe vorkommt, der unbestimmte Ausdruck des Negativen des Quantums überhaupt, hat mit der affirmativen Bestimmung, welche im Unendlichen jenes Kalkuls liegt, nichts gemein. Ebenso ist das Unendlichkleine, als der Zuwachs, vermittelst dessen die Entwicklung in die Form der Reihe fällt, nur ein äußeres Mittel für die Entwickelung, und seine sogenannte Unendlichkeit ohne alle andere Bedeutung, als die, sonst gar keine zu haben, als die jenes Mittels; die Reihe, da sie in der That es nicht ist, die verlangt wird, führt ein Zuviel herbei, welches wieder wegzubringen, die überflüssige Mühe macht. Von dieser Mühe ist die Methode Lagrange's, der die Form der Reihe vorzugsweise wieder aufgenommen hat, gleichfalls gedrückt; obgleich sie es ist, durch welche in dem, was die Anwendung genannt wird, die wahre Eigenthümlichkeit sich heraushebt, indem ohne die Formen von dx, dy u.s.f. in die Gegenstände hinein zu zwängen, direkt derjenige Theil nachgewiesen wird, dem an ihnen die Bestimmtheit der abgeleiteten ( Entwickelungs ) Funktion zukommt, und es sich damit zeigt, daß die Form der Reihe hier nicht das ist, um das es sich handelt. In der obenangeführten Kritik (Jahrb. für wissensch. Krit. II. B. 1827. Nr. 155. 6. folg.) finden sich interessante Aeußerungen eines gründlichen Gelehrten des Faches, Um. Spehr's, aus seinen neuen Principien des Fluentenkalkuls, Braunschw. 1826. angeführt, die nämlich einen Umstand betreffen, der wesentlich zu den Dunkelheiten und dem Unwissenschaftlichen in der Differentialrechnung beitrage, und stimmen mit dem überein, was über das allgemeine Verhältniß der Theorie dieses Kalkuls gesagt worden ist: "man hat" heißt es daselbst, " rein arithmetische Untersuchungen, welche freilich von allen ähnlichen zunächst auf die Differentialrechnung Bezug haben, nicht von der eigentlichen Diff.-Rechnung gesondert, ja diese Untersuchungen wohl gar, wie Lagrange, für die Sache selbst gehalten, während man diese nur als Anwendung jener ansah. Diese arithmetischen Untersuchungen begreifen die Regeln der Differentation, die Ableitung des taylorschen Lehrsatzes u.s.w. ja selbst die verschiedenen Integrationsmethoden in sich. Es ist ganz umgekehrt der Fall, jene Anwendungen sind es gerade, welche den Gegenstand der eigentlichen Differential-Rechnung ausmachen, und alle jene arithmetischen Entwicklungen und Operationen setzt sie aus der Analysis voraus." Es ist aufgezeigt worden, wie bei Lagrange die Trennung der sogenannten Anwendung von dem Verfahren des allgemeinen Theils, das von den Reihen ausgeht, eben dazu dient, die eigenthümliche Sache der Differ.-Rechnung für sich zum Vorschein zu bringen. Aber bei der interessanten Einsicht des Hrn. Vfs., daß eben die sogenannten Anwendungen es sind, welche den Gegenstand der eigentlichen Differ.-Rechnung ausmachen, ist es zu verwundern, wie derselbe sich in die (ebendas. angeführte) formelle Metaphysik von kontinuirlicher Größe, Werden, Fließen u.s.f. hat einlassen und solchen Ballast noch mit neuem gar hat vermehren wollen; formell sind diese Bestimmungen, indem sie nur allgemeine Kategorien sind, welche eben das Specifische der Sache nicht angeben, die aus den konkreten Lehren, den Anwendungen, zu erkennen und zu abstrahiren war.

Anmerkung 3.
Noch andere mit der qualitativen Größenbestimmtheit zusammenhängende Formen.

Das Unendlichkleine der Differentialrechnung ist in seinem affirmativen Sinn als die qualitative Größenbestimmtheit, und von dieser näher aufgezeigt worden, daß sie in diesem Kalkul als Potenzenbestimmtheit nicht nur überhaupt, sondern als die besondere des Verhältnisses einer Potenzenfunktion zu der Entwicklungspotenz vorhanden ist. Die qualitative Bestimmtheit ist aber auch noch in weiterer, so zu sagen, schwächerer Form vorhanden, und diese, wie auch der damit zusammenhängende Gebrauch des Unendlichkleinen und dessen Sinn in diesem Gebrauche, soll noch in dieser Anmerkung betrachtet werden.

Es ist, indem wir vom Vorhergehenden ausgehen, in dieser Rücksicht zuerst daran zu erinnern, daß die unterschiedenen Potenzenbestimmungen von der analytischen Seite zunächst so hervortreten, daß sie nur formell, und ganz homogen darin sind, daß sie Zahlengrößen bedeuten, die als solche jene qualitative Verschiedenheit gegeneinander nicht haben. Aber in der Anwendung auf räumliche Gegenstände zeigt sich das analytische Verhältniß ganz in seiner qualitativen Bestimmtheit, als das Uebergehen von linearen zu Flächenbestimmungen, von geradlinigten zu krummlinigten u.s.f. Diese Anwendung bringt es ferner mit sich, daß die räumlichen ihrer Natur nach in Form von kontinuirlichen Größen gegebenen Gegenstände in diskreter Weise gefaßt werden, die Fläche also als eine Menge von Linien, die Linie als eine Menge von Punkten u.s.f. Diese Auflösung hat das einzige Interesse, die Punkte, in welche die Linie, die Linien, in welche die Fläche u.s.f. aufgelöst ist, selbst zu bestimmen, um von solcher Bestimmung aus analytisch, d. h. eigentlich arithmetisch fortgehen zu können; diese Ausgangspunkte sind für die zu findenden Größebestimmungen die Elemente, aus welchen die Funktion und Gleichung für das Konkrete, die kontinuirliche Größe, abgeleitet werden soll. Für die Probleme, wo sich nornehmlich das Interesse zeigt, dieß Verfahren zu gebrauchen, wird im Elemente für den Ausgang ein für sich selbst Bestimmtes verlangt, gegen den Gang, der indirekt ist, indem er im Gegentheil nur mit Grenzen beginnen kann, zwischen welchen das Fürsichbestimmte liege, auf das als sein Ziel er losgehe. Das Resultat läuft in beiden Methoden dann auf dasselbe hinaus, wenn sich nur das Gesetz des weitern Fortbestimmens finden läßt, ohne die geforderte vollkommene d. h. sogenannte endliche Bestimmung erlangen zu können. Kepplern wird die Ehre zugeschrieben, zuerst den Gedanken jener Umkehrung des Ganges gehabt und das Diskrete zum Ausgangspunkte gemacht zu haben. Seine Erklärung, wie er den ersten Satz in Archimed's Kreismessung verstehe, drückt dieß auf eine einfache Weise aus. Der erste Satz Archimed's ist bekanntlich, daß der Kreis einem rechtwinklichten Dreieck gleich ist, dessen eine Kathete dem Halbmesser, die andere dem Umfange des Kreises gleich ist. Indem Keppler den Sinn dieses Satzes so nimmt, daß die Peripherie des Kreises ebenso viele Theile als Punkte, d. i. unendlich viele habe, deren jeder als die Grundlinie eines gleichschenklichten Dreiecks betrachtet werden könne, u.s.f., so spricht er die Auflösung des Kontinuirlichen in die Form des Diskreten aus. Der Ausdruck des Unendlichen, der hierbei vorkommt, ist noch weit entfernt von der Bestimmung, die er

in dem Differentialkalkul haben soll. – Wenn nun für solche diskrete eine Bestimmtheit, Funktion gefunden ist, so sollen sie ferner zusammengefaßt werden, wesentlich als Elemente des Kontinuirlichen seyn. Da aber eine Summe von Punkten keine Linie, eine Summe von Linien keine Fläche giebt, werden die Punkte schon sogleich als lineare genommen, wie die Linien als flächenhafte. Weil jedoch zugleich jene Lineare noch keine Linien seyn sollen, was sie seyn würden, wenn sie als Quantum genommen würden, so werden sie als unendlich klein vorgestellt. Das Diskrete ist nur eines äußerlichen Zusammenfassens fähig, in welchem die Momente den Sinn von diskretem Eins behalten; der analytische Uebergang von denselben geschieht nur zu ihrer Summe, er ist nicht zugleich der geometrische von dem Punkte in die Linie, oder von der Linie in die Fläche u.s.f.; dem Elemente, das als Punkt oder als Linie seine Bestimmung hat, wird daher zugleich auch mit jenem die lineare, dieser die Flächenqualität gegeben, damit die Summe als von kleinen Linien eine Linie, als von kleinen Flächen eine Fläche werde.

Das Bedürfniß, dieß Moment des qualitativen Uebergangs zu erhalten und dafür zu dem Unendlich-kleinen die Zuflucht zu nehmen, muß als die Quelle aller der Vorstellungen angesehen werden, welche, indem sie jene Schwierigkeit ausgleichen sollen, an ihnen selbst die größte Schwierigkeit sind. Diese Nothhülfe entbehrlich zu machen, müßte gezeigt werden können, daß in dem analytischen Verfahren selbst, welches als ein bloßes Summiren erscheint, in der That schon ein Multipliciren enthalten ist. Aber in dieser Rücksicht tritt eine neue Annahme, welche die Grundlage in dieser Anwendung arithmetischer Verhältnisse auf geometrische Figurationen ausmacht, ein, nämlich daß das arithmetische Multipliciren auch für die geometrische Bestimmung ein Uebergang in eine höhere Dimension, die arithmetische Multiplikation von Größen, die ihrer räumlichen Bestimmungen nach Linien sind, zugleich eine Produktion des Linearen zur Flächenbestimmung sey; 3mal 4 lineare Fuße giebt 12 lineare Fuße, aber 3 lineare Fuße, mal 4 linearen Fußen giebt 12 Flächenfuße und zwar Quadratfuße, indem die Einheit in beiden als diskreten Größen dieselbe ist. Die Multiplikation von Linien mit Linien bietet sich zunächst als etwas Widersinniges dar, insofern die Multiplikation überhaupt Zahlen betrifft, d. i. eine Veränderung von solchen ist, welche mit dem, in das sie übergehen, mit dem Produkte ganz homogen sind, und nur die Größe verändern. Dagegen ist das, was Multipliciren der Linie als solcher mit Linie hieße, es ist, ductus lineae in lineam, wie plani in planum genannt worden, es ist auch ductus puncti in lineam eine Veränderung nicht bloß der Größe, sondern ihrer als qualitativer Bestimmung der Räumlichkeit, als einer Dimension; das Uebergehen der Linie in Fläche ist als Außersichkommen derselben zu fassen, wie das Außersichkommen des Punktes die Linie, der Fläche ein ganzer Raum ist. Es ist dieß dasselbe, was so vorgestellt wird, daß die Bewegung des Punktes die Linie u.s.f. sey; aber die Bewegung schließt die Zeitbestimmung ein, und erscheint so in jener Vorstellung mehr nur als eine zufällige, äußerliche Veränderung des Zustands; es ist aber die Begriffsbestimmtheit, die als Außersichkommen ausgedrückt worden, zu nehmen, die qualitative Veränderung, und welche arithmetisch ein Multipliciren, der Einheit (als des Punktes u.s.f.) in die Anzahl (in die Linie u.s.f.) ist. Es kann hiezu noch bemerkt werden, daß bei dem Außersichkommen der Fläche, was als ein Multipliciren von Fläche in Fläche erscheinen würde, sich der Schein eines Unterschiedes des arithmetischen und geometrischen Producirens so ergiebt, daß das Außersichkommen der Fläche, als ductus plani in planum arithmetisch eine Multiplikation der zweiten Dimensionsbestimmung mit solcher, hiermit ein Product von vier Dimensionen gäbe, das aber durch die geometrische Bestimmung auf drei herabgesetzt wird. Wenn auf der einen Seite die Zahl darum, weil sie das Eins zu ihrem Princip hat, die feste Bestimmung für das äußerliche Quantitative giebt, so sehr ist ihr Produciren formell; 3. 3 als Zahlbestimmung genommen sich selbst producirend ist 3. 3. 3. 3; aber dieselbe Größe als Flächenbestimmung sich producirend wird bei 3. 3. 3 zurückgehalten, weil der Raum als ein Hinausgehen vom Punkte, der nur abstrakten Grenze, aus vorgestellt, seine wahrhafte Grenze, als konkrete Bestimmtheit von der Linie aus in der dritten Dimension hat. Der angeführte Unterschied könnte sich in Rücksicht der freien Bewegung, worin die eine die räumliche Seite, unter der geometrischen Bestimmung (im kepplerischen Gesetze s[hoch 3] : t[hoch 2]), die andere, die zeitliche Seite unter der arithmetischen steht, von Wirksamkeit zeigen.

Wie das Qualitative, das hier betrachtet wird, von dem Gegenstande der vor. Anm. verschieden ist, kann nun ohne weitere Bemerkung von selbst erhellen. In dieser lag das Qualitative in der Potenzenbestimmtheit; hier ist dasselbe, wie das Unendlichkleine, nur als Faktor arithmetisch gegen das Produkt, oder als Punkt gegen die Linie, Linie gegen Fläche u.s.f. Der qualitative Uebergang nun, der von dem Diskreten, als in welches die kontinuirliche Größe aufgelöst vorgestellt wird, zu dem Kontinuirlichen zu machen ist, wird als ein Summiren bewerkstelligt.

Daß aber die angebliche bloße Summation in der That eine Multiplikation, also den Uebergang von der linearen in die Flächenbestimmung in sich selbst enthält, erscheint am einfachsten in der Art, wie zum Beispiel gezeigt wird, daß der Flächeninhalt eines Trapezes gleich sey dem Produkt der Summe der beiden gegenüberstehenden parallelen Linien in die halbe Höhe. Diese Höhe wird nur als die Anzahl von einer Menge diskreter Größen vorgestellt, welche summirt werden sollen.

Diese Größen sind Linien, die parallel zwischen jenen zwei begrenzenden Parallelen liegen; es sind deren unendlich viele; denn sie sollen die Fläche ausmachen, sind aber Linien, welche also um ein Flächenhaftes zu seyn, zugleich mit der Negation gesetzt werden müssen. Um der Schwierigkeit zu entgehen, daß eine Summe von Linien eine Fläche geben sollte, werden Linien sogleich als Flächen aber gleichfalls als unendlich dünne angenommen, denn ihre Determination haben sie allein in dem Linearen der parallelen Grenzen des Trapezes. Als parallel und durch das andre Paar der geradlinigten Seiten des Trapezes begrenzt, können sie als die Glieder einer arithmetischen Progression vorgestellt werden, deren Differenz dieselbe überhaupt ist, aber nicht bestimmt zu werden braucht, und deren erstes und letztes Glied jene beiden Parallelen sind; die Summe solcher Reihe ist bekanntlich das Produkt jener Parallelen in die halbe Anzahl der Glieder. Dieß letzte Quantum ist nur ganz relativ auf die Vorstellung von den unendlich vielen Linien Anzahl genannt; es ist die Größebestimmtheit überhaupt eines Kontinuirlichen, der Höhe. Es ist deutlich, daß was Summe heißt, zugleich ein ductus lineae in lineam, Multipliciren von Linearem mit Linearem, nach obiger Bestimmung ein Hervorgehen von Flächenhaftem ist. In dem einfachsten Falle nun eines Rektangels überhaupt a b ist jeder der beiden Faktoren eine einfache Größe, aber schon in dem weitern selbst elementarischen Beispiele vom Trapez ist nur der eine Faktor das Einfache der halben Höhe, der andere dagegen wird durch eine Progression bestimmt; er ist gleichfalls ein Lineares, dessen Größebestimmtheit aber verwickelter ist; insofern sie nur durch eine Reihe ausgedrückt werden kann, so heißt analytisch, d. h. arithmetisch das Interesse, sie zu summiren; das geometrische Moment darin aber ist die Multiplikation, das Qualitative des Uebergangs aus der Dimension der Linie in die Fläche; der eine Faktor ist diskret nur für die arithmetische Bestimmung des andern genommen worden, und ist für sich, wie dieser, die Größe eines Linearen.

Das Verfahren, Flächen als Summen von Linien vorzustellen, wird aber auch häufig gebraucht, wo nicht eine Multiplikation als solche zu Behufe des Resultates Statt hat. Dieß geschieht, wo es nicht darum zu thun ist, die Größe in der Gleichung als Quantum anzugeben, sondern in einer Proportion. Es ist z.B. eine bekannte Art zu zeigen, daß eine Kreisfläche sich zur Fläche einer Ellipse, deren große Achse der Diameter jenes Kreises ist, verhalte wie die große zur kleinen Achse, indem jede dieser Flächen als die Summe der ihr zugehörigen Ordinaten genommen wird; jede Ordinate der Ellipse verhält sich zu der entsprechenden des Kreises wie die kleine zur großen Achse, also wird geschlossen, verhalten auch die Summen der Ordinaten d. i. die Flächen ebenso. Diejenigen, welche dabei die Vorstellung der Fläche als eine Summe von Linien vermeiden wollen, machen die Ordinaten mit der gewöhnlichen ganz überflüssigen Aushülfe zu Trapezen von unendlich kleiner Breite; da die Gleichung nur eine Proportion ist, kommt nur das Eine der zwei linearen Elemente der Fläche in Vergleichung. Das andere, die Abscissenachse, ist in Ellipse und Kreis als gleich, als Faktor arithmetischer Größebestimmung also gleich = 1 angenommen, und die Proportion daher ganz nur von dem Verhältniß des einen bestimmenden Moments abhängig. Zur Vorstellung der Fläche sind die zwei Dimensionen nothwendig; aber die Größebestimmung, wie sie in jener Proportion angegeben werden soll, geht nur auf das eine Moment allein; der Vorstellung damit nachgeben oder aufhelfen, daß die Vorstellung von Summe zu diesem einen Momente hinzugefügt wird, ist eigentlich eine Verkennung dessen, worauf es hier für die mathematische Bestimmtheit ankömmt.

Was hier auseinandergesetzt worden, enthält auch das Kriterium für die früher erwähnte Methode der Untheilbaren des Cavalleri, die damit ebenso gerechtfertigt ist, und der Zuflucht zu dem Unendlichkleinen nicht bedarf. Diese Untheilbaren sind Linien, indem er eine Fläche, oder Quadrate, Kreisflächen, indem er eine Pyramide oder Konus u.s.f. betrachtet; die als bestimmt angenommene Grundlinie, Grundfläche nennt er die Regel; es ist die Konstante, in Beziehung auf eine Reihe das erste oder letzte Glied derselben; mit ihr werden jene Untheilbaren parallel, also in gleicher Bestimmung in Rücksicht der Figur betrachtet, Der allgemeine Grundsatz Cavalleri's ist nun, (Exerc. Geometr. VI. das spätere Werk-Exerc. I. p. 6.), daß alle sowohl ebene, als körperliche Figuren im Verhältnisse aller ihrer Indivisibilien sind, diese kollektive und wenn etwa ein gemeinschaftliches Verhältniß in solchen Statt findet, distributive mit einander verglichen." Er vergleicht zu diesem Behufe in den Figuren von gleicher Grundlinie und Höhe gemacht, die Verhältnisse von den Linien, die parallel mit jener und in gleicher Entfernung mit ihr gezogen werden; alle solche Linien einer Figur haben eine und dieselbe Bestimmung, und machen deren ganzen Inhalt aus. Auf solche Weise beweist Cavalleri z.B. auch den elementarischen Satz, daß Parallelogramme von gleicher Höhe im Verhältnisse ihrer Grundlinie sind; jede zwei Linien, in gleicher Entfernung von der Grundlinie und mit ihr parallel, in beiden Figuren gezogen, sind in demselben Verhältnisse der Grundlinien, also die ganzen Figuren. In der That machen die Linien nicht den Inhalt der Figur als kontinuirlicher aus, aber den Inhalt, insofern er arithmetisch bestimmt werden soll; das Lineare ist sein Element, durch welches allein die Bestimmtheit desselben gefaßt werden muß.

Wir werden hierbei darauf geführt, auf den Unterschied zu reflektiren, der in Ansehung dessen Statt findet, worein die Bestimmtheit einer Figur fällt, nämlich entweder ist sie beschaffen, wie hier die Höhe der Figur, oder ist sie äußere Grenze. Insofern sie als äußere Grenze ist, giebt man zu, daß der Gleichheit oder dem Verhältnisse der Grenze die Kontinuität der Figur so zu sagen folgt; z.B. die Gleichheit der Figuren, die sich decken, beruht darauf, daß die begrenzenden Linien sich decken. Bei Parallelogrammen aber von gleicher Höhe und Grundlinie ist nur die letztere Bestimmtheit eine äußere Grenze; die Höhe, nicht die Paralleleität überhaupt, auf welcher die zweite Hauptbestimmung der Figuren, ihr Verhältniß, beruht, führt ein zweites Princip der Bestimmung zu den äußern Grenzen herbei. Der euklidische Beweis von der Gleichheit der Parallelogramme, die gleiche Höhe und Grundlinie haben, führt sie auf Dreiecke zurück, auf äußerlich begrenzte Kontinuirliche; in Cavalleri's Beweis, zunächst über die Proportionalität von Parallelogrammen, ist die Grenze Größebestimmtheit als solche überhaupt, welche als an jedem Paare von Linien, die mit gleichem Abstand in beiden Figuren gezogen werden, genommen, explicirt wird, Diese gleichen oder in gleichem Verhältniß mit der Grundlinie stehenden Linien, kollektiv genommen, geben die in gleichem Verhältnisse stehenden Figuren. Die Vorstellung eines Aggregats von Linien geht gegen die Kontinuität der Figur; allein die Betrachtung der Linien erschöpft die Bestimmtheit, auf welche es ankommt, vollkommen Cavalleri giebt häufige Antwort auf die Schwierigkeit, als ob die Vorstellung von den Untheilbaren es mit sich führe, daß der Anzahl nach unendliche Linien oder Ebenen verglichen werden sollen, (Geom. Lib. II. Prop. 1. Schol.); er macht den richtigen Unterschied, daß er nicht die Anzahl derselben, welche wir nicht kennen, d. i. vielmehr die, wie bemerkt worden, eine zu Hülfe genommene leere Vorstellung ist, sondern nur die Größe, d. i. die quantitative Bestimmtheit als solche, welche dem von diesen Linien eingenommenen Raume gleich ist, vergleiche; weil dieser in Grenzen eingeschlossen ist, ist auch jene seine Größe in dieselben Grenzen eingeschlossen; das Kontinuirliche ist nichts anderes, als die Untheilbaren selbst, sagt er; wäre es etwas außer diesen, so wäre es nicht vergleichbar; es würde aber ungereimt seyn, zu sagen, begrenzte Kontinuirliche seyen nicht miteinander vergleichbar.

Man sieht, daß Cavalleri dasjenige, was zur äußerlichen Existenz des Kontinuirlichen gehört, von demjenigen unterscheiden will, worin dessen Bestimmtheit fällt und das für die Vergleichung und zum Behufe von Theoremen über dasselbe allein herauszuheben ist. Die Kategorien, die er dabei gebraucht, daß das Kontinuirliche aus den Untheilbaren zusammengesetzt sey oder bestehe und dergleichen, sind freilich nicht genügend, weil dabei die Anschauung des Kontinuirlichen oder, wie vorhin gesagt, dessen äußerliche Existenz, zugleich in Anspruch genommen wird; statt zu sagen, "daß das Kontinuirliche nichts anderes ist, als die Untheilbaren selbst," würde es richtiger und damit auch sogleich für sich klar heißen, daß die Größebestimmtheit des Kontinuirlichen keine andere ist, als die der Untheilbaren selbst. Cavalleri macht sich nichts aus der schlechten Folgerung, daß es größere und kleinere Unendliche gebe, welche aus der Vorstellung, daß die Untheilbaren das Kontinuirliche ausmachen, von der Schule gezogen werde, und drückt weiterhin (Geom. Lib. VII. Praef.) das bestimmtere Bewußtseyn aus, daß er durch seine Beweisart keineswegs zur Vorstellung der Zusammensetzung des Kontinuirlichen aus dem Untheilbaren genöthigt sey; die Kontinuirlichen folgen nur der Proportion der Untheilbaren. Er habe die Aggregate der Untheilbaren nicht so genommen, wie sie in die Bestimmung der Unendlichkeit, um einer unendlichen Menge von Linien oder Ebenen willen, zu verfallen scheinen, sondern insofern sie eine bestimmte Beschaffenheit und Natur der Begrenztheit an ihnen haben. Um denn aber doch diesen Stein des Anstoßes zu entfernen, läßt er sich die Mühe nicht verdrießen, noch in dem eigens dafür hinzugefügten siebenten Buche, die Hauptsätze seiner Geometrie auf eine Art zu beweisen, welche von der Einmischung der Unendlichkeit frei bleibe. Diese Manier reducirt die Beweise auf die vorhin angeführte, gewöhnliche Form des Deckens der Figuren, d. i. wie bemerkt worden, der Vorstellung der Bestimmtheit als äußerer Raumgrenze.

Ueber diese Form des Deckens kann zunächst noch diese Bemerkung gemacht werden, daß sie überhaupt eine so zu sagen kindliche Hülfe für die sinnliche Anschauung ist. In den elementarischen Sätzen über die Dreiecke werden zwei solche neben einander vorgestellt, und indem von ihren je sechs Stücken gewisse drei als gleich groß mit den entsprechenden drei des andern Dreiecks angenommen werden, so wird gezeigt, daß solche Dreiecke einander kongruent seyen, d. i. jedes auch die übrigen drei Stücke gleich groß mit denen des andern habe, weil sie vermöge der Gleichheit nach jenen drei ersten einander decken. Die Sache abstrakter gefaßt, so ist eben um dieser Gleichheit jeden Paars der in beiden einander entsprechenden Stücke, nur Ein Dreieck vorhanden; in diesem sind drei Stücke als bereits bestimmt angenommen, woraus denn die Bestimmtheit auch der drei übrigen Stücke folgt. Die Bestimmtheit wird auf diese Weise als in drei Stücken vollendet aufgezeigt; für die Bestimmtheit als solche sind somit die drei übrigen Stücke ein Ueberfluß, der Ueberfluß der sinnlichen Existenz, d. i. der Anschauung der Kontinuität. In solcher Form ausgesprochen, tritt hier die qualitative Bestimmtheit im Unterschiede von dem hervor, was in der Anschauung vorliegt, dem Ganzen als einem in sich kontinuirlichen; das Decken läßt diesen Unterschied nicht zum Bewußtseyn kommen.

Mit den Parallellinien und bei den Parallelogrammen tritt, wie bemerkt worden, ein neuer Umstand, Theils die Gleichheit nur der Winkel Theils die Höhe der Figuren ein, von welcher letztern deren äußere Grenzen, die Seiten der Parallelogramme, unterschieden sind. Hierbei kommt die Zweideutigkeit zum Vorschein, inwiefern bei diesen Figuren außer der Bestimmtheit der einen Seite, der Grundlinie, welche als äußere Grenze ist, für die andere Bestimmtheit, die andere äußere Grenze, nämlich die andere Seite des Parallelogramms, oder aber die Höhe zu nehmen ist. Bei zwei solchen Figuren von einerlei Grundlinie und Höhe, wovon das eine rechtwinklich ist, das andere sehr spitze, damit zu den gegenüberstehenden sehr stumpfe Winkel hat, kann der Anschauung letzteres leicht größer scheinen, als das erstere, insofern sie die vorliegende große Seite desselben als bestimmend nimmt, und nach der Vorstellungsweise Cavalleri's die Ebenen nach einer Menge von parallelen Linien, durch welche sie durchschnitten werden können, vergleicht; die größere Seite könnte als eine Möglichkeit von mehrern Linien, als die senkrechte Seite des Rechtecks giebt, angesehen werden. Solche Vorstellung giebtjedoch keinen Einwurf gegen Cavalleri's Methode an die Hand; denn die in beiden Parallelogrammen für die Vergleichung vorgestellte Menge von parallelen Linien setzt die Gleichheit ihrer Entfernung von einander oder von der Grundlinie zugleich voraus, woraus folgt, daß die Höhe, und nicht die andere Seite des Parallelogramms, das andere bestimmende Moment ist. Dieß ändert sich aber ferner, wenn zwei Parallelogramme mit einander verglichen werden, die von gleicher Höhe und Grundlinie sind, aber nicht in Einer Ebene liegen, und zu einer dritten Ebene verschiedene Winkel machen; hier sind die parallelen Durchschnitte, die entstehen, wenn man sich die dritte Ebene durch sie gelegt und sich parallel mit sich fortbewegend vorstellt, nicht mehr gleich weit von einander entfernt, und jene zwei Ebenen sind einander ungleich. Cavalleri macht sehr sorgfältig auf diesen Unterschied, den er als einen Unterschied von transitus rectus und transitus obliquus der Untheilbaren bestimmt, (gleich in Exercit. I. n. XII. ff. wie schon in der Geometr. I. II.) auf merksam, und schneidet damit oberflächlichen Mißverstand ab, der nach dieser Seite entstehen könnte. Ich erinnere mich, daß Barrow in seinem obenangeführten Werke (Lect. Geom. II. p. 21), indem er die Methode der Untheilbaren gleichfalls gebraucht, jedoch sie bereits mit der von ihm aus auf seinen Schüler Newton und die sonstigen mathematischen Zeitgenossen, darunter auch Leibnitz, übergegangenen Annahme der Gleichsetzbarkeit eines krummlinigten Dreiecks, wie das sogenannte charakteristische ist, mit einem geradlinigten, insofern beide unendlich d. h. sehr klein seyen, versetzt und verunreinigt hat, einen eben dahin gehenden Einwurf Tacquet's, eines damaligen in neuen Methoden gleichfalls thätigen, scharfsinnigen Geometers, anführte. Die von diesem gemachte Schwierigkeit bezieht sich ebenfalls darauf, welche Linie und zwar bei Berechnung konischer und sphärischer Oberflächen als Grundmoment der Bestimmung für die auf Anwendung des Diskreten gestützte Betrachtung genommen werden solle. Tacquet wende gegen die Methode der Untheilbaren ein, daß wenn die Oberfläche eines rechtwinklichten Kegels berechnet werden solle, so werde nach jener atomistischen Methode das Dreieck des Kegels als zusammengesetzt aus den geraden, mit der Grundlinie parallelen auf die Achse senkrechten Linien vorgestellt, welche zugleich die Radien der Kreise sind, aus denen die Oberfläche des Kegels bestehe. Wenn nun diese Oberfläche als Summe der Peripherien, und diese Summe aus der Anzahl ihrer Radien, d. i. der Größe der Achse, der Höhe des Kegels, bestimmt werde, so sey solches Resultat mit der sonst von Archimed gelehrten und bewiesenen Wahrheit im Widerspruch. Barrow zeigt nun dagegen, daß für die Bestimmung der Oberfläche nicht die Achse, sondern die Seite des Dreiecks des Kegels als diejenige Linie genommen werden müsse, deren Umdrehung die Oberfläche erzeuge, und welche daher, und nicht die Achse, als die Größebestimmtheit für die Menge der Peripherien angenommen werden müsse.

Dergleichen Einwürfe oder Unsicherheiten haben ihre Quelle allein in der gebrauchten unbestimmten Vorstellung der unendlichen Menge von Punkten, aus denen die Linie, oder von Linien, aus denen die Fläche u.s.f. bestehend angesehen wird; durch diese Vorstellung wird die wesentliche Größebestimmtheit der Linien oder Flächen in Schatten gestellt. Es ist die Absicht dieser Anmerkungen gewesen, die affirmativen Bestimmungen, die bei dem verschiedenen Gebrauch, der von dem Unendlich-kleinen in der Mathematik gemacht wird, so zu sagen im Hintergrunde bleiben, aufzuweisen und sie aus der Nebulosität hervorzuheben, in welche sie durch jene bloß negativ gehaltene Kategorie gehüllt werden. Bei der unendlichen Reihe, wie in der archimedischen Kreismessung bedeutet das Unendliche nichts weiter, als daß das Gesetz der Fortbestimmung bekannt ist, aber der sogenannte endliche Ausdruck, d. i. der arithmetische, nicht gegeben, die Zurückführung des Bogens auf die gerade Linie nicht bewerkstelligt werden kann; diese Inkommensurabilität ist die qualitative Verschiedenheit derselben. Die qualitative Verschiedenheit des Diskreten mit dem Kontinuirlichen überhaupt, enthält gleichfalls eine negative Bestimmung, welche sie als inkommensurabel erscheinen läßt, und das Unendliche herbeiführt, in dem Sinne, daß das als diskret zu nehmende Kontinuirliche nun kein Quantum nach seiner kontinuirlichen Bestimmtheit mehr haben soll. Das Kontinuirliche, das arithmetisch als Produkt zu nehmen ist, ist damit diskret an ihm selbst gesetzt, nämlich in die Elemente, die seine Faktoren sind, zerlegt; in diesen liegt seine Größebestimmtheit; sie sind als ebendamit, daß sie diese Faktoren oder Elemente sind, von einer niedrigern Dimension, und insofern die Potenzenbestimmtheit eintritt, von einer niedrigern Potenz als die Größe, deren Elemente oder Faktoren sie sind. Arithmetisch erscheint dieser Unterschied als ein bloß quantitativer, der Wurzel und der Potenz oder welcher Potenzenbestimmtheit es sey; jedoch wenn der Ausdruck nur auf das Quantitative als solches geht, z.B. a : a[hoch 2] oder d.a[hoch 2] = 2a : a[hoch 2] = 2 : a, oder für das Gesetz des Falles, t : at[hoch 2] so giebt er die nichtssagenden Verhältnisse von 1 : a, 2 : a, 1: at; die Seiten müßten gegen ihre bloß quantitative Bestimmung durch die unterschiedene qualitative Bedeutung auseinander gehalten werden, wie s : at[hoch]2; wodurch die Größe als eine Qualität ausgesprochen wird, als Funktion der Größe einer andern Qualität. Hierbei steht dann bloß die quantitative Bestimmtheit vor dem Bewußtseyn, mit der nach ihrer Art ohne Schwierigkeit operirt wird, und man kann kein Arges daran haben, die Größe einer Linie mit der Größe einer andern Linie zu multipliciren; aber die Multiplikation dieser selben Größen giebt zugleich die qualitative Veränderung des Ueberganges von Linie in Fläche; insofern tritt eine negative Bestimmung ein; sie ist es, welche die Schwierigkeit veranlaßt, die durch die Einsicht in ihre Eigenthümlichkeit und in die einfache Natur der Sache gelöst, aber durch die Hilfe des Unendlichen, wodurch sie beseitigt werden soll, vielmehr nur in Verworrenheit gesetzt und ganz unaufgelöst erhalten wird.